审辩式学习：用符号语言展现数学逻辑之美

陈婷 穆传慧

［摘 要］小学阶段的运算律是运算教学的难点之一，交换律作为其中的起始课，具有生发性和辐射性。在教学中，教师不能只关注交换律的表象特征，还需重视交换律的内涵意义和教学价值，而运用审辩式学习的理念引导学生主动参与、勇于质疑，能发展学生的符号意识，培育学生的理性精神。

［关键词］审辩式学习；加法交换律；乘法交换律；符号意识

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2023）08-0007-04

【课前思考】

“加法交换律和乘法交换律”是北师大版教材四年级上册的内容，是学生在掌握了加、减、乘、除四则运算意义和混合运算顺序的基础上学习运算律的起始课。

首先，追溯学生的学习过程。在一年级加法意义的学习中，知道3支笔和2支笔合在一起可以写成3+2=5，也可以写成2+3=5；在二年级乘法意义的学习中，知道3个2相加可以写成3×2=6，也可以写成2×3=6；在三年级竖式计算的学习中，学会交换两个加数或乘数的位置进行验算……可见，学生对加法交换律和乘法交换律并不陌生。那么，教材把这一知识点安排在四年级， 用意何在？学习这一知识的价值又是什么呢？

其次，为了更准确地了解学生的真实认知水平，笔者在课前对不同班级的部分学生做了问卷调查。问卷的第一个问题是“你知道加法交换律和乘法交换律吗？”，结果显示有41.6%的学生知道；第二个问题是“你能举例说明什么是加法交换律和乘法交换律吗？”，结果只有12.8%的学生能正确举例；第三个问题是“填空并说说你的想法：42+28=28+（ ）、236+135=135+（ ）、5×7=7×（ ）、21×34=34×（ ）”，结果学生正确率高达99.3%。由此可知，大部分学生或许不知道“加法交换律”和“乘法交换律”这两个名称，却能运用它们解决问题。显然，学生对于加法交换律和乘法交换律并不陌生，但对它们的理解仅止步于简单的直觉感知，没有深入理解其内涵和算理。

运算律不仅是规律性的知识、简便运算的依据，还蕴含着丰富的学科基本思想、方法和理性精神。因此，如何引导学生从感性认识到理性认识深入理解加法交换律和乘法交换律的本质？是否可以带领学生在学习过程中由数学思考走向理性精神？带着这样的疑问，笔者进入了课堂实践阶段。

【课堂实践】

一、创设情境，以问启学

师（出示动画）：瞧，这是我们的好朋友——笑笑。根据动画，你能提出什么数学问题？

生1：笑笑家到少年宫的距离是多少千米？

师：好问题。你能解决这一问题吗？

生1：3+4=7（千米）。（板书：3+4=7）

师：还可以怎么列式？

生2：4+3=7（千米）。（板书：4+3=7）

师：同一个问题，列出了两个算式“3+4”和“4+3”。这两个算式可以用什么符号连接？

生（齐）：等号。

师：为什么？

生3：因为这两个算式结果相等，都等于7。

生4：求笑笑家到少年宫的距离，就是把两段路的长度合起来，无论谁加谁，都是一样的。

师：对，从结果和意义两个方面都能说明这两个式子相等。（板书：3+4=4+3）

【设计意图：四年级的学生正处于形象思维向抽象思维过渡的转折期。因此，在课始借助简单的情境，唤醒学生对加法交换律简单、零散、模糊的感性认识，同时提供了一个生动的素材，帮助学生从运算结果和现实背景双重角度了解“3+4=4+3”这一等式的内涵，为接下来的探究提供启发与支撑。】

二、审思明辩，探索规律

1.提出猜想

师（出示一组等式，略）：请观察这一组等式，你有什么发现？

生1：这两个算式虽然加数交换了位置，不过和没变。

生2：交换加数的位置，和都是不变的。

师：你的意思是，在所有的加法算式里交换加数的位置，和都不变？

生2：是的。

师：大家的想法呢？

生（齐）：是的。

师：只根据这一组等式就得出结论，好像有点不严谨。我们不妨把刚刚的发现当成一个猜想。（板书：猜想）

2.进行验证

师：有了猜想之后，就需要——

生（齐）：验证！

师：请小组合作，想办法验证你们的猜想。（板书：验证）

师（选取具有代表性的小组作品展示在黑板上）：瞧，这是我们班两个小组的验证方法，哪种方法更具有说服力？为什么？

生1：我觉得第二个小组的验证方法更具有说服力，因为他们举的例子多一些。

生2：我也认为第二个小组的验证方法更具有说服力，因为他们不单单用了整数，还用了分数来验证。

生3：我也觉得第二个小组的验证方法更具有说服力。第一个小组没有写出得数，不能一目了然地知道两个算式交换加数位置前后的和是不是相等。第二个小组不仅写出了得数，很清楚地让我们知道和相等，还写了很多例子，还有加数是分数的例子。

师：是的，继续举例可以验证猜想是否合理。举例越多、种类越全，猜想就越具有說服力。但是，为了使我们的结论更能令人信服，需要把所有例子都一一列举完吗？能举完吗？

生4：举不完，一辈子都举不完。

生5：这样的例子写不完。

师：那怎么办？

生6：如果我们的目的就是要验证这个猜想是不是真的，可以去找不符合猜想的例子。

师：能具体说说是怎样不符合的例子吗？

生7：就是加数的位置换了，但和不相等的例子。

师：你找到了吗？

生7：没有。

生8：找不到这样的例子。

师：大家帮帮忙一起找找。

生（不约而同地摇头）：没有这样的例子。

3.得出结论

师：既然从不同角度大量举例都满足猜想，又找不到反例，那我们就可以得出结论。（板书：结论）

4.表述规律

师：能用你喜欢的方式将猜想表示出来吗？请先想一想、画一画、写一写，完成后再和小组内的同学说一说。

（教师巡视并收集学生的作品，然后随意、无序地张贴在黑板上）

学生作品：

①在加法算式里，交换加数的位置，和不变。

②甲+乙=乙+甲

③★+▲=▲+★

④A+B=B+A

⑤1+2=2+1

⑥一个数+另一个数=另一个数+一个数

⑦a+b=b+a

⑧■+□=□+■

师：你能看懂这些同学的作品吗？我觉得这样贴有点乱，你能帮忙整理，并说一说整理的理由吗？

生1：①是一句话，单独作一组；②和⑥放一起，它们是用文字表示加数的；③和⑧放一起，它们是用图形表示加数的；④和⑦放一起，它们是用字母表示加数的；⑤单独作一组，它是用数字表示加数的。

师：大家同意吗？

生（齐）：同意！

师：这么多种表示方法，你更喜欢哪一类呢？为什么？

生2：我更喜欢用图形表示，因为比文字简单，而且好画。

生3：我更喜欢用数字表示，数字既简单又清楚。如果画长方形和正方形，画得不好，很容易让人分不清楚。

生4：数字1就是1，只能表示一个例子，而字母可以表示很多个例子，A可以是1、2、3、4……中的任何一个数。我更喜欢用字母的表示方法。

师：是啊，用字母表示又简洁又清楚（板书：从繁到简），还能概括所有的例子（板书：特殊→一般）。数学上，我们约定用小写字母a、b表示兩个数，写成a+b=b+a，这就是加法交换律。（板书：加法交换律a+b=b+a）

师：仔细观察，加法交换律中，变的是什么？不变的是什么？

生（齐）：变的是加数的位置，不变的是它们的和。

师：变与不变竟然这样巧妙地结合在一起。（板书：变与不变）

【设计意图：由具体到表象再到抽象，引导学生聚焦规律本身，经历“猜想—验证—结论”的动态过程。学生从基于经验的发现，到对其数学意义的理解，再到内化后的个性表述，不仅加深了对加法交换律本质内涵的理解，水到渠成地提升了发现问题、解决问题、多元表征的能力及符号意识，还积累了合情推理的数学活动经验，为后续相关运算律的学习做好铺垫。】

三、类比迁移，自主建构

师：探寻出了加法交换律，你还有其他猜想吗？

生1：有没有减法交换律？

生2：有没有乘法交换律、除法交换律呢？

师：你们提出了这么多猜想，想不想继续验证？

生（齐）：想！

师：小组合作，可以选其中的一个猜想进行验证，也可以全部都进行验证。

生3：我们验证的是减法有没有交换律。通过4-3=1，而3-4等于负数，不等于1，能得出反例，所以减法没有交换律。

生4：我不同意。5-5=0，交换位置后5-5=0，差相等，所以减法是有交换律的。

生5：你举的这个例子是特殊的，被减数和减数不相等时差就变了。

生6：我们验证时，只要找到一个不符合猜想的例子，猜想就不成立，而不是只要找到一个符合的例子，这个猜想就成立。既然能举出反例，说明减法不存在交换律。

生7：除法也不存在交换律，也能举出反例。10÷5=2，而5÷10=[12]，结果不相等。

生8：乘法存在交换律。交换两个乘数的位置，结果都是相等的，而且也举不出反例，所以乘法有交换律。

师：你们太棒了！通过举出一个反例的方法，得到减法和除法不存在交换律，又通过大量举例且找不到反例，从而发现乘法也存在交换律。你能结合一个生活实例说明乘法交换律吗？

生9：横着看一行5朵花，有3行，竖着看一列3朵花，有5列，5×3和3×5的结果都是15，也就是表示这些花朵的数量不变，即5×3=3×5。

师：能用一种简洁、概括的方式表示乘法交换律吗？

生（异口同声）：a×b=b×a。（板书：乘法交换律a×b=b×a）

师：大家通过共同努力发现了乘法也存在交换律。大家真是太了不起了。

【设计意图：学生在经历加法交换律的探究学习后，已初步形成相应的探索心理基础和归纳推理经验。本环节先从一个发散性的问题出发，为学生提供一个质疑的机会，从数学化的角度开启类比联想——“减法、乘法、除法是否也存在交换律？”；再让学生将已积累的推理方法和经验迁移，第二次经历“猜想—验证—结论”的过程。在这一过程中，学生突破思维的束缚，审思明辩、敢想敢说、理性分析、反思质疑，进一步加深了对规律普遍性的认识和对“举一个反例否定错误猜想”方法的掌握，养成讲道理、有条理的思维品质，逐步由数学思考向理性精神过渡。】

四、学以致用，以用成学

师：我们用观察、猜想、验证的方法探寻出加法交换律，又根据加法交换律提出新的猜想并验证，发现了乘法交换律。在生活中，很多地方都会运用到它们，一起去看看。

题1：根据“3+4=4+3”，你还能想到什么生活情境？（引入“朝三暮四”成语故事）

题2：（1）看下面的每组竖式，你想到了什么等式？（2）你能结合今天所学的知识，解释其中计算的道理吗？

题3：男生女生来PK。

①84+16+68            246+54+39            25×4×23

=（ ）+（ ）    =（   ）+（ ）      =（ ）×（ ）

=（   ）                 =（ ）                  =（ ）

②84+68+16            246+39+54            25×23×4

=（ ）+（   ）    =（ ）+（ ）      =（ ）×（ ）

=（ ）                =（ ）                   =（ ）

（1）比一比：誰能算得又快又准？

（2）说一说：你有什么发现？你能用字母表示你发现的规律吗？

【设计意图：数学源于生活，用于生活。练习、交流、比赛的方式，既符合学生的认知规律，又能够帮助学生对新知进行内化和升华。前两道题，目的是再次唤醒学生的认知经验，进一步帮助学生加深对加法交换律和乘法交换律的理解与掌握。第3题则是让学生在紧张、刺激的比赛中不断建构和完善认知结构，进一步发展数学思维和符号意识，体会交换律的应用价值。】

五、融会贯通，以融创学

师：回顾整节课，你有什么收获？探寻和表述规律的过程给了你怎样的启示？

【设计意图：帮助学生梳理总结本节课所学知识，进而掌握其内在联系，让新知得到升华。同时，课堂教学内容得以自然延伸，为学生接下来继续学习有关运算律的知识打下夯实的基础。】

师：计算下面各式后照样子再写几组，说说你发现了什么规律？能用字母表示出来吗？

12-3-4=             12÷3÷4=

12-4-3=             12÷4÷3=

【设计意图：将课堂延伸，引导学生突破思维的束缚，仿照加法交换律和乘法交换律的探究过程，继续在“猜想—验证—结论—表述”中穿梭，在“变”与“不变”的辨析下理解，在数学“再发现”的过程中，真正学会用数学的眼光理性地、辩证地看待问题。为学生的思考留一扇窗，学习才能随时随地发生。】

【课后反思】

数学是一种理性精神，它建立在“学、问、思、辨、行”的基础上，学习和思考、实践相辅相成。本节课围绕两个核心问题，促进学生由具体到抽象、由感性到理性地深入理解加法交换律，且继续对其他运算中是否存在交换律的问题进行猜想、探究，培养学生的理性精神。

一、抓住学习过程，在审思中唤醒符号意识

加法交换律是四则运算的根本规律，也是小学数学课程体系中最核心的内容之一。与本单元其他几个运算律相比，加法交换律更容易理解和掌握，它如同一颗种子，能有效地辐射数学知识，即加法交换律理解了，其他运算律也就不难理解，顺手为之就可以了。因此，在加法交换律的探究活动中，先由简单、熟悉的生活情境引入，让学生自由地提问并列式解答，得出“3+4=4+3”这一等式；再通过学生提出的猜想“是不是任意两个数相加，交换加数的位置，和都一定不变呢？”引导学生思考、验证，从而感受猜想的合理性和可靠性；最后从用数字到用符号、图形，再到用字母来表示加法交换律。学生充分经历“观察→猜想→验证→结论”的全过程，对加法交换律的认识逐步从模糊到清晰，从具体到抽象，从感性到理性。学生在充分思考和表达的过程中，深刻体验了合情推理，积累了合情推理的活动经验，发展了符号意识，并为学习后面的运算律做好了铺垫。

二、利用学习经验，在明辩中培育理性精神

对于乘法交换律的探究，学生有更大的探索空间。在学生推导出加法交换律后，教师顺势利用 “你还有什么猜想？”“想不想继续验证？”等问题打开学生的思维，引导学生把探索加法交换律时获得的经验与方法迁移到新的问题情境中，自主尝试完成乘法交换律的探索之旅。整个探索过程中，学生突破思维的束缚，敢想敢说、明辩笃行，锻炼了思维的灵活性，感受了类比迁移的真正魅力。

问、探、辩、用、融——审辩式“五学”课堂为培养学生的思维能力不遗余力。因为数学学习不能只着眼于简单的知识传授，还应看到方法、策略、思想，以及学习的价值与意义，只有当教师的教着眼于学生的学、学生的能力养成、学生的思维提升，学生的数学核心素养才能真正落地生根。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 穆传慧.总结经验：审辩式学习的高贵品质[J].小学教学，2021（6）：18-19.

[2] 穆传慧.审辩式学习引领意义建构：“百分数的认识”教学实践与思考[J].小学数学教育，2022（12）：67-69.

【本文系广东省中小学数学教研专项课题“小学生数学审辩式学习的实践研究”（课题编号：GDJY-2021-M011）及深圳市教育科学规划课题“基于博弈思维的小学数学审辩式学习实践研究”（课题编号：Zdfz20087）的阶段性成果。】

（责编 金 铃）