把握数概念的一致性 促进学生深度学习

俞水英 张敏

［摘 要］在“分数的意义”的教学中将分数和整数、小数放在一起进行比较研究，提炼出“计数单位”是“数的认识”的核心概念，聚焦“核心概念”，关注“认知序列”，辨析“关键概念”，让学生感悟整数、小数、分數概念本质上的一致性，深化学生对分数的意义的理解。

［关键词］分数的意义；一致性；深度学习

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2023）08-0047-04

在平时的学习中，部分学生对分数意义的理解浮于表面，呈碎片化，没有感悟到整数、小数、分数概念本质上的一致性。为此，我们进行了“把握数概念的一致性，促进学生深度学习”的研究，并在实践中提炼了三个策略。具体阐述如下。

一、困惑再现

如图1所示，本题的考点是学生对分数意义的理解。全校五年级共230名学生，错误人数为80人，错误率达34.8%。常见的错误如图2所示。

此类错误主要是把长方形的面积当成了1平方米，如此，将长方形平均分成5份，表示这样的3份就是[35]平方米。分析学生出错的原因时，教师一致认为是学生对[35]的意义理解不到位。那么，怎样才能让学生深入理解分数的意义呢？

二、理性思考

以孤立记忆和非批判性接受知识为特征的学习叫浅层学习，与之相反，有关联地记忆和有批判性地接受知识的学习叫深层学习。学生的上述困惑正是浅层学习的直接体现。关于数的认识，《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识。要把握整数、小数及分数之间的一致性，就要建好“承重墙”，打通“隔断墙”，使学生深刻体会计数的规律。对于分数意义的理解，学生出现上述浅层学习现象的原因如下。

原因一：脱离“核心概念”

数的本质是“计数单位”。因此，要想让学生感悟到整数、小数和分数概念本质上的一致性，就要以“计数单位”作为核心概念统领教学。分数有三个方面的意义：一是表示部分与整体关系或部分与部分关系的意义；二是表示度量的意义，即将“计数单位”累加产生不同的数；三是表示两数相除，为商的意义。人教版教材三年级上册“分数的初步认识”和五年级下册“分数的意义”均阐述了分数部分与整体关系的意义，但忽略了分数的度量意义，这样就没有建好分数的“计数单位”这面“承重墙”，也没有打通整数、小数和分数之间的“隔断墙”，因而学生无法感悟数的本质意义。

原因二：忽略“认知序列”

“分数的意义”的教学通常会安排以下任务：了解分数的产生；理解单位“1”；理解分数表示的是部分与整体的关系；认识分数单位。从中可以发现，“分数单位”被放在了最后的环节，即分数计数单位的认识脱离了分数的意义。而整数和小数的学习，则是先认识计数单位，然后通过计数单位来认识更多的数，可以说，计数单位和数的意义是融合在一起学习的。因此，以上“分数的意义”的教学任务序列，将“计数单位”和“意义”人为地割裂开了，难以实现深度学习。

原因三：混淆“关键概念”

我们知道，分数既可以表示比率，也可以表示具体的数量。而上述困惑表明，学生对分数表示“量”和“率”混淆不清。对于分数的认识，教材几乎都是从分数表示部分与整体的关系的角度来编排的，对分数表示具体数量则没有具体的编排，更没有很好地将两者进行比较，导致学生认识更多的是分数表示“率”，对分数意义的理解浮于表面。

三、改进教学

如何让学生理解数概念的一致性，从而深入理解分数的意义呢？结合“分数的意义”一课的公开教学实践，我们总结了以下策略。

策略一：聚焦“核心概念”，构建知识体系

分数与整数都是计数单位的累加，都是通过计数单位数出来的，本质相同。这就是分数和整数的一致性。学生只有认识到这种一致性，所学知识才会是灵活的、可迁移的。因此，要想打通整数、小数和分数之间的“隔断墙”，打造数概念大厦的“承重墙”，就必须以分数的计数单位作为核心概念，构建知识体系。对于本次教学实践，我们旨在达成两个目标，即让学生明白什么是分数的计数单位、如何通过计数单位数出不同的分数。我们从整数入手，通过整数的学习经验，引出分数的计数单位，具体如下。

【教学片段】与整数比较，引入分数的计数单位

师：同学们，我们已经学过整数、小数和分数，请你想想，整数和分数有什么不一样？

生1：它们的读法和写法不同。

生2：含义不同，整数是一个整体，分数是从一个整体里取出其中的一份或几份。

生3：组成不同，分数是由分子、分母、分数线组成的，而整数是由个位、十位、百位等组成的。

师：你对分数还有什么疑惑？

生4：整数有计数单位，分数是不是也有计数单位？

师（揭题）：问得真好，今天这节课我们就围绕这些问题来研究分数的意义。

【反思】通过分数和整数的比较引入教学，很快便将分数切入到“度量”意义的教学中，即研究分数的计数单位及其进率。

策略二：关注“认知序列”，提升数学思维

结合分数的计数单位，基于分数的度量意义进行教学，需要调整分数学习的任务序列为：认识分数单位—理解单位“1”和分数的度量意义—辨析分数表示“量”与“率”的区别。不同的认知序列，将会产生不同的效果。教学中首先让学生猜一猜：这个分数的计数单位是多少？你能用计数单位数出哪些不同的分数？围绕这样两个核心问题，将分数度量意义的理解和分数的计数单位融合在一起教学，让学生在用分数的计数单位数数的过程中，深入理解分数的意义。

【教学片段1】初步认识分数的计数单位

师：为了研究分数的计数单位，请模仿图3，先选择一个分数画一画，再猜一猜它的计数单位是多少，并数一数这个分数里面有几个这样的计数单位。

【反思】表示数量的分数和表示关系的分数的不同点在于，表示数量的分数的单位“1”是确定的，如[34]个月饼、[14]千克等，而表示关系的分数的单位“1”是不确定的、可变的。辨清了分数表示的“量”与“率”，学生对分数意义的理解就更深入了。

四、反思提升

经过“分数的意义”一课的教学实践，学生体会到了整数、小数和分数概念本质上的一致性，获得了较为深入的理解。反思整个过程，我们认为，要想把握数概念的一致性，促进学生深度学习，需要做好以下几点。

1.提炼“核心概念”，需要整体把握教材

学习并不需要对每一个知识点、每一道例题都进行深度探究，而需要抓住体现数学核心内容的“核心概念”。“核心概念”起着“承重墙”或“顶梁柱”的作用，学生掌握了“核心概念”，就能自主建构其余知识点了。如果将一个单元的内容一个课时一个课时地进行分割，从课时的视角备课，那教师就很难将不同的内容整合起来，学生学到的也将是碎片化的知识，不利于知识的整体迁移与建构。

2.关注任务序列，需要“核心概念”的统领

如前所述，先学什么后学什么，任务序列不同，效果也就不同。实践中我们发现，任务序列的安排，需要“核心概念”的统领。“分数的意义”一课看似只是教学几个不同的知识点：理解单位“1”，理解分数的意义和分数的计数单位。但若按原来的思路，教师逐个突破知识点，这便是机械、割裂的学，哪怕最后拼装起来，学生的理解也是浅显的。现在用计数单位这个核心概念去统领，在用计数单位数数的过程中，将各个知识点串联起来，形成网络体系，能使学生深度理解分数的意义，理解单位“1”，同时还能渗透假分数的认识。

3.辨析“关键概念”，需要找准知识难点

学生学习时经常会有辨别不清、容易混淆的知识点。教师如果在这些疑难处组织学生辨析比较，就能使学生对概念的认识清晰化，提升学生的思维水平。比如，整数既可以表示数量又可以表示关系，分数也是如此，但学生却很难区分分数表示的“量”与“率”。教师在教学中要舍得花时间在这样的关键点上，引导学生形成反思的意识，提升学生的数学思维水平。

布鲁纳曾说：“获得的知识如果没有完满的结构把它联在一起，那便是一种多半会被遗忘的知识。”把握数概念的一致性，有效整合教学内容、教学流程，就能使学生在学习中探本求源，感悟数的本质，实现深度学习。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 郑毓信.数学深度教学的理论与实践[M].苏州：江苏凤凰教育出版社  2020.

[3] 马云鵬.小学数学“深度学习”的理解与教学设计[J].小学教学（数学版），2022（3）：4-8.

[4] 刘徽.大概念教学：素养导向的单元整体设计[M].北京：教育科学出版社，  2022.

[5] 白常平，章勤琼，陈日升.基于学习路径分析的“分数的意义”单元整体教学：指向概念理解的教学顺序思考[J].小学教学（数学版），2021（4）：16-18.

（责编 吴美玲）