遵循认知规律 提升思维品质 发展核心素养——以《等差数列概念》第一课时教学为例

黄 勇 林晴岚

(福建教育学院数学研修部，福建 福州 350025)

等差数列是《普通高中数学课程标准(2017 年版2020 年修订) 》(以下简称高中数学课标) 的课程内容中函数主线下的数列主题的重要内容之一。高中数学课程标准教学要求，教师创设学习新概念的情境，让学生有能力依据已有的材料和知识，经历数学新概念产生必然过程，学习从数学角度对事物现象进行观察，从而发现、思考、分析现实的现象，正确地做出符合事实的数学推测，形成数学直觉，[1]提升学生从数学的角度观察事物现象的能力。从培育数学的思维品质方面，掌握构建知识体系思维路径，提升数学运算与逻辑推理的能力；从发展数学语言方面，从数学概念表达优化过程中感悟数学语言的精准与简洁，增强用数学抽象语言归纳与概括所观察的现象的意识，促进和发展学生的数学表达能力，有效地帮助学生理解抽象的数学概念，发展数学核心素养。[1]

一、遵循学生认知规律，培育数学思维品质

《等差数列的概念》这一学习内容教学是以《数列》主题第一节数列的概念为基点，从贴近学生生活的实例中创设情境，通过借助具体事物来感知“等差” 所具有的特征，直至形成“等差数列” 概念的全过程。[2]学生在经历新概念形成的过程，理解并掌握用数学的语言正确规范表达等差数列的定义和通项公式的推导的基本操作方法，以及用规范数学语言严谨表达新概念定义的细节要求。

(一) 创设情境，感知“等差”，培养思维的敏捷性

《等差数列的概念》是一节概念新授课，首先，通过创设学生熟悉的生活情境感知“等差”，展开新概念的形成探究活动:

【引入情境】

1.我国有用12 生肖纪年的习惯，例如，1997 年是牛年，从1997 年开始，牛年的年份为1997，2009，2021，2033，2045，2057，…；

2.我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为285，280，275，270，265，260，255，250，…；

3.2023 年1 月中，每个星期日的日期为1，8，15，22，29。

问题1: 以上三个情境，通过数学观察，你有什么发现吗? 你能用数学语言表达情境1 吗?

学生会借助数学运算发现，情境1 是相邻两项的差都是12 的数列，情境2 是相邻两项的差都是5 的数列，情境3 是相邻两项的差都是7 的数列。

情境1 可用学习过的数列表达方式表示为:

数列{an} 中a2-a1＝a3-a2＝a4-a3＝…＝12[2]

【设计意图】 新概念的情境引入学习，是以学生生活中熟知实际现象为“等差” 学习的基本点，通过师与生一起经历对生活中的现实现象观察、分析、抽象、推理、归纳、概括等活动，感悟新知识的认知过程，体验数学观察、发现、思考、抽象和表达，感知“等差” 现象在生活中的普遍存在，自然形成“等差数列” 雏形的整个过程。体验数学发现和创造的过程，培养学生思维的敏捷性。[3]

(二) 精确概括，感悟“等差”，培养思维的准确性

问题2: 能否归纳出以上三个数列的共同特征?会用数学的方式表达这一特征规律吗?

首先，引导学生观察从上面三种情境中抽象出的三个数列，发现每一个数列都有着后一项与前一项的差是同一数值的规律特征。其次，引导学生结合已学习过的数列表达方式，正确地使用数列的常用符号{an}、{bn}或{cn} 来表达不同数列的规律特征，即情境1 可表达为: 数列{an} 中an＋1-an＝12，n∈N＋；情境2 可表达为: 数列{bn} 中bn＋1-bn＝-5，n∈N＋；情境3 可表达为: 数列{cn} 中cn＋1-cn＝7，n＝1，2，3，4，5。最后，归纳出三个数列共同特征是: 数列{yn} 满足关系式yn＋1-yn＝d(d是常数，n≥1，n∈N＋)，认识到等差数列可以分为递增型等差数列、递减等差数列、常数列。[2]

接着，师生一起归纳概括出等差数列的定义:

文字语言: 一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。[2]

数学符号语言: 数列{an} 中，若an＋1-an＝d(d是常数，n≥1，n∈N＋)，则数列{an} 为等差数列(AP)，d为公差。[2]

【设计意图】 新概念的形成是基于现实问题中逐步抽象出数学结论的过程。学生在学习过程中感知“等差”、体验“等差”、概括“等差”、表达“等差”。通过对案例的分析，观察三个不同数列的个性特征，并且从特殊到一般，抽象概括出三个不同数列的共性，从文字语言和符号语言归纳出“等差数列”概念。深刻领会从“第二项起” “同一个常数” 等关键词的意义，准确把握好“等差” 是等差数列的特征规律，理解每一项对应数学符号语言下标的取值范围。学生在新概念的形成学习过程中，学会用数学的眼光观察现实事物的个性与共性，会用数学的思维思考怎样有序归纳概括事物的特殊性与一般性规律，会用数学的语言严谨地表达事物的一般性规律，培养思维准确性。[3]

(三) 深化理解，剖析“等差”，培养思维的缜密性

问题3: 一个等差数列至少有几项? 它们之间有什么关系?

引导学生联系等差数列的定义，学生容易想到一个等差数列至少要有三项。

追问: 如果用a，b，c来表示等差数列的三项，那么它们之间满足什么关系?

学生能联系等差数列的定义，由定义可得:b-a＝c-b，即2b＝a＋c，或b＝

此时，引导学生从代数运算理解2b＝a＋c，确定b是a和c的算术平均值；从数列主题学习要求是用一个新的名词“等差中项” 来刻画这样的算术平均值，由此引出等差中项的概念。

等差中项: 由三个数a，A，b组成的等差数列，可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.

师生一同从特殊到一般，归纳出: 等差数列{an} 中2an＝an＋1＋an-1(n≥2，n∈N＋)[2]也是成立的，也就是说，一个等差数列从第2 项开始，每一项都是它的前一项和后一项的等差中项，反之亦成立。这也是判断一个数列是不是等差数列的依据。

【设计意图】 通过追问，引导学生从特殊数列学习等差中项的概念，归纳出等差中项公式，发现等差数列的性质，深化理解“等差” 数列的概念。通过以上问题，引导学生去联想、去探索，培养学生的归纳、抽象、概括的能力，同时，渗透特殊到一般的思想方法，培养学生的思维缜密性。

(四) 公式探究，运用“等差”，培养思维的深刻性

问题4: 以情境1 为背景，如何求这个等差数列的第99 项、第999 项、第9999 项? 你的优化运算的策略是什么?

根据等差数列的定义可知，用等差数列的递推公式求解，即从数列{an} 中an＋1-an＝12，n∈N＋中，求此数列的第99 项、第999 项、第9999 项，计算量很大，需要不断知道所求项的前一项。所以，若能构建数列的所求项和所求项的序号之间关系模型，可以达到优化运算的目标，学生自然能想到寻找等差数列的通项公式。[2]

【探究】 你能从等差数列定义的推导公式寻找等差数列的通项公式吗?

引导学生由数列的首项a1和公差d来表示数列的第n项an.

“迭代” 和“累加(叠加) ” 等方法是求数列通项公式常见的重要方法，借助 “迭代” 和 “累加(叠加) ” 归纳得到等差数列的通项公式:

等差数列{an} 的首项为a1，公差为d，通项公式是an＝a1＋(n-1)d.(n≥2，n∈N＋)[2]

【设计意图】 通过例题引出推导通项公式的必要性。引导学生运用等差数列定义，从特殊到一般进行探究，并观察、归纳、猜想、推导出等差数列的通项公式。让学生经历了公式的探索过程，培养了学生“数学建模” 能力和逻辑推理能力，感受通项公式的实用性。[2]学习过程顺应学生的认知规律，关注学生已有的知识储备、思维能力与心理状态，整体建构符合学生的心理发展特点和对新知的认识规律，培养学生思维的深刻性。

(五) 联系函数，拓展“等差”，培养思维的创造性

问题5 : 观察等差数列的通项公式，会与我们熟悉的哪一类函数关系建立联系?

改写数列的通项公式an＝a1＋(n-1)d.(n≥2，n∈N＋)，为an＝dn＋(a1-d)。一方面，数列是函数f(n)＝an＝dn＋(a1-d) 在自变量取正整数(n∈N＋)时的函数，与学习过的一次函数f(x) ＝kx＋b(k，b为常数) 对应的图像是连续的，而数列对应的图像是散点图，但这些散点一定都是均匀地落在一次函数的图像上。[2]反之，任给一次函数f(x) ＝kx＋b(k，b为常数)，则f(1) ＝k＋b，f(2) ＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{an} 即{nk＋b}，其首项为a1＝k＋b，公差为d。[2]所以，学生很容易发现公差的作用是斜率，等差数列的通项的单调性与公差d的关系也就一目了然。

【设计意图】 从函数的角度再一次审视等差数列，引导学生一方面从代数关系式“式” 的角度探究等差数列，另一方面从图像的“形” 的角度，通过数形结合、纵横联系来探究等差数列，感知等差数列各项在平面直角坐标系中对应一次函数上一群离散的孤立点，使得学生思维发展具体形象化，深化理解等差数列通项公式与一次函数的内在联系，对学生理解与掌握等差数列的定义和通项公式，以及为今后学习等比数列提供“联想” “类比” 的研究路径。同时，渗透了函数与方程的思想，建立“等差数列这一特殊函数” 模型，培养学生思维的创造性。[3]

二、提升思维品质，培育核心素养

(一) 深化数列概念理解，培育数学运算素养

问题6: (1) 已知等差数列{an} 的通项公式为an＝5-2n，求数列{an} 的首项和公差。[2]

(2) 求等差数列8，5，2，…的第20 项。[2]

(3) -401 是不是等差数列-5，-9，-13，…的项? 如果是，是第几项?

(4) 等差数列{an} 中，已知a5＝10，a12＝31，求a100。

(5) 在-1 与7 之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数形成等差数列，求此数列。[2]

(6) 已知数列{an} 是等差数列，设bn＝2an＋3，求证: 数列{bn} 也是等差数列。[2]

【设计意图】 问题1 领会等差数列通项公式中通项与首项之间的关系，确定等差数列公差所需的基本元素，掌握用通项公式求解其他基本元素的转化思想。

问题2 利用等差数列定义，会从已知等差数列的项中，运用求等差数列通项的基本方法，寻求具体项。

问题3 灵活运用等差数列的通项公式转化成方程，判别所给具体数是否满足是数列对应方程的解的条件，以此判别所给元素是不是已知数列中的某一项。

问题4 会用基本量法解决相关等差数列问题，掌握用方程的思想结合等差数列定义综合解决相关问题的基本方法。

问题5 借助等差数列的某些项，寻求等差数列的公差，进而明确有限项数列的每一项。

问题6 是等差数列的证明，灵活应用等差数列的定义、性质和通项，建立已知数列{an} 和目标数列{bn}，掌握将未知转化为已知这一解决相关问题的常用基本思想方法，以及严谨规范地表达代数证明的基本步骤和方法。

【小结】 以上6 个问题，重点让学生在实践中感悟知识间的联系，促进学生深化理解等差数列定义、通项公式、性质，把握具体问题解决需要转化的条件，把握运用等差数列定义、通项公式和性质应用在解决具体问题时的基本思路，体会数学抽象、数学运算、代数推理与数学模型的有机融合，提升数学运算能力，深化对等差数列概念的理解，培育数学运算素养。[3]

(二) 厘清学习路径，培育数学素养

高中数学函数主线内容的总体学习路径是从研究事物的一般特征开始，在认识了一般事物的共同特征后，继而展开对具有典型特征事物的特殊性研究。[3]《等差数列的概念》这一学习内容是人教版高中数学选择必修二第四章数列第二节等差数列的内容，是学生在学习了数列的有关概念的基础上进一步认识特殊数列的开始，是新课标课程内容函数主线的数列主题内容之一，也是新课程新教材必修函数主题学习内容的延续与深化。[3]

《等差数列概念》是从学习一般数列到特殊数列——等差数列内容的第一课时，等差数列主题主要研究等差数列的定义、通项公式的推导、等差数列与一次函数间的联系等。[3]通过创设问题情境，以“问题串” 引导学生善用敏锐的数学眼光观察，从而感知“等差” 规律；激发学生主动探究，会用数学思维展开问题思考，分析归纳概括“等差” 的特征，形成“等差数列” 雏形，体验数学发现和创造的过程；[4]经历用数学语言精准、简洁地表达“等差” 特征，形成“等差数列” 概念的过程，在深化对“等差数列” 概念的理解过程中，发现“等差数列” 的性质，通过归纳猜想探索“等差数列” 的通项公式，利用“数形结合” 感受等差数列与一次函数的紧密联系，体验数学“模型思想”；运用“等差数列” 定义、通项公式和性质，合理将知识迁移，强化知识间联系，感悟解决问题基本方法和策略，促进对新概念的巩固联系、拓展提升。[4]归纳总结: 感知“等差” 概念，认识“等差” 规律，构建“等差” 模型，理解“等差” 特征，应用“等差” 解决具体问题，发挥“等差” 的实际作用价值。学生从经历过程中自然获得对事物的本质属性和规律的认识，体验、感受新概念的产生和形成的必然性，掌握探索事物发展规律的基本方法，科学认识事物发展必然规律，促进学生对事物的整体认识从感性提升到理性，提升了学生数学思维品质，发展了学生数学核心素养。[4]

三、结语

《等差数列的概念》这一课是概念教学，针对“等差数列” 概念的特点，主要完成“等差数列” 概念的形成和概念的同化两个环节。[4]教学中，一项新概念对学生而言，初次接触可能较难理解，需要通过对大量具体的案例观察分析，让学生从实际经验的肯定例证中，归纳出这类事物的特征，联系和区别已有的概念，形成对这一特性的确定性定义，这就是形成新概念过程。在这一过程中，要做好与认知结构中原有概念相互联系、作用的引导，帮助学生领会新概念的本质属性，获得新概念的同化。[5]通过对实例的归纳和辨析，促使对新概念的特性形成表述的理解。有机联系原有的知识结构，完成对新概念的学习理解。等差数列的学习路径和策略，对后续等比数列等主题内容的学习，无论是在新概念认识、理解上，还是思想方法、应用上，都有着可“联想” “类比” “迁移”研究的重要价值。只有构建不断思考和探索学习与研究的路径，才能促进学生思维品质的提升，达到培育学生数学核心素养的目标。