竖式加法教学设计新视角

［摘  要］ 通过分析教材发现，教科书在竖式计算所选择的内容与途径时存有瑕疵。为此，在进行教学设计及其课堂实施时，通过横式加法计算时使用的“拆分”与“凑十”技术，发现横式加法具有由“个位上的数”与“个位上的数”相加，“十位上的数”与“十位上的数”相加的典型特点，这种特点的合理表征，就为学生将横式加法转化为竖式加法提供了现象上与思想上的准备，据此启发学生产生对竖式加法的认识。

［关键词］ 加法计算；竖式加法；教科书瑕疵；教学设计

一、问题的缘起

人教社编制的义务教育数学教科书将竖式计算加法教学内容安排在二年级上（第3册）“100以内的加法和减法”这一节中，使用了普通生活中的一个情境，现将这一情境简述为：二（1）班有35名学生去参观博物馆，由2名老师带队，问二（1）班的学生和本班的带队老师一共多少人？首先列出了加法的横式35+2①；然后直接将这个横式加法转化为竖式加法（记为竖式②），计算途径如下：

教科书提供的教学素材在于引导教师向学生一步一步解释，帮助学生掌握从横式①转化为竖式②的技术，即在合适的位置上写出被加数35，在35的个位数正下方写出加数2，然后在加数2的同一行且在被加数的十位上的数3的前方写出加号，在加号与加数的下方画一条横线（这条横线相当于横式加法中的“等于”号），如此就将横式所表述的加法①式，转化为竖式加法②式。接着，教师指导学生依据竖式形式，先将处于上下位置上的个位数5与加数2相加得到个位数7，再将这个7写在加数的纵列个位数与横线的正下方，由于没有进位，故把被加数中的十位数写在被加数的十位数3纵列与横线的正下方，如此得到结果37。于是，将这个运算结果转化为横式①的运算结果35+2=37。

下一步，教科书呈现了一系列的横式加法计算的题目，帮助教师指导学生将这些横式计算途径转化为竖式计算途径（其实是以竖式计算为工具的方式），促进学生巩固使用竖式计算的操作技能。接着，教科书又选择了两个数相加时个位数需要进位的加法（例如，35+17=52③），要求学生采用竖式加法计算途径（横式③相对应的竖式加法途径记为④）。

笔者经过现场模拟授课、调查与访谈等途径，发现不少数学教师在教学中利用上述的这种实际竖式计算活动环节及其组成过程，在讲解竖式计算后总结出两个数的竖式加法途径：（1）相同数位上下对齐（简称上下对齐）；（2）从个位数开始计算（简称先算个位）；（3）满十向前进一（简称满十进一）。最后，笔者告诉学生：具有这种加法前后相承三个环节特点的计算途径，称为竖式加法法则。

由于教科书（特别是人教社的）对于数学教师教学与学生学习具有强烈的示范作用，因此，普通教师大多数时候的施教，可能就是不加变更地执行教科书安排的内容线索，学生也就不得不依据教科书通过教师的安排展开学习活动。在这种施教的情况下，通过仔细分析横式计算式①到竖式计算式②的环节可以认识到：其实，算式①与算式②之间没有实质性联系。这就导致了学生只能通过接受的方式学习竖式加法法则。

因此，如果教师不具备二次开发教材的能力，只能亦步亦趋地沿着教科书设定的轨道行进，那么学生也只能通过机械训练的途径，来掌握竖式加法法则中的几个具体环节。当然遇到问题时采用这种竖式加法法则加以解决，也是可以达到目的的。使用这种教学途径所得到的关于两数加法的竖式计算，不就是将学生训练成某种意义上的加法计数器吗？因为，学生只知道依据竖式加法法则的程序执行计算，就会比较间接地得到计算的结果，至于为什么这种竖式计算法则是有效的，其心理来源是什么？学生认识不到。这种教学导致的结果是学生只知其然，不知其所以然。因此，这与当代数学教育教学理念格格不入，是背道而驰的。

那么，关于竖式加法法则的建立，数学教师需要找到何种途径进行教学设计及课堂实施才能促进学生既知其然，又知其所以然，从而发挥这个数学知识点的教学价值，实现数学教学目标呢？这就需要教师通过仔细地分析教材，找到创新的方法设计建立竖式加法法则的课堂教学活动。

二、建立竖式加法法则的创新教学设计示例

笔者通过分析承载竖式加法计算知识点的人教社教材，发现在一年级下学期的“20以内的加法”教学内容中，学生已经能从两个加数中“拆分”较小的加数与较大的加数“凑十”，如此，形成了横式进位加法法则。这其实就是使用加法结合律与加法交换律，得到进位加法的一种途径。由此认识到，在“100以内的进位加法”中所形成的竖式加法法则肯定源于这种“拆分”与“凑十”。这究竟是怎么回事呢？

透过具体的“20以内的进位加法”例子来看建立横式加法法则的“拆分”与“凑十”的途径：例如，9+3=9+（1+2）=9+1+2=（9+1）+2=10+2=12⑤。算式⑤中的第一个等号将3拆成了（1+2）；第二个等号去掉（1+2）的括号，得到1+2，形成“拆分”；第三个等号是将9与1相加，加上括号形成（9+1），这就是“凑十”，形成第四个等号；最后一个等号是計算的自然结果。在这个过程中，这种加法的交换律与结合律是“拆分”与“凑十”的书面语言。因此，在心理的认知出发点中，学生已经掌握了这种使用加法结合律与交换律工具进行计算与解决问题的方法。

在“100以内的进位加法”中，笔者先以35+2为例加以说明：35+2=（30+5）+2=30+5+2=30+（5+2）=30+7=37⑥，如果从算式⑥的形式上考察，这就是将被加数35中的个位数上的数5与加数个位数上的数2相加，35中的十位上的数不变，即35+2=30+（5+2）⑦，构成了计算结果35；再以35+17为例，35+17=（30+5）+（10+7）=30+5+10+7=30+10+5+7=（30+10）+（5+7）=40+12=40+10+2=（40+10）+2=52⑧。如果从算式⑧的形式上考察，从中认识到，35+17=（30+10）+（5+7）⑨。

从教材分析的这些结果中，得到了算式⑦与算式⑨。以这些运算过程与结论为基础，下面实录笔者关于“100以内的进位加法”的教学设计及课堂实施中的后述部分的关键环节：

师：对于计算题35+2，通过横式计算途径，可以得到35+2=30+（5+2）⑦；对于计算题35+17，通过横式计算途径，可以得到35+17=（30+10）+（5+7）⑨。仔细观察算式⑦与算式⑨，你可以用一种新的途径对这两道题进行计算吗？

生：……（省略号表示学生思维的暂时中断，下同）

师：我们在一年级时所做的加减法，都是采用这种横式方式与途径。大家仔细观察算式⑦与算式⑨，可以发现这两个算式具有共同点吗？

生1：观察算式⑦与算式⑨，我发现它们其实就是分别将个位上的数与个位上的数相加，十位上的数与十位上的数相加。

师：很好。在生1发现两个数相加的这种特点后，你能创造出除了这种横式加法途径以外的其他加法途径，从而绕过算式⑥与算式⑧，以提高加法计算的效率吗？

注：虽然只是二年级上学期的学生，但是由于在一年级的整个一学年里，总是使用横式进行两个数的加减计算，如此形成了学生思维的消极定式，即在关于两个数进行加减计算时，认为除了横式这种途径以外，就不再具有其他途徑了。这就是为什么在启发学生从横式计算途径过渡到竖式计算途径中所存在的心理疑难的原因。因此，笔者在教学设计时，选择了算式⑦与算式⑨，鼓励学生得出“分别采用个位上的数与个位上的数相加，十位上的数与十位上的数相加，这样的横式计算有些不方便”的结论。据此促使学生创造出使用竖式计算途径进行进位加法。这是笔者这节课最为重要的教学目标，前述的一切工作都是为实现这项教学目标所做的铺垫。

生2：以35+17=（30+10）+（5+7）⑨为例，算式⑨中是将十位上的数与十位上的数相加，个位上的数与个位上的数相加。可惜的是，35中的30与17中的10相加，其中间隔了35中的5，同样，35中的5与17中的7相加，其中又间隔了17中的1（代表10），使计算不再直接……

师：那么，如何去掉生2所发现的这种加法计算时的数与数之间的间隔呢？

生3：如果将35写在上面，17写在35的下面，然后将35中的个位上的数5与17的个位上的数7上下对齐，将35中的十位上的数3与17中的十位上的数1上下对齐，即（记为竖式⑩——笔者，下同），这样就可以将5与7相加，3与1相加，从而去掉了中间所间隔的那些数了。

注：生3的这种想法确实是一种高层次的创造，其源于消去生2所发现的横式加法计算中的两个相同数位上的数相加时的间隔。但是，与横式35+17=52相比较，竖式⑩中既没有加号，又没有等号，难以表达具体的两数加法的意义。因此，完善数式⑩成了学生思维的新动力。

师：⑩式不能很好地表示具体运算的意义与过程，这很可惜。怎么办？

生4：给竖式⑩添上加号：（记为{11}式）。但等号加不上去，答案可以摆在这两个数的下方……

师：不错的想法。实际上，历史上的数学家很早就选择了这样的表示途径：（这就是上述所记的算式④）。那么，这种计算需要注意什么？

生5：个位上的数5加上7得12，这里12又要分成10+2，其中的10与两个十位数上的数3（代表30）和1（代表10）相加，得到5，个位上的数为2，因此得到结论52。竖式④中的那条长的横线，可以看作等号。

注：这种教学设计及其课堂实施，就是为了不完全依据教科书所呈现的内容引导学生学习，而想方设法启发学生利用加法结合律与交换律所得到的横式计算途径，转化为竖式计算途径。依据个位上的数与十位上的数分别相加的特点，让学生充分经历从横式计算转化为竖式计算的过程，从而帮助他们突破消极的思维定式，形成思维的创造性，进而发挥这个知识点的教学价值，实现教学目标。学生需要从⑧式过渡到⑩式，⑩式过渡到{11}式，{11}式过渡到④式，这样一步一个脚印地走过来，由此将横式加法现实地、具体地转化为竖式加法。

从横式加法转化为竖式加法，看上去只不过是将数据的方位重新进行排列，但是对于刚刚进入二年级的学生来说，这是很难实现的一项重大事件，教师在这个关键性节点上要想方设法地帮助学生。绝大多数教师对于数学教科书或多或少地具有依赖性，因此，在利用教科书教学时，教师一定要依据知识特点对教材进行二度开发，采取合作探究的模式启发学生自己萌生对相关数学知识点的认识，而不是直接把知识告知学生，以免造成不良的教学后果。

三、简要结语

数学教学设计及其课堂实施的一项非常重要的目标，就是要设法启发学生针对具体数学知识信息的特点，萌生出具体的数学思想观念，再在这种思想观念指令的支配下，形成具体可操作的数学方法，从而从心理上发生数学知识认识［１］。这就需要教师认真地进行教材分析，吸收其精华，改进其瑕疵，例如，关于“100以内的进位加法”的竖式计算途径，教科书只是将这种途径原原本本地奉献于学生，而不是启发学生自己萌生出这种思想，这便极大地损伤了它的教学价值，对此，教师需要思之再思，慎之又慎。总而言之，教师应将这种知识直接奉献于学生的教学途径，改造成启发学生自己去创造与发现知识的教学途径。

参考文献：

［１］ 张昆. 整合数学教学中设置问题的取向——透过“观念性问题”与“技术性问题”的视点［Ｊ］. 中小学教师培训，２０１９（０６）：５３－５６.