不可压缩Oldroyd-B 系统的粘性消失极限

郭冬仪，黄金锐

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

1 模型与预备知识

本文研究在三维情形下粘弹性流体一般不可压缩Oldroyd-B 系统的Cauchy 问题：

受先前工作的启发，本文计划研究包含单侧粘性消失极限的数学机制：

本文的主要困难是耗散项缺失.为了补充耗散，下文引入如下辅助算子.将Leray 投影算子P 应用于式（1）的第一个方程和算子 Pdiv 应用于式（1）的第二个方程，得到

将式（2）的线性部分和非线性部分组合重写如下

其中非线性项表示如下

同时，用 (uϵ,0,τϵ,0,pϵ,0,σϵ,0)表示当μ→ 0时 (uϵ,μ,τϵ,μ,pϵ,μ,σϵ,μ)的极限，且有

其中i=1,2，δij是Dirac 函数，对i=j有δij=1而对于i≠j有δij=0，且满足不可压缩条件.

2 主要结果

本文首先介绍文献[5]中适定性结果.

且对于任意t≥0，满足时间衰减率：

对于情况I（或情况II），ε0取决于μ（或ϵ）和其他一些已知常数，但与ϵ（或μ）和t无关，而常数C1可能取决于和μ（或ϵ），但与ϵ（或μ）和t无关.

下面介绍本文的主要结果.

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其中常数C3仅取决于C1和C2.

证明首先给出系统能量的先验估计：将 ∇k(k=0,1,2)应用于式（6），然后将式（6）的第一个方程乘和将式（6）的第二个方程乘，通过分部积分和对指数k求和可得

在本文中，用“··≲”表示“·≤C·”，其中常数C是由Young 不等式和Sobolev 不等式产生的常数.

利用Hölder 不等式、交换子的估计和引理1，可以得到

进一步，通过使用分部积分、Hölder 不等式以及Young 不等式，可以得到

最后，注意到

对于情形II：

综上，将以上估计与式（13）相结合，得出对于情形I：

对于情形II：

以上为系统能量的先验估计，以下为对耗散的补充.由式（7）可得

通过使用Hölder 不等式和交换子估计，得到

进一步，利用Hölder 不等式，得到

从Cauchy 不等式和Young 不等式中得出

综上，得到

最后，得到扰动方程的总能量：

选择合适的ϵ1，当i=1 时，ϵ1仅取决于α,κ, β和μ；当i=2 时，ϵ1仅取决于α,κ,β和ϵ，有

根据Gronwall 不等式和引理1，可以得到