逆行推导 以图解图

何康康

一、提出背景

立体几何是研究空间图形中点、线、面位置关系的学科，在中职数学中占据非常重要的教学地位，其中的二面角问题更是历年浙江高职考试必出的考题。中职数学不含空间向量教学内容，因此学生仅适用几何法解决求解二面角问题，将立体问题转化成平面问题，再结合直线与直线垂直、直线与平面垂直等公式定理，进行一系列推理与计算，最终解决问题。英国实证主义史学家H.T.巴克尔也曾说：“几何是逻辑决策最完美的范例。”立体几何真正的韵味，就在于严谨的逻辑推理，这也是中职学生比较欠缺的数学能力。

现实教学中，绝大多数中职生对求解二面角问题望而生畏，即便将立体几何中的定理性质等熟记于心，也会常常找不到恰当的推导过程，从而遇上解题瓶颈，产生厌学弃学心理。笔者利用UMU对本校三百多名高三学生展开“空间角问题求解能力”调查，结果显示，面对2018年浙江省单考单招数学试卷第33题，仅7.7%的学生表示会解并能写出相应的解题思路，而70.5%的学生表示会放弃此题，因为不会写具体解题过程。因此，找到问题根源，帮助学生克服困难，找到那条推理的路线，成了职教教师该思考的一个问题。

二、游戏启发

走迷宫图是老少皆宜的思维游戏，不仅趣味十足，还能锻炼参与者的观察能力、逻辑思维能力等，具有很高的思维训练价值。经常玩的人会发现，想要在如此多而繁杂的路线中找到那条连接起点和终点的正确路线，从终点走向起点是最明智的选择。稍一对比即可发现，起点到终点寻找路线，会有非常多的分叉口，稍有不慎就会走进绝路，而终点走向起点的位置正好避开了绝大部分的岔口，从而顺利通关。这种现象，正好与学生在求解二面角等几何问题时的思维模式不谋而合。受此启发，在实际教学中笔者引导学生尝试走“逆行路线”，从结论出发寻找“走向”题目条件的“路径”，绘制出解题的“逆推导图”，从而获得证明思路，这种方法有效地提高了学生的解题能力，培养了学生逻辑思维能力，促进学生用数学的视角去分析思考问题，准确表达自己的思想和观点，形成良好的逻辑思维品质。

三、案例呈现

下文中，笔者选取2019年浙江省单考单招数学试卷第33题为例，在课堂上尝试引导学生绘制逆推导图，完善解题过程，具体情况如下：

第33题（本题满分10分）如图1，正三棱锥的侧棱长为

2，底面边长为4。

（1） 求正三棱锥的全面积；

（2） 線段的中点分别为D、E、F，

求二面角的余弦值.

师：三棱锥的全面积的计算公式是什么？

生：因为正三棱锥的底面是一个正三角形，各条侧棱等长，所以我们只需要计算出△ABC和△PAB的面积，即有S全=

3S△PAB+S△ABC.

师：那么，请同学们根据题目条件完成第一小题吧！

生：S△ABC = absinC =  × 4 × 4sin60°=4（图2）

∵PA=PB，E为AB的中点∴PE⊥AB，∵PA=2， BE=2，则PE=2

∴S△PAB =  × AB × PE =  × 4 × 2 = 4，（图3）

∴S全 = 3S△PAB+S△ABC = 3 × 4 + 4 = 12+4

师：第（2）小题中，要求二面角D-EF-A的余弦值，先要找出二面角的平面角，如何做辅助线，才能找出这个平面角呢？

生：取线段EF的中点O，连接DO， AO，∠DOA即为二面角D-EF-A的平面角（图4）。

师：你如何确定∠DOA即为二面角的平面角呢？

生：因为DO， AO都垂直于二面角∠DOA的公共棱EF。

师：那DO， AO都垂直于EF的依据又是什么呢？

生：因为在正三棱锥中，侧棱PB=PC，而点D， E， F分别是PA， AB， AC的中点，根据中位线定理，DE=PB=PC=DF，所以△DEF是等腰三角形，所以有DO⊥EF；而AF=AC=AB=AE，所以AO⊥EF

师：那么要求∠DOA的余弦值，需要知道哪些条件呢？

生：需要知道三条边DO， AO， AD的长，根据三角形相似，DO=PM=，AO=AM=，AD=PA=.

师：已知这三条边后，需要什么知识点来求余弦值？

生：已知三边求余弦，用余弦定理。

师：请同学们正确绘制出解题的逆推导图（图5），并完善解题过程。

结果显示“逆推导图”的绘制，有效帮助学生梳理了解决问题的逻辑线，清晰呈现数学问题和题目条件之间的联系与步骤细节，呈现数学核心概念和问题相互之间的逻辑联系。如同罗增儒教授在《中学数学解题的理论与实践》一书中指出：尽管数学试题千变万化，但深入研究还是具有一定规律，教师就是指引学生寻觅这些规律的“领路人”。在立体几何中解决线面角、面面角等问题，只要能够寻找到那么一条“逆推”路线，解题思路便水到渠成了。

四、回顾反思

《课标（2017年版）》在“课程性质”部分提出数学教育要“引导学生会用数学的眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”。在立体几何中求线面角或二面角的问题，是培养学生逻辑推能力和数学语言表达能力极好的载体。反思“逆推导图”的绘制教学，笔者认为，有如下几点作用：

（一）梳理思维路线，解题水到渠成

一个问题的解决，通常会遇到各种无关或类似有关的旁支因素干扰，从而使问题的解决之路迷雾重重。然而在数学情境中，教师引导学生通过绘制“逆推导图”，有效地避开旁支知识的思维干扰，借助正确抽象的数学概念和公式、定理等，进行形式化的逻辑推理、论证和分析，从而解决相关数学问题，最终帮助学生在知识技能形成和运用过程中养成良好的数学思维，实现自我完善的效果。“逆推导图”的绘制不仅可以应用于二面角问题的解决，也可以运用于其它问题情境。

（二）形成严谨思维，助力推理素养

蔡宏圣老师说过：“显性的知识技能，终究会被慢慢淡忘；而隐性的数学活动经验，教学方法思想，更易于促进终身受益的素养的形成。”对逻辑推理素养，强调“能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络”。立体几何问题通常需要从二维角度去观察并判断三维问题，再结合想象并运用推理完成问题的论证和解决，非常考验学生的空间想象能力和逻辑推理能力。“逆推导图”以框图的形式架构空间想象和逻辑推理之间的桥梁，让问题解决的思路可视化、形象化，更易于学生接受和把握。

（三）树立自主意识，提高数学自信

学生对数学学习失去信心的原因之一，是他们没有摸到那条隐藏在数学条件和数学问题之间的逻辑线，从而解决不了数学问题感受到挫败，久而久之便失去了数学学习的自主性。然而许多数学问题，从所需结论出发去寻找解题思路，要比从条件出发寻找思路来的简洁和直接。学生在“逆推导图”中获得成功体验后，将其尝试运用于其他数学情境的问题求解，更容易走出一条属于自己的解题之路，并在此过程中养成严谨、科学的逻辑思维，获得成功体验。在不断的体验成功后，学生自然便能重拾自信，自主参与数学学习了。