类比推理法在高中数学教学中的应用研究

孙启柱

【摘要】类比推理是数学学习的一种重要方法，通过对知识点进行对比分析和确定出异同处，可加深对知识点的理解.在当前的高中数学教学中，类比推理法已然成为一种常用的学习方法，学生通过应用类比推理法，不仅可以更好地学习数学知识，而且有利于提升学生的数学思维水平和解题能力.基于此，文章结合等差数列与等比数列教学、函数与方程教学、命题教学、平面向量和解析几何教学、立体几何教学，提出了应用类比推理法的一些方法.高中数学教师应该在教学中广泛应用类比推理法，以此帮助学生有效掌握类比推理法的应用方法和技巧，为后续的自主学习和深度学习奠定坚实基础.

【关键词】高中数学；类比推理法；立体几何；等比数列

教育学术界对类比推理法的内涵作出解释，即“根据两个事物之间的某一些相似属性，通过分析和推理而得出另外一些相似属性，这一种方法称之为类比推理.”在类比推理过程中，需要基于原有知识和相关情境进行知识的迁移，以此促进新旧知识的分类比较与融会贯通，而高中数学具有严谨性、系统性和抽象性的特点，因此，教师应结合教学实践，在教学中广泛有效应用类比推理法，如可以在等差数列与等比数列教学、函数与方程教学、命题教学、立体几何教学、平面向量和解析几何教学这些方面应用类比推理法，拓展学生的数学思维，帮助学生有效掌握应用的策略和技巧，提高解题能力等.

一、在等差数列与等比数列教学中应用类比推理法

在高中数学的知识体系中，等差数列、等比数列都是重要的知识内容，概念教学是重要的教学任务.从概念教学的角度而言，等差数列与等比数列的数学概念具有抽象性，学生在理解概念时会产生困惑，难以有效进行解释、判断、运算、推理、解决这些数学活动，对数学逻辑思维能力的发展较为不利.对于此，在教学过程中，教师可以考虑应用类比推理法，如可以借助等差数列的概念让学生进行类比推理，通过进行两个概念的类比推理而深化对概念知识的理解.

类比推理法应用在等差数列与等比数列教学中，教师可以有两种教学思路.第一，引导学生类比等差数列的“差”、等比数列的“比”，在此基础上引导学生类比等比数列的相关性质、等差数列的不同之处，可以通过代数的运算进行类比推理.第二，在课堂上讲解等比数列的概念知识时，应引导学生联系已经学习过的等差数列，对两个概念知识进行类比推理，试图借助等差数列的学习经验和理解而推导出等比数列的概念.在此过程中，教师可以设计一些探究性强的问题，如可以设计三个问题，一是“你还记得等差数列的定义是什么吗？能说出来吗？”二是“你是否可以根据等差数列的概念，类比猜想出等比数列的概念呢？”三是“结合具体的事例，你能说一说等比数列的定义吗？”借助具体的问题和趣味的概念引入方案，学生可以将新旧知识有效衔接起来，通过类比推理加深对概念知识的理解.通过类比推理，学生可以发现一点，即等差数列与等比数列之间的命题有对应性规律可循，在等差数列公式和等比数列公式中，前者的加、减、乘、除可以对应后者的乘、除、乘方、开方.为了让学生可以直观学习和理解等差数列与等比数列的概念知识，教师可以要求学生制作表格，将类比推理的成果用表格呈现出来.如表1，是等差数列与等比数列的概念类比推理.

等差数列与等比数列教学中，教师可以借用典型的例题训练学生的类比推理能力.如可以设计这样一道题目，即现有{an}这一等差数列，当a10的值为0，则a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n，其中n<19且n为正整数，进行类比推理：现在有{bn}这一等比数列，如果b1×b2…×b9=1，那么S9的值为多少呢？借助这一典型例题，学生需要结合等差数列与等比数列的概念知识进行类比推理，这一过程中可以有效发展类比推理能力.

二、在函数与方程教学中应用类比推理法

高中数学中，函数知识具有十分重要的地位，因此，教师要帮助学生有效学习和建构完整的知识体系.函数与方程教学具有复杂性和专业性，对于学生而言会有较大难度，尤其是强调学生有良好的抽象思维能力和分析理解能力.正是因为如此，教师要对函数与方程教学中的方法进行创新，尝试应用一些新方法帮助学生有效学习和理解函数与方程的知识内容，最大程度地降低学生的学习难度.在将函数与方程教学内容引入课堂时，教师可以选择应用类比推理法，与此同时，可以借助典型例题引出类比推理法的方法和技巧，促使学生在“分析问题→探究问题→解决问题”这一学习过程中，提高应用类比推理法的综合能力.

在函数与方程教学中，教师可以和学生一起解决数学问题，如有两个圆的坐标方程分别为x2+y2=1和x2+（y-3）2=1，前者式子减掉后者式子便可以得到两个圆的对称轴方程.如果是要对题目中的命题进行推广，要求得到一个更一般的命题，且要保证已知命题是推广命题的特例，那么应该如何总结.在解决这一数学问题时，学生需要用到类比推理法进行思考，即基于“对称性”这一性质，能够知道题目中的两个圆具有一个特定关系，即半径相等.当圆心处于不同位置时，对称轴方可以出现，可以通过类比推理得到两个圆的对称轴方程，需要确定两个圆的两个式子，一是圆方程（x-a）2+（y-b）2=R2，二是圆方程（x-c）2+（y-d）2=R2，两个圆方程满足条件a≠c和b≠d，两式相减即可得到对称轴方程.

三、在命题教学中应用类比推理法

在新命题提出时，师生会进行一系列的思维过程，主要包含联想、类比、推理及归纳，也因此让类比推理成为高中数学命题教學中一种非常常见的思维方式，具有重要作用.命题教学中应用类比推理法时，教师除了凸显学生的主体地位之外，还应该多对学生进行指导，帮助学生有效应用类比推理方法，以求促进思维发展，尤其是促进思维具备良好的广阔性和创造性.在命题教学中应用类比推理法时，教师应该指导学生重点研究命题的三方面相似性，一是性质特征，二是结构内涵，三是形成过程.以高中数学中的立体几何命题为例，教师可以指导学生重点进行平面和空间的类比推理，在此过程中学生可以推理出一些空间图形的性质.再以圆相关知识的教学为例，指导学生重点类比圆和球类，通过类比推理，学生可以猜测和验证出“两球相切的性质”.总之，在高中数学的命题教学中，教师应该重视类比推理法的应用，并帮助学生培养良好的学习习惯，以求借用类比推理方法更好地理解新知识.

除课堂上重视命题教学，将类比推理法应用在命题教学活动中，教师还应该高度关注近些年的数学高考变化.通过分析可以发现一点，即近些年的数学高考试卷中会有一些类比推理的题目，综合考查学生的类比推理能力.有这样的一道高考试题，即已知由1楼至2楼共有20级台阶，现在假设规定上楼的人每一步只可以跨上1级台阶或2级台阶，那么想要从1楼爬上2楼，共有几种方法呢？在解题过程中，如果学生是进行直接思考或传统思考，则会发现有太多的方法，解题时会出现思维混乱的情况.针对于此，教师在指导学生分析和解题时都应该抓住一个切入点，即让学生从题目中找出对应的模型.如在解题时可以假设第n级台阶会有fn种方法，如果是要跨上第20级台阶，则需要从第18级台阶和19级台阶分别跨上2级和1级为到达，可以得到关系式“f20=f18+f19”.继续通过分析，可以得出“f19=f17+f18”“f3=f1+f2”等一系列的关系式，在此基础上借用类比推理法，便可以进行逐项计算和推导出结论，即想要跨上第20级台阶，f20=10946，表明从1楼爬上2楼可以有10946种方法.可以说，新课程改革背景下的高中数学命题教学中，教师应非常重视类比推理法，且关注数学高考变化，帮助学生针对性地训练类比推理法的应用能力，避免在高考中失利.

四、在平面向量和解析几何教学中应用类比推理法

五、在立体几何教学中应用类比推理法

高中数学的立体几何教学有两大特殊性，一是较为抽象和复杂，学生在学习和解题时都不可避免遇到困难，影响到学生的高中数学整体学习质量；二是立体几何教学和培养学生的高中数学核心素养有密切关联，如需要借助立体几何教学培育学生的数学思维能力、空间想象能力.正是因为如此，教师应格外重视高中数学的立体几何教学，既要向学生传递立体几何的知识内容，也要帮助学生发展数学核心素养.从类比推理的角度而言，教师可以将立体几何的知识与平面几何的知识对应起来，引导学生在学习过程中进行类比推理，在已有知识经验的基础上有效学习和理解立体几何的知识.比如，在讲解立体几何的“线”“面”的知识时，教师可以将其和平面几何的“点”“线”知识对应起来，指导学生在类比推理中有效学习.更重要一点，即学生通过类比推理“二面角”和“平面角”，能够将知识从二维向三维过渡，学习立体几何知识的难度可以有所降低，对发展数学思维能力、空间想象能力也会有十分大的裨益.

高中数学的平面几何教学中，勾股定理是常用的定理，当△ABC的AB，BC这两条边具有相互垂直的关系时，则AB2+AC2=BC2.如果是由平面拓展或延伸至空间，则教师可以指导学生进行勾股定理的类比推理，试着得出三棱锥的底面积、侧面积之间的关系，并可以提出具体的探究问题，即当三棱锥A-BCD的三个侧面ABC，ABD，ACD具备“每两个侧面都互相垂直”这一关系时，则可以得到一些什么结论？在类比推理过程中，学生可以假设S△ABC，S△ACD，S△ABD，S△BCD分别是等于x，y，z，α，则可以假设三个式子：x3+y3+z3=α3，x+y+z=α，x2+y2+z2=α2.要求学生通过类比推理法确定出三个式子的正确与否，可以促使学生进行“大胆猜想”和“小心驗证”.

结 语

教师应该将类比推理法广泛应用在高中数学教学中，帮助学生熟练应用类比推理法，掌握类比思维和提高高中数学解题能力.不过要想有效应用类比推理法，实则对教师“教”的能力和学生“学”的能力都有较高的要求，尤其是强调教师的有效教学，所以教师后续依然要加大研究力度，继续探究类比推理法融入课堂教学的方法和技巧，尤其是应该贯穿于高中数学解题教学中.与此同时，教师应引导学生进行自主学习和深度学习，以便可以掌握类比推理法的应用方法，使其成为自己学习和解题的重要抓手.

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