用联系和发展的眼光做好主题单元教学

宋晓杰

摘 要：高中新课标建议教师整体把握教学内容，关注主题单元教学.初高中同为中学阶段，相互联系，教师可以对教材内容进行整合，帮助学生系统地认识数学.本文通过研究课标与教材，寻找知识相关点，提出了“通过类比温故知新、通过对比加深理解、通过整合促进生长”的整合策略.

关键词：初高中数学；课标与教材；主题教学；整合

1 问题的提出

初高中新课程标准中都突出强调了学科核心素养，而“学生核心素养的养成不是一蹴而就的，具有阶段性、连续性、整合性等特点”［1］.《普通高中数学课程标准（2017年版）》教学建议：教师需要“整体把握教学内容，促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展”［1］，注重联系，改善教学方式，提高学生对数学整体的认识.一线教师要跟上新课改的步伐做好教学上的调整，“不仅仅关注每一节课的教学目标，更关注主题单元的教学”［1］.从整体的视角，按照知识之间的内在联系对教材进行整合，使教学内容更加连贯和完整，帮助学生更系统地理解数学知识，更好地培养学生的综合素养和学习能力.

2 初高中数学课程知识结构编排顺序分析

依据皮亚杰认知发展论“学习从属于发展，学生的认知发展制约着他所能学习的范围”，教材知识结构所包含的知识必须在学生认知范围内，知识结构的编排顺序必须依照学生的认知顺序才能有利于教学.因此，现行教材在初高中对一些概念的介绍会有不同，比如，在初中阶段，将有理数分为整数和分数，而高中阶段就可以告诉学生：分数就是有理数，小数就是实数.一般来说，同一主题初高中课程的变化特点：一是“从特殊到一般”，二是“从具象到抽象”，三是“从初步认识到综合运用”.

站在课标的高度，高中数学的学习不仅仅需要大单元教学的整合，也应考虑到整个中学阶段的整合.因此，考虑到学生进入高中后知识内容陡增、学习内容断层、思想方法突变，高中数学课程结构增设了“预备知识”主题.这里的“预备知识”“以义务教育阶段数学课程内容为载体承前启后，为学生高中阶段的数学课程学习做好准备，帮助学生顺利过渡”［1］.

除此之外，在教学中还需一线教师根据实际情况做好整合.

3 做好初高中数学课程对比与整合研究

3.1 初高中数学课程对比研究

初高中同属于中学阶段，是一个系统的不同阶段，它们的基本理念相同、核心素养相关而递进、课程目标相同、课程内容相互联系.

课标与教材是教学的抓手，分析初高中课标与教材找寻内容的结合点，对做好中学数学的整合有重要作用.下面是相关知识对照表.

3.2 中学数学课程整合研究

高中教师如何跨越初高中的界线，将中学数学主题教学从理论研究走向教学实践呢？笔者整理了以下几种方法：

3.2.1 类比引入旧知，理解新知

如高中《解三角形》，可以回顾初中《解直角三角形》的方法：从角的关系，边的关系以及边和角的关系三个方面解三角形.

再如指、对数函数的类比，还有二次函数y=x2与绝对值函数y=|x|的类比：它们的图象和性质都有很多相似性.

3.2.2 对比研究旧知，巩固新知

如初中平面几何中，垂直于同一条直线的两条直线平行，在高中立体几何中就不一定成立.

再如函数概念，它贯穿中学数学始终.在初中时，函数是从“变化关系”的角度下定义，教学重点是让学生会用函数表达变化关系的实际意义，但因实际问题中自变量的单位不同，两个函数不能进行有意义的四则运算.而高中数学相对抽象，函数的定义融合黎曼“对应说”和布尔巴基学派“关系说”，形成“对应关系说”，强调的是实数集之间的对应关系，经抽象后不同的函数之间可以进行运算.在函数概念中引入精确和严谨的集合语言，也更好地描述了函数本质，拓展了函数的研究和应用范围［1］.

3.2.3 整合新旧知识，深度研究

在高中数学教学中，可以在新课结束后做拓展延伸，逐步提高学生对教材理解的深刻性.

如《数列的概念》，在第一课时了解数列后，笔者会做一个研究课《深入数列》，将数列和函数进行对比教学.进一步了解“数列是一种特殊的函数”.

再如初中学习的三角形相似和全等似乎到了高中就没有了用武之地.实际上对三角形的研究一直都没有停止.初中阶段是对三角形进行定性的研究，高中阶段是定量的研究.

因此，在学习《余弦定理》时，笔者会结合初中的《全等三角形》做一节解三角形的研究课，引导学生用发展的眼光看数学.

为抛砖引玉，列出如下教学设计片段：

案例1：“函数与数列”

学习目标：理解数列是一种特殊的函数；感悟特殊到一般的类比思想以及函数思想.

复习概念：“一般地，我们把按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项”.

问题1：数列的项与序号之间有确定的对应关系，这种对应关系让你想到了什么？

将横向写出的1，2，3，4，5…与a1，a2，a3，a4，a5，…对应分别圈出后纵向排列，同学们立刻想起了函数概念的图示.

同学们发现：数学概念是如此精炼的，在数列这个定义中，“次序”即“项数”，为自变量n，“数”即“项”，为函数an，数列表示的正是项数与项之间的函数关系.

问题2：数列的定义域是什么？值域是什么？

学生在讨论中确定了数列的特殊之處在于定义域为正整数集，注意到集合中元素的互异性，数列{an}不能直接记为值域.

问题3：表示一个数列有哪些方法呢？表示数列：3，6，9，12，15.

问题指向函数的表示方法：列表法、图象法、解析法.强调数列的图象是一系列离散的点.最后要求学生用解析法表示这个数列，指出通项公式就是数列的函数解析式.

问题4：（选单调性不同的数列，让学生根据数列的通项公式，写出前5项并画出图象.）观察图象，类比函数，我们还可以把数列怎样分类？

类比函数单调性，数列可分为：递增数列、递减数列、常数列及摆动数列.

问题5：我们还可以利用函数的图象研究数列的什么性質呢？

学生回顾研究函数的一般方法，可以给出许多分析.

笔者在整个过程中时刻提醒学生把数列与函数对比.

案例2：“三角形再研究之定量研究工具《余弦定理》”

学习目标：结合三角形全等分析解三角形的几种情形及基本解法.

问题1：本章名为《解三角形》，解三角形至少需要三个元素且其中至少有一条边，那么有哪些情况呢？

两角一边（AAS，ASA），两边一角（SSA，SAS），三边（SSS）

问题2：初中有哪些证明三角形全等的方法？

AAS，ASA、HL、SAS、SSS.

但初中只是对三角形的边和角做定性的研究，无法回答边和角具体有多大.

问题3：正弦定理可解两角一边（AAS，ASA）问题，它可解两边一对角（SSA）问题吗？

学生发现可能会出现不同结果（无解、一解、两解），这样的三角形是不稳定的.而当已知角是直角时答案会是唯一的，恰为HL.

问题4：任意三角形，已知两边及夹角求对边，用正弦定理可解吗？

初中学习的是已知角为直角，那么可用“勾股定理”

问题5：角不为直角，可以用勾股定理求出对边吗？

由特殊到一般，把斜三角形切割成两个直角三角形，用几何方法推导出了余弦定理.

问题6：余弦定理的式子中共有几个量？

四个量.从方程的角度知三求一，也可以已知三边求角（SSS）得余弦定理推论.

问题7：余弦定理及推论可解两边夹角（SAS）和三边（SSS）问题，它可以解SSA吗？

通过例题，将数据代入余弦定理，借方程解三角形，可能无解、一解、两解.

在这个教学片段中，笔者把初中的全等三角形与正余弦定理对照整合在一起，一是从量上解了初中疑虑：“为何SSA不能证明三角形全等”，二是让学生深入理解了正余弦定理.

4 结语

贝塔朗菲系统论认为：“所有的系统都具有整体性、关联性、结构相关性、动态平衡性和目的性”“系统整体大于各孤立部分的总和”.

教师要努力做好中学数学的整合，发现初高中数学知识的结合点并对比课标要求，在“旧知新学”的教学过程中，把握知识的发生、发展和过渡［3］，让学生不仅“知其然”还能“知其所以然”，用发展和联系的眼光，将旧知在新知教学过程中重现，达到“温故而知新”的效果.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［3］ 黄丽萍.把握新知与旧知的联结点优化课堂教学［J］.教育教学论坛，2017（26）：275276.