如何利用高中数学课本习题培养 提高学生的思维能力

摘要：培养学生的思维能力是数学教学的重要目标之一，如何实现这一目标，灵活处理高中数学课本的习题，挖掘并掌握其中的丰富内涵，是一种行之有效的办法，其对培养学生思维的发散性、灵活性、深刻性、创造性、广阔性都有很大作用。

关键词：思维能力  课本习题  作用

习题课教学是高中数学教学的重要形式，处理好习题课的教学，对教学质量的提高、学生智力的发展、思维品质的培养都起着至关重要的作用。但在实际教学中，部分教师只是通过大量的资料来进行习题课教学，导致学生对数学学习的兴趣不高，不利于培养学生的思维能力。因此，在实际教学中教师应该关注课本习题，课本习题是教材的重要组成部分，这些习题是编者从茫茫题海中经过反复筛选、精心选择出来的，是培养学生双基的重要来源，也是教师传授知识的纽带，发挥着重要的教学作用。

一、拓展延伸，培养思维的发散性

在教学中，如果对一些典型的习题进行变式处理，如改变原题的条件、结论、方法或逆向思维、反例分析等，即可以在演变多解过程中，使得学生在知识及方法的纵横方向分别得以拓广和延伸，培养学生的发散性思维。

例1 数学必修⑷P122第3题证明：对任意a，b，c，d∈R，恒有不等式（ac+bd）2≤（a2+b2） （c2+d2）    （1）

先让学生推证，发现他们用比较法、综合法、反证法、放缩法都可以得到证明，此时进一步追问：能否有更新颖的证法呢？

引导学生抓住“a2+b2”、“c2+d2”、“ac+bd”的结构特征，因此可考虑用构造法证明。

证法1 （向量法）

构造向量[u]=（a，b）， [v]=（c，d）， [u]·[v]=|[u]||[v]|cosθ（其中θ为向量[u]与[v]夹角）

则ac+bd=[a2+b2]·[c2+d2]cosθ，

（ac+bd） 2=（a2+b2）（c2+d2） cos2θ

≤（a2+b2）（c2+d2）

[y][A][C][B][O][x]

证法2（构造三角形）利用“三角形的两边之和大于第三边”（上图中OBCA为平行四边形）

由|OA|+|OB|＞|AB|及|OA|+|OB|＞|OC|，不等式⑴迅速得证。

由解法一不少学生都能发现a与b，c与d可交换位置。

[变1]求证：（a2+b2）（c2+d2）≥（ad+bc） 2    ⑵

[变2]⑴式两边开方可否？

求证：[a2+b2][c2+d2]≥|ac+bd|       ⑶

[变3]⑶式右边去掉绝对值可否？

求证：[a2+b2][c2+d2]≥ac+bd       ⑷

对于⑴式能否有更深刻的变化呢？将不等式⑴字母分别排序，得

（a12+a22）（b12+b22）≥（a1 b1+a2 b2） 2 ⑸

通过分析知道，可以按字母增加的方向演变.

[变4]设a1、a2 、a3 、b1、 b2、 b3∈R，

求证：（a12+a22+a32）（b12+b22+b32）

≥（a1 b1+a2 b2+a3 b3） 2 ⑹

此时，利用学生的连续思维所产生的思维惯性，教师因势利导，把问题推广。

推广  设ai，bi∈R（i=1，2……n），则

（a12+a22+……+an2） （b12+b22+……+bn2）

≥（a1 b1+a2 b2+……+an bn） 2

（当且仅当ai=kbi时，取“=”号）

这是一个重要的定理，叫柯西不等式，不等式⑸、⑹即柯西不等式当n=2和 n=3时的特例。如此层层推进，使结论更加完美，更具有普遍性。

上述对原题从不同角度进行演变和多解，这样从一题多变到一题多解，使知识横向联系，纵向深入，拓宽了学生的思路，培养了学生的发散思维。

二、融会贯通，培养思维的灵活性

数学中有很多知识是相互联系的，现行新教材特别注意用联系的观点处理问题，课本中例、习题为我们提供了充足的素材和广阔的空间。因此，在教学中充分利用课本例、习题之间相互联系、互相作用、互相影响这一规律，引导学生串通教材，做到融会贯通，开阔学生的视野，增强学生思维的灵活性。如研究空间面面关系，线面关系，线线关系时经常要用到转化思想方法来解题，通常有关线面平行、垂直的问题可转化为线线平行、垂直的问题，而有关面面平行、垂直的问题可转化为线面平行、垂直的问题。

例2 数学必修⑵P72例3，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.

证明：[PA⊥平面ABCBC?平面ABC][?][PA⊥BCAC⊥BC]

这是一个典型的通过线线垂直去证线面垂直再去证面面垂直的例子，这样解剖一例串通一片，揭示了问题的本质，沟通了内在联系，使学生学过的知识结构化、系统化，学生的思维灵活性得到有效激活。

三、揭示规律，培养思维的深刻性

有些例题、习题蕴含着解题思路或方法上的规律性，教师要有意识地引导学生去分析、归纳、挖掘、提炼，以总结出这些规律，并使学生深刻领会，牢固掌握，能用于解类似的问题，这有利于提高学生思维品质的深刻性。

例3 数学必修⑸练习：

等差数列{an}的前n项和是Sn=5n2+3n，求它的前3项，并求它的通项公式。

多数学生解为：∵S1=a1=8， S2=a1+a2=26

∴a2=S2-a1=18， d=a2-a1=10， a3=a2+d=28，

∴an=10n-2，教学不应就此结束，可继续设问：“若等差数列这个条件去掉，应该怎样求an？”经过总结归纳，可以发现：

∵Sn=a1+a2+……+an   Sn-1=a1+a2+……+an-1，

∴an=Sn－Sn-1，这实际上就得到了有价值的通法了，即：凡是已知 Sn，抓住Sn与an的关系an=[S1 n=1Sn-Sn-1 （n≥2）]

an学生掌握了此规律，以后处理类似问题就不费周折了。

再进一步推广、深化例3：

Sn是数列{an}的前n项的和，若对任何自然数n，

Sn=an2+bn（a、b∈R且ab≠0）可以证明数列{an}是公差为2a的等差数列.再进一步追问，若Sn=an2+c（c≠0），数列{an}是等差数列吗？为什么？

如此层层深入思考，分析归纳，不断深化，有效地训练和培养了学生思维的深刻性。

四、标新立异，培养思维的创造性

习题教学中，在学生掌握基本方法的同时，应有意识地创设新活的思维情境，激励学生不依常规、不受教材与教师传授的方法的束缚，引导学生多角度、全方位地思考问题，鼓励学生标新立异、探究新解，达到开拓学生思维、锻炼学生思维创造的目的。

例4 数学必修⑷P111例7，已知A（-1，-1），B（1，3），C（2，5）试判断A、B、C三点之间的位置关系.这是一道基本题，但应要求学生尽可能多地进行多方位、多层次的联系，寻求不同解法，如一些学生仅想到一些常规解法：

（1）证明|AB|+|BC|=|AC|；（2）证明点B在直线AC上；（3）证明直线AB、AC的方程相同或斜率相等，而有一些学生，联想宽广深刻，不但有上述解法，还得到了如下的非常规解法；（4）证明点C到直线AB的距离为0；（5）证明△ABC的面积等于零；（6）证明点B是有向线段AC的一个定比分点，显然后者的解法较之于前者，更难想到，更独到，因而更具有创新性，有利于培养思维的广泛性、创造性。

五、联想转化，培养思维的广阔性

数学是一个具有内在联系的有机整体，各不同分支，不同部分，都是相互联系、相互渗透的，解题方法、解题思路更是如此，因而，在课本例、习题的教学中应有意识地教给学生类比、联想、转化的方法，以提高学生分析问题、解决问题的能力，促进知识的正向迁移，培养思维的广阔性。

例5 旧教材《立体几何》P70第4题：棱台的上、下底面的面积各是Q′和Q，求证：这个棱台的高和截得这个棱台的原棱锥的高的比是[Q-QQ′Q]。

证明此题后，要学生进行类比联系：即若把其中的“棱台”换为“圆台”，则有怎样的结论？学生经过类比联想，可得结论：“圆台的上、下底面的面积各是Q′和Q，那么这个圆台的高和截得这个圆台的原圆锥的高之比是[Q-QQ′Q]。”

对于刚解决的问题，或者是熟知的问题，引导学生横向思考，类比联想，常可获得某些问题的解题思考或新颖的结论。

例6 旧教材《代数》下册P17例7  已知a，b，m∈R+，并且a＜b，

求证：[a+mb+m]＞[ab]

教材上是用“分析法”证的，如果就此结束，效果不大，实际上，它内蕴着丰富的教学价值，如引导学生巧妙联想，灵活转换，构造函数来证，则很富有意趣。

证明：令f（x）=[a+xb+x]=[x+b+a-bb+x]=1+[a-bx+b]

∵a-b＜0，∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，

∵m＞0，∴f（m） ＞f（0）   即[a+mb+m]＞[ab]

这样的教学就使学生不再把函数与不等式割裂开来，而是融合为一个有机的整体，以后处理有关问题时将能迅速迁移，另如例1巧妙地利用了数形转换解题的思想方法，这些都有助于培养学生思维的广阔性、创造性。

综上所述，课本是教学之本，深挖教材的潜力，充分发挥教材的自身作用，处理好课本例、习题的教学十分重要.立足课本，对课本典型例、习题进行演变、探究、引申、拓广、应用，由点到面，由题及类，解剖一例，带活一串，注意数学思想方法的渗透，这样教学，深化了基础知识，培养了思维品质，发展了思维能力，这正是我们所要追求的目标。

备注：

课题名称：在高中数学课堂教学设计中落实核心素养的实践研究

课题编号：JKGH19247

课题主持人：陈荣军

课题成员：陈荣军 李勤  胡正明  张征  黎明

课题类别：信阳市教育科学规划课题

课题成果（论文）：如何利用高中数学课本习题培养 提高学生的思维能力