在沟通中关联 在延展中创造

王芳

教师缺乏对教学内容的深度理解，会导致学生的学习不够深入，思维发展受到限制。如何实现数学的深度理解？笔者提出了“联·创数学”教学观。“联”指建构数学知识的关联化、抽象化理解，“创”指创造性地迁移、应用数学知识和思想方法。“联·创数学”主张从学情、数学本质、核心素养的培养出发设计教学活动，笔者以北师大版小学数学四年级下册《买文具》为例，做具体阐述。

一、沟通联系助理解

教学中，笔者基于学生对元、角、分和小数意义的已有认知，利用面积模型，引导学生理解小数乘整数的意义和算法，使学生的认知从感性具体上升到感性一般再上升到理性具体。

1.关联经验，结合已有知识初步理解

学生第一次学习小数乘法，首先需要理解这样的乘法是怎么来的、意义是什么。

课堂上，筆者先围绕买文具的情境设计学习任务，提出一个可以用相同小数连加解决的数学问题：每块橡皮0.2元，买4块橡皮需要多少钱？学生借助已有的加法经验和元、角、分的知识，能够独立解决这样的问题。学生的解题思路有如下两种：4个0.2元相加是0.8元；0.2元是2角，4个2角是8角，8角就是0.8元。相应地，学生列式为“0.2+0.2+0.2+0.2”或“0.2×4”。笔者追问：“0.2×4”这个乘法算式表示什么意思？学生解释“0.2×4”表示4个0.2相加的和，并在笔者引导下理解了小数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和，基本明晰了小数乘整数的计算方法。最后，笔者提出“如何计算0.2×4”的问题。学生提出两种计算方法：一是基于乘法的意义回到加法计算，即用“0.2+0.2+0.2+0.2”得出0.8元；二是联系元、角、分的知识计算，即把0.2元看成2角，2角是2个1角，4个0.2元就是8个1角，8角就是0.8元。笔者抓住方法二，在后续教学中引导学生概括乘法的算法。

此环节用加法解决问题是为了让学生理解小数乘法的意义；用元、角、分的知识解决问题，是为了让学生直观感受乘法交换律和乘法结合律在乘法运算中的应用。此时学生的理解处于感性具体水平。

2.沟联意义，借助面积模型深入理解

从教学前测结果看，正式学习本课前，大部分学生能够根据已有的知识、经验正确计算“0.3×2”这样的算式，但不能清楚地说出算理。学生会计算了，这节课重点学什么？针对学生“知其然而不知其所以然”的现状，笔者利用面积模型，引导学生基于小数的意义进一步理解小数乘整数的意义和算理。

在以往的学习中，学生已经积累了一些借助图式表征达成数学理解的经验。课堂上，笔者引导：“我们已经会用面积模型表示小数，请你回忆一下，0.2怎样表示？”学生回答：“把一张长方形纸平均分成10份，涂出其中的2份，表示0.2。”接着，笔者呈现笑笑的作品（如下图），让学生在小组内说一说自己的理解。

然后，笔者引导学生聚焦“怎样画图表示0.2”“怎样画图表示0.2×4”“得数是几个0.1”三个问题展开交流。有的学生说：“用一个长方形代表1元，把它平均分成10份，每份就是0.1元。0.2是2个0.1元，所以应该涂2份。买4块橡皮就是涂这样的8份，8份就表示0.8元，从而得出0.2×4=0.8。”有的学生说：“也可以直接把0.2看成2个0.1，涂了4次就是涂了8个0.1，8个0.1就是0.8。”笔者肯定了学生的回答，并用算式加文字的形式把学生所解释的每一步表达出来。

0.2×4

=（0.1×2）×4（依据小数的意义）

=0.1×（2×4）（依据图式表征）

=0.1×8

=0.8（依据小数的意义）

最后，师生共同归纳：计算“0.2×4”，就是要计算其中包含多少个0.1。

此活动借助面积模型，引导学生直观体会运算律、小数的意义、小数乘法的意义在小数乘整数运算中的应用，通过图示、符号和语言表征使学生的理解从感性具体上升到感性一般的水平。

3.迁移运用，巩固小数乘法的意义和算理

本环节，笔者重点引导学生借助“买尺子”的问题情境解决“0.4×3”的计算问题，帮助学生迁移运用新知、积累解题经验。

课堂上，笔者先让学生在小组内说一说，然后画一画或写一写计算“0.4×3”的方法。学生交流后，笔者提示：“无论是用元、角、分的知识计算，还是用面积模型计算，都是在算‘3×4=12。对于结果‘12角，我们知道它表示‘1.2元，那么，面积模型中涂出的12条表示什么？”学生回答：“涂出的12条表示3个0.4，也就是12个0.1，12个0.1就是1.2。”最后，师生共同把每一步理解用算式加文字的形式记录下来。

此活动引导学生从小数的意义、小数乘法的意义再次梳理算理，并体会乘法运算律在运算中的作用。

二、迁移延展助创造

这里的“创造”指把数学知识和思想方法创造性地迁移应用到相关联的新知识的学习中。综观小学数学教材，与本课内容相关的知识很多，如小数乘小数的意义及算法、小数乘法的竖式计算等。

能够迁移的知识是具有一般性的知识，是能够揭示数学本质的知识。那么，本课中哪些知识是迁移应用的抓手呢？回顾前面的教学，笔者引导学生依据问题情境将小数乘整数的意义解释为“求相同加数的和”，这样理解沟通了小数乘法与整数乘法意义的一致性，但是直接将“求相同加数的和”迁移到小数乘小数中行不通。怎么解决呢？

前面的教学活动中，笔者引导学生将“求0.2×4等于多少（4个0.2是多少）”转化为“求4个0.2中包含多少个0.1”，这种思维具有一般性，可以迁移到理解小数乘小数的意义中。

本单元第3小节的教材，通过求街心广场、花坛、地砖的面积的情境引入小数乘小数的乘法。如：每块地砖的长和宽分别是0.3米和0.2米，求地砖的面积是多少平方米？这道题依据长方形的面积公式，可列算式“0.3×0.2”。依据面积的本质，“0.3×0.2”可以解释为“求地砖的面积包含多少个0.01平方米”，即求“0.3×0.2”中包含多少个0.01。如果学生能主动实现这种迁移，就说明学生对小数乘法意义的理解达到了抽象水平。如果学生难以实现这个层面的迁移，教师可以引导学生先聚焦问题情境，根据长度和面积的意义直观地梳理算理，再抽象概括算理。如这样推理：地砖的面积=长×宽=0.3米×0.2米=3分米×2分米=（1分米×3）×（1分米×2）=（1分米×1分米）×（3×2）=（0.1米×0.1米）×6=0.01平方米×6=0.06平方米。在此基础上，教师可以引导学生舍弃情境，明确计算“0.3×0.2”就是求其中包含多少个0.01。

此外，教材并没有直接从运算律出发解释小数乘法的算理，而是从元角分的关系、面积的本质、面积模型出发解释算理。教师要在恰当的时机引导学生脱离情境理解算理，将算理抽象化为运算律的应用，进而从计数单位的视角揭示运算的本质。基于此，本课在探究如何计算“0.2×4”和“0.4×3”的过程中，笔者反复要求学生将依据元、角、分的知识和图式表征得到的算法用横式表达、用语言表征，目的是让学生体会小数乘法算法的本质是乘法的意义和乘法运算律，并将这种概念化的认知迁移到小数乘小数的运算中。

（作者单位：潜江市田家炳实验小学）

责任编辑  刘佳