初中数学校本分层作业设计与思考——以“二次函数”为例

董盼红

一、“二次函数”校本分层作业设计背景分析

在数学学习中，二次函数是一个非常重要的领域。然而，每个学生的学习水平和学习需求都不尽相同，校本分层作业设计正是基于这种需求而提出的，它可以根据学生的实际情况，为每个学生量身定制作业，使每位学生在适当的难度下学习，避免因整体教学速度过快或过慢而导致的学习困扰。由于作业的难度与学生的实际水平相匹配，学生更容易理解和掌握知识，从而提高学习效果。

二次函数这一课涉及图象、方程、解析式等多个方面，对学生的逻辑思维和数学抽象能力提出了很高的要求。根据学生的数学基础，教师应分层设计基础概念的习题，对于基础较好的学生，可以设计一些深入探讨二次函数性质的问题；对于基础较弱的学生，则可以设计一些较为简单的题目，帮助他们建立起基本概念。同时，二次函数的图象和方程之间有着密切的联系。对于学生来说，将图象转化为方程，或者根据方程绘制出准确的图象，都是重要的学习内容，校本分层作业可以设计一些关于图象与方程转化的题目，根据学生的实际能力分层设置难度。

二、“二次函数”校本分层作业设计目标

通过本单元的学习，基础层的学生能够理解并运用二次函数的标准形式和顶点形式，能够简单地将二次函数转化为这两种形式，并确定二次函数的图象特征，如开口方向、最值点等。提高层的学生能够深入分析二次函数的性质，包括最值、零点，并运用这些性质解决简单的实际问题，如最大最小值问题和二次函数方程的解。拓展层的学生在掌握基本性质的基础上能够运用二次函数解决更为复杂的实际问题，包括最优化问题、二次函数与其他函数的复合应用等，培养实际问题建模和解决问题的能力。

三、“二次函数”校本分层作业设计案例

在设计初中数学校本分层作业时，教师要着眼于学生的不同学习需求和能力水平，制订基础层、提高层和拓展层三个层次的教学目标和相应的分层作业内容，这样的设计不仅充分考虑了学生的差异化学习需求，也促使他们在不同层次上获得相应难度的练习，从而更好地巩固和拓展二次函数的知识。分层作业设计是为了满足不同层次学生的学习需求，特别是在学习二次函数时，分层作业显得尤为重要。

（一）基础层：巩固基本概念

基础层的学生通常对二次函数的基本概念有所了解，但需要进一步巩固知识，这个层次的作业将侧重于帮助学生理解标准形式和顶点形式之间的关系，以及二次函数图象的基本特征。在二次函数y=ax2+bx+c中，系数a决定了抛物线的开口方向和是否为正（凹）或负（凸）；系数b影响了抛物线的位置，决定了最值点的横坐标；常数项c决定了抛物线与y轴的交点，通过这些参数，学生能够深入分析二次函数的性质。

示例题目一：

考虑二次函数f（x）=ax2+bx+c，其中a，b和c是常数，求该二次函数的顶点坐标（h，k）。

（设计意图：通过这个问题，学生将学会如何找到二次函数的顶点坐标，这是了解二次函数图象特征的基础。在这个问题中，学生需要了解二次函数的顶点形式f（x）=a（x-h）2+k。其中，h是顶点的横坐标，k是顶点的纵坐标。为了找到顶点坐标（h，k），可以利用公式x=-b/2a来求解。学生需要识别出二次函数的a，b和c的值，然后将这些值代入公式x=-b/2a中，得到顶点的横坐标h。接着，将h代入原始函数中，即可求得顶点的纵坐标k。最终，学生得到了顶点坐标（h，k），这就是二次函数的最低点或最高点，具体取决于a的正负性。这个问题的解答过程帮助学生理解了顶点坐标的一般求解方法，同时也加深了他们对二次函数图象特征的认识，为学生提供了解决更复杂问题的基础。）

示例题目二：

1.将二次函数y=-2x2+8x-6 转化为顶点形式，并求出顶点坐标。

猫眼女人看着他。她用指头沾点地上的血，举到鼻子上闻了闻。她明白了什么。她说那你等着吧，我叫人送钱来！猫眼女人打个电话，一辆黑色的奔驰商务车开过来，嘎地一声在他跟前停下。车上下来几个穿黑衣黑裤手里拎钢管的大汉，揪着大福的脖领子问那疼。大福手指指腰，钢管就砸到腰上；大福手指指腿，钢管就砸到腿上。直砸得他浑身青肿，跪在地上求饶才罢手。

2.比较二次函数f（x）=x2+4x+5 与g（x）=x2-6x+10的图象，分析它们的开口方向和最值点。

（设计意图：在第一个问题中，学生需要运用配方法将二次函数写成y=-2（x2-4x）-6 的形式，接下来，化简得到y=-2（x-2）2+2，从中可以看出顶点坐标为（2，2）。这个问题要求学生熟练运用平方公式，同时帮助他们理解顶点形式中的h和k分别代表什么意义，以及如何从中得出顶点坐标。

在第二个问题中，学生需要将两个二次函数转化为标准形式，比较它们的系数，然后分析它们的图象特征。首先，将两个函数转化为标准形式，得到f（x）=（x+2）2+1 和g（x）=（x-3）2+1。比较系数，可以看出f（x）是一个开口朝上的抛物线，最小值点为（-2，1）；而g（x）也是一个开口朝上的抛物线，最小值点为（3，1），这个问题培养了学生对二次函数图象特征的观察和分析能力。

通过这些基础层的题目，学生不仅仅是在巩固基本知识，更是在建立对数学图象和函数性质的直观认识。这种直观的认识是学生后续学习更高阶数学内容的基础，也是他们应用数学解决实际问题的基础。帮助学生打牢这些基础，能够使他们在更高级的数学学习中更加游刃有余。

（二）提高层：深入解析二次函数的性质

提高层的学生已经掌握了二次函数的基本概念，需要更深入地了解二次函数的性质，包括最值、零点和凹凸性，这个层次的作业将侧重于帮助学生运用这些性质解决更为复杂的问题。

示例题目一：

给定二次函数f（x）=ax2+bx+c，求该函数的最大值或最小值，并指出在哪个点取得。

（设计意图：教师可以提供不同a的二次函数，有些有最大值，有些有最小值。学生需要使用x=-b/2a找到顶点，然后代入函数，比较得出最大值或最小值，并找出取得最值的点。在这个问题中，学生需要判断二次函数的开口方向。如果a为正数，二次函数的图象开口向上，有最小值；如果a为负数，二次函数的图象开口向下，有最大值。学生需要找到顶点的横坐标h，然后将h代入原始函数，即可求得顶点的纵坐标k。这样，顶点坐标（h，k）就找到了。接着，学生需要判断最值是最大值还是最小值。如果a＞0，那么函数的最小值就是k，取得最小值的点为（h，k）；如果a＜0，那么函数的最大值就是k，取得最大值的点也是（h，k）。通过这个问题，学生不仅掌握了最值的一般求解方法，还学会了如何判断最值以及找出取得最值的点，这种问题的设计能够帮助学生理解二次函数图象特征的变化规律，并且学会举一反三。

示例题目二：

1.对于二次函数y=-3x2+12x-10，求其最大值，并确定使函数取得最大值的x值。

2.解方程2x2-4x-6=0，并分析方程的根与二次函数y=2x2-4x-6 的图象的关系。

（设计意图：在第一个问题中，学生需要将给定的二次函数转化为顶点形式。首先，利用配方法将二次函数写成y=-3（x2-4x）-10 的形式，然后完成平方得到y=-3［（x-2）2-4］-10。接下来，化简得到y=-3（x-2）2+2，从中可以看出最大值为2，并且当x=2 时取得最大值。这个问题要求学生运用完全平方公式，同时加深了对顶点形式的理解。

在第二个问题中，学生需要求出方程的根，然后观察根的位置与函数图象的关系。首先，利用求根公式得到x=-1 或x=3，这两个根分别对应着函数图象上的两个交点。通过观察系数，可以发现这是一个开口朝上的抛物线，根的位置与函数的顶点有关。这个问题培养了学生观察数学关系的能力，同时巩固了解二次函数与方程根的关系。

（三）拓展层：应用二次函数解决实际问题

拓展层的学生已经具备了较高的数学抽象和建模能力，现在需要将二次函数的知识应用到更为复杂的实际问题中。这个层次的作业将侧重于培养学生的问题解决能力，使他们能够将所学知识应用到真实世界的情境中。在现实生活中，二次函数常常出现在自然科学、经济学、工程学等领域的建模问题中，学生需要学会将抽象的数学知识与实际问题相结合，进行建模和分析，以便应对实际挑战。

示例题目一：

1.一架火箭发射后的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的关系由二次函数h（t）=-5t2+60t描述，求火箭的最大高度及达到最大高度的时间。

2.一家工厂生产的电视机销售价格x（单位：元）与销售数量q（单位：台）的关系由二次函数P（x）=-0.01x2+200x-500000 描述，求该工厂的最大利润及相应的销售价格。

（设计意图：在第一个问题中，学生需要通过求解二次函数的最值问题，找到火箭的最大高度及达到最大高度的时间。首先，将火箭的高度函数h（t）转化为顶点形式，得到-5（t-6）2+180。从中可以看出，最大高度为180 米，达到最大高度的时间为t=6 秒。这个问题模拟了火箭发射的实际情境，帮助学生将数学知识应用到物理问题中，培养他们的建模和解决实际问题的能力。

在第二个问题中，学生需要分析电视机的利润函数，并找到使得利润最大的销售价格。首先，将利润函数P（x）转化为顶点形式，得到P（x）-0.01（x-10000）2+500000。从中可以看出，最大利润为500000元，相应的销售价格为x=10000 元。这个问题模拟了企业定价的实际情境，要求学生将数学知识与经济实际相结合，为企业提供最佳策略建议。通过这类问题，学生不仅深入理解了二次函数的应用，还培养了他们的分析和决策能力。）

示例题目二：

一个人站在河边，希望抛出一个物体跨过河到达对岸。假设河的宽度为d米，抛物线的方程为y=ax2+bx+c，其中y表示高度（米），x表示水平距离（米）。如何选择a、b、c，使得物体能够以最小的初速度抛出，成功跨过河流，而不触及对岸的地面？

（设计意图：在这个问题中，学生需要将实际问题转化为数学问题。首先，设定物体起始点为抛物线的顶点，即（0，c），并要求物体能够跨越河流，因此顶点的高度必须大于河流的宽度，即c＞d。其次，抛物线与x轴的交点为抛物线的两个根，其中一个根为负数（物体的起点在抛出时已经在空中），另一个根表示物体着陆的位置。接下来，学生需要建立一个目标函数：S=a2+b2，这个函数表示了初速度的平方和。问题要求最小初速度，即需要最小化目标函数。为了求解这个问题，学生可以利用二次函数的性质，如顶点坐标的x值为-b/2a。通过将这个值与河流的宽度相比较，学生可以得到关于a和b的方程。接着，结合c＞d，学生可以得到问题的可行解集。最后，通过分析S这个函数的最小值，学生可以确定最小初速度以及相应的a、b、c的值，满足问题的要求。通过这个案例，学生将学会将二次函数用于实际的优化问题中，培养了他们的问题建模和求解能力，进一步提高了他们的数学建模水平。）

通过以上分层作业设计，学生在逐步深化对二次函数理论知识的掌握的同时，也得到了充分的解决实际问题的机会。这种分层作业设计不仅满足了学生个性化学习的需求，也为他们将来更深入地学习数学打下了坚实的基础。