高中数学“拓展创新学程”内容特色及教学要义

吴莉娜 李善良

摘要：《普通高中拓展创新学程·数学》与苏教版高中数学教材一体化设计，以“重基本方法，促思维创新”为宗旨，按专题讲座的方式编写。其内容包括专题性综合解决问题的基本方法、高中数学的常用方法等。其编写特色有：注重理论联系实际，培养学生的应用意识；注重多种角度思考，培养学生的发散思维；注重数学文化熏陶，提高学生的探究能力。教学要义有三点：理性渗透，精心设计教学；掌握学情，把握教学节奏；体验实践，发展核心素养。

关键词：高中数学；拓展创新学程；基本方法；内容特色

《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》明确强调：“高中阶段教育要推进培养模式多样化，满足不同潜质学生的发展需要，要探索发现和培养创新人才的途径。在人才培养体制改革上，要更新人才培养观念、创新人才培养模式、改革教育质量评价和人才评价制度；在创新人才培养模式上，要创新教育教学方法，探索多种培养方式，形成各类人才辈出、拔尖创新人才不断涌现的局面。”2020年，教育部启动了部分高校基础学科招生改革的“强基计划”，聚焦于选择和培养“关键领域”的拔尖创新人才。数学是高中的主要课程之一，在拔尖创新人才培养中发挥着重要的作用。而数学基本方法是数学的核心内容，是一个人数学素养的重要内涵，因而也是培养拔尖创新人才的基础。重视数学基本方法的教学是数学教育发展的必然，是现代社会对人才培养的要求。

为了达到拓展知识、创新方法、促进探究、提升思维的目的，我们对高中数学必修、选择性必修、选修课程进行一体化设计，在苏教版必修、选择性必修教材的基础上，配套研制了《普通高中拓展创新学程·数学》（以下简称《拓展创新学程》）。其编写以“重基本方法，促思维创新”为宗旨，以“题”（典型考题、传统经典题、重要结论）为载体进行分类串通，着重从怎样思考、怎样寻找突破口入手，着力于解题方法策略的研究、通性通法的运用以及综合分析解题能力的提升。同时，以高考中档题为起点，避开竞赛题的技巧性；求核心内容，不求面面俱到，避免繁杂的计算；力求提升学生的数学思维水平与实践创新能力，满足对数学学习有较高需求的学生的需要。

本文试从基本方法的角度谈谈《拓展创新学程》的基本内容与编写特色，并给出相应的教学建议。

一、 基本内容

《拓展创新学程》按专题讲座的方式编写（共72讲），包括三类基本方法：一是专题性综合解决问题的基本方法，二是高中数学的常用方法，三是关于拓展性知识的基本方法。下面重点介绍前两类。

（一） 专题性综合解决问题的基本方法

我们围绕高中数学必修、选择性必修课程的主要内容，以解决问题的“基本方法”为线索，按单元重新组合，力图使学生在解决问题的过程中，掌握解决数学问题的基本方法。主要设计了以下内容：

集合内容主要涉及“集合的概念与关系”“集合的运算”等专题。借助于集合中元素的共同性质、数形结合的思想、集合运算的相关性质，研究集合中元素的含义分析，集合之间的关系判定，集合的交集、并集、补集、差集等运算。

不等式内容主要涉及“二次函数与二次不等式”“不等式的性质”“常用放缩技巧”等专题。不等式的性质是不等式变形的依据，借助于不等式的性质求解不等式（包括含参数不等式的变形）。放缩是指借助于不等式的传递性将不等式的一端或两端放大或缩小，常使用不等式的性质、分数的性质、基本不等式来实现。

函数与导数内容主要涉及“函数的再认识”“函数的周期性”“函数的最值”“指数函数与对数函数”“函数复合与分解”“函数与方程”“导数及其应用”等专题。在函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、图像等基本知识的基础上，研究一些特殊函数的基本性质以及反函数，函数的周期性与对称性的关系，复杂函数的最值，指数函数与对数函数的图像、性质及其应用，函數的复合与分解，函数的零点，函数与方程的关系。利用导数，综合运用单调性、极值等性质探讨曲线的切线、方程及不等式的解、含参数的数学式子恒成立问题。

三角函数内容主要涉及“三角函数的定义、图像和性质”“三角函数与不等式、最值”“反三角函数与三角方程”“三角恒等变换”“正弦定理与余弦定理”等专题。借助于三角函数的定义、图像、单调性、对称性、周期性等可解决三角函数式零点、三角函数不等式与最值、反三角函数与三角方程问题。借助于基本的三角恒等变换可解决三角函数式化简、求值与证明问题。正弦定理、余弦定理给出了三角形边与角的关系，借助于它们可解决解三角形、判别三角形形状、证明恒等式与不等式问题。

数列内容主要涉及数列的求通项与求和问题。通过定义证明等差数列和等比数列，并采用基本量法进行“知三求一”；通过倒序相加法、错位相减法与裂项相消法解决数列求和问题；通过递推公式解决数列求通项问题，具体总结了累加法、累乘法及构造法等。

平面向量内容主要涉及“向量的概念与运算”“向量法解决平面几何问题”等专题。向量是既有大小又有方向的量，借助于向量运算几何与代数的双重性，解决向量的基本运算以及常见的平面几何问题。

立体几何内容主要涉及“空间位置关系”“立体几何运算”“四面体与球”“空间向量与立体几何”等专题。借助于基本模型法、转化法、空间向量等方法解决空间位置关系以及立体几何计算问题，包括空间动点、动线和动角等运动问题，点、线、面主要位置关系的确定问题，距离和角、面积和体积的计算问题。“四面体与球”探讨了四面体问题以及球与多面体的内切、外接问题。

解析几何内容主要涉及“直线与圆”“圆锥曲线的定义及其运用”“直线与圆锥曲线的位置关系”等专题。探讨了用待定系数法求直线与圆的方程、圆的切线方程和切点弦方程，以及直线与圆的几何性质的运用；给出了圆锥曲线的第一定义与统一定义，探讨了焦点三角形、焦半径、焦点弦问题；从直线与圆锥曲线的位置关系角度探讨了弦长计算、中点弦、切线与切点弦问题，并且着重探讨了解析几何中的定点与定值问题、取值范围与最值问题。

概率與统计内容主要涉及“随机事件的概率”“排列组合问题”“条件概率”“随机变量的概率、均值与方差”“统计案例”等专题。探讨了随机事件发生的概率，排列组合的计算与应用，独立事件与条件概率，随机变量的概率分布以及均值、方差等；根据散点图、相关系数推断线性相关关系，求解线性回归方程，运用卡方分布进行独立性检验。

（二） 高中数学的常用方法

高中数学中，除了融入具体内容的专题性基本方法之外，还有一些在解决各类问题时经常使用的方法，主要包括：

化归与转化方法［1］，分为三步：将什么问题转化，转化到何处去，如何转化。这是一切数学思想方法的核心。比如，第50讲“函数综合（2）”中，利用常用不等式对函数解析式进行放缩，进而把超越函数化归为熟悉的函数模型［2］。

数学建模与数学抽象方法［3］，即从研究对象或问题中抽取数量关系或空间形式而舍弃其他属性，对其进行考察的方法［4］。比如，第24讲“三角综合”中，在解决轮船的救援时间问题时，对实际生活问题进行数学建模，将题目所给的方位角转化为三角形中的角，再通过正弦定理、余弦定理的代数方法求解。

数形结合方法［5］，即将数量关系与空间形式结合起来，包括：以图形作为手段，以求解数为目的，即“以形助数”，借助图形的直观性和形象性来明晰数之间的关系；以数为手段，以求解图形为目的，即“以数辅形”，借助数的严密性和精确性来刻画图形的某些属性［6］；数形结合，互相转化、互相补充。比如，第41讲“解析几何综合”中，一方面，通过分析几何图形的特征、元素以及元素之间的关系，利用代数语言加以表达；另一方面，通过代数运算获得相关结果，进而把握代数式或数的几何意义，从中获得几何图形的特征。

函数与方程方法［7］，即通过建立函数关系来研究数学中的数量问题，再通过函数的图像与性质分析解决问题。比如，第11讲“函数与方程”中，说明函数与方程有着密切的联系，方程的根就是对应函数的零点，从而利用函数的图像，得到相应方程的近似解。

分类讨论方法：由于每个数学结论都有其适用（成立）的范围，而有些问题的结论或已知量的不固定会影响问题的解决，所以要将一些问题根据特点及要求重新分类，再逐一研究解决。比如，第3讲“二次函数与二次不等式”中，对含参数二次函数的二次项系数进行讨论，以决定开口方向的恒成立问题，就充分体现了分类讨论的思想方法。

数学推理与证明方法，包括数学归纳法、反证法、存在性证明方法和不可能性证明方法等［8］。比如，第31讲“反证法”中，先假设要证明的结论不成立，再在此假设下进行逻辑推理，直到得出一个与已知条件、假设或与定义、公理、定理相矛盾的结论，由此否定假设，从而肯定要证明的结论。这是一种间接证明方法。

特定情境下的数学方法，包括构造法、待定系数法、常用变换法、三角法、面积法、赋值法、算两次法等。对这些方法，《拓展创新学程》都单列了专题，通过典型例题进行梳理。

二、 编写特色

在“重基本方法”的基础上，为了更好地“促思维创新”，《拓展创新学程》的编写具有以下特色：

（一） 注重理论联系实际，培养学生的应用意识

高中数学教学要注重理论联系实际，让学生不仅掌握数学知识以及思考方法，而且掌握所学知识的实际意义，在现实情境中理解数学知识并运用数学知识解决问题；不能机械地进行反复操练与模仿，这会使得学生一知半解。

事件A的发生有各种可能的原因Bi（i=1，2，…，n），如果A由原因Bi引起，则A发生的概率为P（ABi）=P（Bi）P（A|Bi）。每一个原因都可能导致A的发生，故A发生的概率是全部原因引起A发生的概率的总和。由此，可以形象地把全概率公式看成是“由原因推结果”的公式。每个原因对结果的发生有一定的作用，结果发生的可能性与各种原因的作用大小有关，全概率公式就表达了它们之间的关系。

第61讲“条件概率”例6变式的第（1）问就是全概率公式的一个典型实际应用：

在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列。由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接受为1或0。已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别0.9和0.1;发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05。假设发送信号0和1是等可能的。

（1） 求接收的信号为0的概率。

解本题最直接的思路是设三组对棱长分别为a、ｂ、ｃ，可得四个面均是三边长分别为a、ｂ、ｃ的三角形，然后化立体几何问题为平面几何问题，计算求解——实际上，该四面体是由一个平行四边形沿一条对角线折起，且使折起的两个顶点在空间中的连线长等于所沿对角线的长而形成的。

此外，长方体是对棱相等的四面体的母体，可以为研究四面体的性质搭建良好的平台。构造长方体模型，连接六条面对角线，即得对棱相等的四面体；设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，在长方体中可以很方便地研究该四面体。

（三） 注重数学文化熏陶，提高学生的探究能力

新课程改革背景下，教师应积极探索有效的教学方式，将数学文化融入教学活动，结合数学知识与数学史，创设合理、有趣、美好的数学情境，从而全面培养学生的人文素养及综合能力，促进数学核心素养的养成。

比如，第54讲“轨迹”例2：

阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究。阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M到两定点A、B的距离之比为λ（λ>0且λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。在平面直角坐标系中，已知圆O：x2+y2=1，点A（-1，0）、B（0，1），且M为圆O上的一个动点，则2MA+MB的最小值为。

本題先介绍阿波罗尼斯以及他对圆锥曲线的研究，一方面让学生了解数学史与数学文化，激发学生的学习兴趣，另一方面，创设情境，合理引出问题。

又如，第28讲“立体几何综合”例2：

中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、正方体或圆柱，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（如图2）。半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体。半正多面体体现了数学的对称美。图3是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为１，则该半正多面体共有个面，其棱长为。

本题通过介绍南北朝时期独孤信的印信形状，引出半正多面体的问题，可以让学生体会到生活中处处是立体几何的实物存在，进而运用立体几何的知识研究一个新的几何体，确定位置关系，求解长度、面积、体积，发挥空间想象能力与基本模型的作用。

三、 教学要义

教师使用《拓展创新学程》时，应注意挖掘其中的数学思想方法，培养学生的创新思维。教学要义有以下三点：

（一） 理性渗透，精心设计教学

在教学中，我们应该从对具体数学内容以及学生数学学习的分析出发，考虑需要渗透、介绍或突出哪些数学基本方法，要求学生在什么层次上把握数学基本方法（是了解、理解、掌握还是灵活运用），然后才能进行合理的教学设计，从教学目标的确定、问题的提出、情境的创设到教学方法的选择，教学过程的梳理，做到有意识、有目的地进行基本方法教学。

（二） 掌握学情，把握教学节奏

学生学习是一个循序渐进的过程，教学设计应该充分尊重学生的认识规律，不仅要有意识、有目的地进行，而且要有计划、有步骤地进行。《拓展创新学程》可以作为每周一讲、每章综合讲座之用，也可以作为寒假、暑假集中提优拓展的教材；可以作为平时教学的补充，也可以作为高三复习的辅助资源。所以，需要教师依照学生的学情，选取适合的时间使用。

（三） 体验实践，发展核心素养

由于数学基本方法是基于数学知识又高于数学知识的，要在反复的体验和实践中逐渐认识、理解，进而内化为个体认知结构中对数学学习和问题解决有着生长点和开放面作用的稳定成分。其教学要从对数学具有归纳、演绎两个侧面的全面认识，以及如何帮助学生在掌握知识的基础上发展素养的全方位要求出发，充分体现“观察—实验—思考—猜想—证明（反驳）”这一数学知识的再创造（再发现）过程和理解（建构）过程，展现概念的提出过程、结论的探索过程和解题的思考过程。

参考文献：

［1］ 李红金.高中数学课本中蕴含的化归转化思想方法［J］.数学教学研究，2015（6）：1416.

［2］ 郁杰华.例谈转化和化归在高中函数解题中的应用［J］.高考，2019（32）：35.

［3］ 李明振，喻平.高中数学建模课程实施的背景、问题与对策［J］.数学通报，2008（11）：810.

［4］ 刘玉婷.数学核心素养视角下三角函数学习状况研究［D］.南京：南京师范大学，2021：1012.

［5］ 刘桂玲.数形结合思想方法在高中数学教学中的应用分析［J］.中国校外教育，2015（13）：106.

［6］ 吕世虎，吴振英.数学核心素养的内涵及其体系构建［J］.课程·教材·教法，2017（9）：1217.

［7］ 蔡玉凤.高中数学中函数与方程思想应用的研究［D］.苏州：苏州大学，2014：811.

［8］ 钱珮玲.中学数学思想方法［M］.北京：北京师范大学出版社，2010：1520.