数学教学应渗透思想、注重逻辑与整体联系

邓冬华 罗敏

［摘  要］ 好的数学教学应当教学生思考，教数学思想方法、教数学结构体系以及富有逻辑地呈现结构体系的生长过程. 文章以“一元一次不等式与一次函数”的教学为例，尝试渗透思想、注重逻辑与整体联系，以促进学生思维发展、素养形成.

［关键词］ 数学思想；逻辑结构；整体联系；一元一次不等式；一次函数

基金项目：四川省教育厅四川师范大学基础教育课程研究中心2021年规划课题“基于数据挖掘的初中生身心健康发展实践研究”（课题编号：川KZ202103）；2021年度成都市龙泉驿区规划课题龙泉驿区“十四五”教育科学规划课题“基于学教评一致性的初中数学备课改进研究”（课题编号：GY2021045）.

作者简介：邓冬华（1985—），教育学硕士，中学一级教师，四川师范大学数学科学学院校硕士生导师，从事中学数学教学研究、中学教学管理工作.

众所周知，数学是思维的体操，数学教学的核心是数学思维的教学，促进学生思维发展与素养形成. 好的数学教学应当教学生思考、教数学思想方法、教数学结构体系以及富有逻辑地呈现结构体系的生长过程. 在北师大版数学八年级下册“一元一次不等式与一次函数”一课的教学中，从渗透数学思想方法、建构结构体系与注重学科逻辑的视角进行教学设计，很好地实现了数学整体式思维教学.

教学内容的价值判断分析

1. 价值一：充分渗透数形结合思想方法

学生已经会用代数方法解一元一次不等式，能将一元一次方程与一次函数相联系，能从一次函数的视角理解方程3x+2=0根的问题，初步具备数形结合的思想与观念. 本课将进一步用一次函数图象解一元一次不等式问题，以及用一元一次不等式解一次函数图象问题，引导学生由数想形，见形思数，数形结合.

2. 价值二：构建“三个一次”结构体系

整体联系的知识更具力量和价值. 函数与方程、不等式之间有内在的辩证统一关系，“一元一次不等式与一次函数”一课是梳理“三个一次”（即一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）关系的良好素材. 通过本课内容的学习，学生构建函数、方程、不等式的知识结构体系，感受数学内容之间的整体联系，形成良好的数学学习观.

3. 价值三：外显教学内容背后的学科逻辑

细究本课内容，在会解一元一次不等式的前提下，为何要用一次函数解一元一次不等式问题？如何引出課题才不显得突兀？如何呈现函数、方程与不等式的整体联系？从直线与x轴的关系如何过渡到一般的两条直线的关系？这些问题的背后是学科逻辑，只有抓住其内在逻辑联系，教学才能水到渠成，一线连通，自然生长. 学生长期在教师有逻辑的教学下，才能学会有逻辑的思考.

价值判断下的活动设计

1. 创设情境，引出课题

问题1  此刻，老师想到了一首诗，宋代苏轼的《题西林壁》中，“横看成岭侧成峰，远近高低各不同. 不识庐山真面目，只缘身在此山中. ”这首诗描述了从不同角度看庐山，庐山呈现出不同的风景. 同一数学对象，在不同人眼里，是不同的内容. 那么，当你看到2x-3，你想到了什么？

设计意图  通过古诗，引导学生对2x-3从不同角度进行联想，旨在让学生探究和认识“三个一次”的内在联系，即引导学生从一次函数图象的角度去认识一元一次方程和一元一次不等式解的问题.

生成预设  有学生看到2x-3想到一次函数y=2x-3，有学生想到一元一次方程2x-3=0，还有学生想到2x-3<0，2x-3≥0等一元一次不等式. 教师进一步引导学生从“形”的角度看问题，一次函数y=2x-3的图象是一条直线，方程2x-3=0的解是直线y=2x-3与x轴交点的横坐标，这两个问题之前研究过. 教师继续追问学生，一元一次不等式问题能否用一次函数图象解决？给学生造成认知冲突，引发学生思考，引出课题.

2. 理性反思，探索新知

问题2  你是如何理解“方程2x-3=0的解是直线y=2x-3与x轴交点的横坐标”的？这对用一次函数解一元一次不等式有何启示？

设计意图  通过回顾、反思、明晰一次函数解一元一次方程的原理，从多角度认识一元一次方程，并将此方法迁移去解一元一次不等式，渗透数形结合思想.

生成预设  学生首先从代数的角度认识此问题，将2x-3=0视为求一次函数y=2x-3的函数值y=0时x的值. 而y=0是x轴的解析式，故2x-3=0可以看作y=2x-3，

y=0， 即两条直线的交点，从“数”过渡到“形”. 这两方面有层级的认识过程必不可少，若学生对此理解有困难，教师应加以复习和引导. 接着追问学生，怎样理解2x-3<0？迁移方程2x-3=0解的认识过程，学生不难发现2x-3<0是一次函数y=2x-3的函数值y<0时x的值. 再次从“数”与“形”两方面追问启发学生：从一次函数y=2x-3的图象来看，何时y<0？不等式2x-3<0与一次函数y=2x-3图象有何关系？通过这两个问题最终让学生认识到，不等式2x-3<0可以看成直线y=2x-3在x轴下方时所有x的值，并让学生认识到此结果与代数解法结果一致.

在这两部分教学的过程中，有意识地呈现下面的板书内容辅助教学，有意识地呈现“三个一次”的逻辑联系与整体结构.

问题3  你能解决下面两个问题并说明其中的缘由吗？

（1）如图1，直线y=kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3>0的解集是什么？

（2）如图2，直线y=kx+b（k>0）经过点A（-2，4），则关于x的不等式kx+b≤4的解集是什么？

设计意图  通过这两个问题，让学生掌握用一次函数图象解决一元一次不等式的基本方法，同时为后面将任意的不等关系看作两条直线的关系做铺垫.

生成预设  第（1）问，若学生先计算出k的值，再用代数方法求解，这种思路要予以肯定. 但该思路不能解决第（2）问，所以还应引导学生用几何方法求解. 对于第（2）问，若学生类比前面的方法，先将不等式kx+b≤4转化为kx+b-4≤0，即将直线y=kx+b向下平移4个单位后看直线与x轴的交点的关系，这种思路要肯定，也要引导学生直接将不等式的两边各看成一个函数解析式，即将kx+b与4分别看作直线y=kx+b与y=4，将kx+b≤4看作y≤y，再将其看作直线y=kx+b在直线y=4下方和交点处对应的所有x的值，这中间的逻辑关系需要学生理解和掌握.

3. 问题解决，拓展深化

问题4  如何用一次函数图象解不等式-x+3<3x-4？

设计意图  用一次函数观点灵活处理一般的解一元一次不等式问题.

生成预设  学生能够仿照问题3（2）的解题步骤，比较快速地处理该问题. 将不等式的两边分别看作两条直线：y=-x+3与y=3x-4，y<y即为直线y=-x+3在直线y=3x-4下方部分对应的x的值. 在教学时，要让学生说出自己的理解和思考过程.

为进一步加深认识与理解，给出变式问题，让学生用一次函数图象解不等式0≤-x+3<3x-4.这样就实现了从一元一次不等式到一元一次不等式组、从一条直线到多条直线的过渡，整个过程顺理成章、自然生成.

问题5  如图3，l反映了某产品的销售收入（单位：元）与销售量（单位：吨）之间的关系，l反映了该产品的销售成本（单位：元）与销售量（单位：吨）之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始赢利. 该产品的销售量达到多少吨时，生产该产品才能赢利？

设计意图  选用这个问题主要有三个目的：（1）凸显一次函数与一元一次不等式问题在实际问题中的应用；（2）前面的问题都是用“形”解“数”，本问题则用“数”解“形”，进一步突出数形结合思想；（3）进一步让学生体会函数模型、方程模型、不等式模型之间的关系.

生成预设  学生处理本问题的难度不大，教学过程中应让学生进行口头表达，训练出声思维. 处理完问题后，应让学生充分体会用“形”解“数”与用“数”解“形”的数形结合思想，还应让学生体会函数模型、方程模型与不等式模型之间的联系与相互转化. 让学生认识和理解：刻画运动变化过程需要用到函数模型，刻画运动变化过程中的某一时刻需要用到方程模型，刻画运动变化过程中同类量之间的大小关系时需要用到不等式模型，函数、方程、不等式之间存在内在联系，解决问题时要学会合理选择模型.

4. 当堂检测，及时反馈

问题6  你能解决下列问题吗？

（1）已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（0，-2）与B（3，4），求关于x的不等式kx+b≤4的解集.

（2）已知一次函数y=x+b与y=kx+4（k<0）的图象相交于点P（1，3），求关于x的不等式x+b>kx+4的解集.

（3）如图4，甲、乙两辆摩托车从相距20 km的A，B兩地相向而行，l，l分别表示甲、乙两辆摩托车离A地的距离s（单位：km）与行驶时间t（单位：h）之间的函数关系.

（1）哪辆摩托车的速度较快？

（2）经过多长时间，甲车行驶到A，B两地的中点？

设计意图  当堂检测所学知识，及时过关过手. 有意识地去掉了前两个问题的图形，强化学生数形结合的能力.

生成预设  学生能够比较顺利地解决这三个问题，对本节课所学的知识和方法达到熟悉、巩固的效果.

5. 课堂小结，提炼升华

问题7  本节课你学到了什么，有什么收获和感悟？

设计意图  引导学生对本节课的知识、方法、思想、活动进行回顾反思，提炼升华.

生成预设  学生能够说到用一次函数的方法解一元一次不等式，能谈到数形结合思想方法，但要渗透本节课的结构以及研究问题过程中隐含的逻辑主线需要教师进行引导，让学生有更多的感悟和收获.

活动设计下的教学思考

1. 数学教学应重视数学思想方法的教学，谋求学生长远发展

数学思想方法是串联数学知识的暗线，是数学知识的精髓和灵魂. 日本数学教育家米山国藏谈到，学生在中学所学到的作为知识的数学，很快就会被忘掉，但不管他们从事什么工作，能长期在他们的生活和工作中发挥重要作用的是铭刻于头脑中的数学精神与数学思想方法. 众多教育学者谈到过类似的观点，现已达成共识. 为让学生在数学知识的学习中终身受益，数学思想方法的教学意义重大，必须重视. 不仅如此，数学思想方法的渗透应该是多维和立体的. 在本课中，从数到形，由形到数，贯穿始终.

2. 数学教学应重视结构化的教学，构建整体联系

著名教育学家布鲁纳曾说过，不论我们教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构［1］.本课的教学定位不仅仅是单一的用一次函数解一元一次不等式，更重要的是数形结合思想的多维渗透，让学生构建“三个一次”的整体联系，学会函数模型、方程模型与不等式模型的灵活选择.在教学设计与教学过程中，教师需要有意识地挖掘知识背后的意蕴和价值，借助板书等媒介努力形成知识结构.唯有这样，学生在对知识的认识、建构过程中，才能形成正确、丰富、有力量、有价值的认知结构与思维结构.

3. 数学教学应重视数学逻辑、教学逻辑和学习逻辑，一线贯通，自然生成

数学是一门逻辑性非常严密的学科，数学教师应该成为最讲逻辑的教师. 在这样的价值追求下，教师要遵循基于学科的数学逻辑，要遵循基于课堂的教学逻辑，要遵循基于学生的学习逻辑［2］. 在课堂教学实施过程中，借助问题链，让学生充分感受到数学源于生活，感受到数学是讲道理的，在这样的文化场中，问题链是逻辑链、思维链，问题解决是思维必然. 在本节课中，因为基于学生已有的知识基础与认知基础，所以用一次函数解一元一次不等式的提出不显突兀. 解一元一次不等式先从直线与x轴的关系，再到直线与x轴的平行关系，最后到一般的两条直线的关系，条理清晰；从用直线解决一元一次不等式到用一元一次不等式解决直线问题等，层次分明……这其中起根本作用的是学科逻辑.

4. 数学教学的归宿是学科育人，促进学生思维发展、素养形成

什么样的数学课是好课？此问题没有标准答案，但好课都是相似的，有诸多共同特征：好课都是平易近人的，能充分抓住学生的思维起点，让学生都有主动探究的意愿；好课都是自然的，每一个问题的提出恰到好处，每一个问题的解决又都恰好在学生的最近发展区，能通过问题不断激励学生，通过问题引发学生深层次思考；好课都是意犹未尽的，立意高远，充分挖掘背后的资源，给人无限发展的空间和可能. 归根结底，数学教学的目的和归宿是学科育人，促进学生思维发展，培养学生的理性思维，促进学生数学素养形成.

要设计出好的数学课，需要教师有正确的数学教学价值追求——前后一致，逻辑连贯，一以贯之［3］；需要教师有扎实的教育教学功底——理解数学、理解教学、理解学生［4］.

参考文献：

［1］杰罗姆·布鲁纳. 教育过程［M］. 邵瑞珍，译. 北京：人民教育出版社，1978.

［2］张鹤. 数学教学的逻辑：基于数学本质的分析［M］. 北京：首都师范大学出版社，2016.

［3］卜以楼. 生长数学：卜以楼初中数学教学主张［M］. 西安：陕西师范大学出版总社，2018.

［4］章建跃. “卡西欧杯”第五届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动总结暨大会报告 理解数学 理解学生  理解教学［J］. 中国数学教育，2010（24）：3-7，15.