浅析数学思想方法在教学过程中的渗透与发展

[摘  要] 思想和方法蕴含在知识形成、发展和应用的过程中，是知识转化为能力的纽带，其生长于数学课堂的每个角落. 为了更好地发展学生，初中数学教师在关注结果教育的同时也要关注创新教育，带领学生在知识的形成、发展和应用过程中感悟数学思想方法的价值，提升学生核心素养.

[关键词] 思想和方法;创新教育;核心素养

作者简介：闵晓颖（1965—），本科学历，中学高级教师，从事初中数学教学与研究工作.

数学学习是知识的一种传承，更是思想和方法的发展. 思想和方法是知识更高层次的一种抽象和概况，更能彰显学生的数学学习能力和思维发展水平. 但在应试教育的束缚下，不少数学课堂还延续着“以师为主”的讲授教育模式. 要知道，单纯传授知识的教育是一种结果教育、间接经验教育，它重点强调的是知识的传承，其往往难以激发学生的潜能，不利于学生创新能力的提升. 而创新教育是一种过程教育、直接经验教育，教师应带领学生参与知识的形成和发展过程，从而让学生在参与的过程中获得直接的数学感悟，将其逐渐转化为个体的独特学习能力，助力学生提升自主学习能力. 同时，为了更好地发展学生的创新能力，教师在数学教学中要重视数学思想方法的渗透，从而帮助学生更好地认识问题的本质，激发学生无限潜能，促进学生学习能力不断提升.

在知识的形成过程中激发

在传统教学中，为了提升教学效率，大多教师通常独占课堂，将知识和经验以讲授的方式直接传授给学生，同时加以辅助的练习帮助学生理解和消化. 从练习反馈来看，对于一些简单的问题学生可以通过模仿和套用顺利完成，但是对于一些多变的、复杂的问题，学生常常表现得束手无策，究其原因是过程的缺失并没有让学生的思维能力和解决问题的能力获得实质性的提升. 为了改变这一现象，在日常教学中教师可以带领学生经历一些知识形成的过程，并在此过程中注重思想方法的渗透和提炼，让学生在学懂学会的基础上，可以灵活应用相关知识去解决问题[1].

案例1  认识“增根”

在实践教学中，部分学生通常将增根与无解的概念混淆，为了让学生更好地理解分式方程中的“增根”概念，教师完成概念教学后又带领学生通过具体练习经历知识形成过程，以此帮助学生更好地理解和掌握概念.

师：通过以上分析，谁来说一说若使分式方程有增根需要满足什么条件？

生1：既要保证变形后方程的根，又要使原方程中的分母为0.

师：若关于x的方程-=1有增根，则m=______. （问题给出后教师鼓励学生独立求解）

生2：若该方程有增根，则方程中的分母为0，即（x+1）（x-1）=0，于是x=1和x=-1. 方程变形得6-m（x+1）=（x+1）（x-1），当x=1时，6-2m=0，m=3，验证符合题意. 当x=-1时，等号不成立，所以x=-1不是方程的增根.

师：很好，看来大家已经熟练掌握了增根的成立条件，现在大家看一下这个问题. （教师用PPT给出问题1）

问题1：若关于x的方程-=1有增根，则a=______.

问题给出后，学生按照上述过程求解，很快得到了答案.

生3：若该方程有增根，则x=0或x=1. 方程变形得x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），当x=0时，等号不成立;当x=1时，1-a=0，所以a=1.

生4：这个题有问题，若a=1，则有-=1，即=0，方程无解，这是怎么回事呢？

师：很好，观察得非常仔细，这确实是一个问题. 问题到底出在哪里呢？（生沉思）

师：仔细观察分式，在什么情况下分式才有意义？

生5：当x-1≠0，即x≠1时，分式才有意义.

师：那么分式何时才能约分呢？

生6：只有当分式中分子和分母的公因式不等于0时才能约分.

师：很好，也就是说只有当分式有意义时，分式才能约分.

师：我们来回顾一下求解过程，“当x=1时，1-a=0，所以a=1”，也就是说a=1时，变形方程的根x=1，此时分式没有意义，所以分式不能直接约分.

生7：那么该如何验证呢？代入原方程不能验证，难道代入变形方程进行验证？

师：解分式方程时，对于含有未知数的因式若想做约分处理必须保证分子和分母的公因式不等于0，否则若盲目约分容易使方程失根. 验证时代入原方程或变形方程的结果是一样的，但是代入变形方程一般会更简捷，因此本题可直接代入变形方程进行验证. 当a=1时，x（x-1）-3（x-1）=x（x-1），得x=1. 其满足方程有增根的要素，即变形后的方程有根，根为x=1，且满足原方程的分母为0. 所以当a=1时，有增根x=1.

教学中，教师通过精心设计的练习引导学生从本质上理解分式、分式方程、增根之间的联系，通过亲身经歷切身体验回验的重要性，同时让学生在参与的过程中积极思考与互动，有助于学生数学活动经验的积累，有助于学生自我发现和分析能力的提升.

师：大家思考一下，这个问题该如何求解呢？（教师用PPT给出问题2）

问题2：若关于x的方程-=1无解，则a=______.

师：将“增根”变为“无解”，该如何求解呢？

生8：若想求解首先需要变形，若变形方程有根，而原方程的分母为0，产生增根，原方程无解，故当a=1时，方程无解.

生9：当a=-2时方程也无解.

师：具体说一说你的理由.

生9：方程变形并整理可得（a+2）x=3，若a=-2，则变形方程无解，所以原方程无解.

师：补充得非常好，大家思考一下，是不是分式方程无解都会存在这样的两种情况呢？（生沉默）

师：这个问题似乎有些难以解答，现在我们借助具体习题分析一下. （教师用PPT给出问题3）

问题3：若关于x的分式方程-2=无解，则m=______.

（问题给出后，教师让学生独立思考，反应快的学生很快就有了答案）

生10：方程变形并整理得x=m+10，此时只满足上述的第一种情况，即当x=5时，方程有增根，此时m=-5.

师：很好，结合以上过程请大家总结归纳一下求分式方程“无解”的解题过程.

在教师的指导和鼓励下，学生通过互动交流，总结归纳出了分式方程“无解”的具体解题过程. 这样让学生亲历“增根”与“无解”的形成过程，有利于学生更深刻地理解两者的本质联系，可有效避免因理解不清而造成的错解，有利于提升学生解决实际问题的能力.

在实践教学中，学生面对一些相似或相关的问题时，常常会因为理解不够深刻而出现“张冠李戴”，因此实践教学中教师有必要精心挑选一些具有代表性的问题进行引导和强化，从而借助实际操作让学生更好地理解知识、应用知识、内化知识.

在知识的发展过程中渗透

数学知识具有一定的逻辑性、关联性和发展性，随着学生认知水平的不断提升，学生解决问题的能力也得到了较大的发展和提升. 教学中教师要用发展的眼光看待学生，善于应用一些启发性的问题激发学生的思维，提升学生的数学素养.

案例2  如图1所示，在Rt△ABC和Rt△DEA中，∠BAC=∠D=90°，AB=AC，AD=DE，AB

（1）图1中共有多少个三角形？分别是什么？

（2）图1中共有几对相似三角形？分别是什么？

教师带领学生复习“相似三角形的性质和判定”时，借助开放性问题引导学生通过直观观察和逻辑推理完成知识的回顾. 案例2较为简单，学生顺利地找出了所有的三角形，并用相似三角形的判别方法进行了证明. （教学过程略）

师：接下来，我们将问题“变一变”，大家有没有信心求解呢？

生齐声答：有.

师：很好. （教师继续展示问题）

如图2所示，△ABC和△DEF为两个不全等的等腰直角三角形，其中∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边中点重合. 现将△DEF绕点E旋转（如图3所示），线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.

（1）如图2所示，当点Q在线段AC上时，△BPE与△CEQ相似吗？为什么？

（2）如图3所示，当点Q在线段CA的延长线上时，连接PQ，图中有几个与△CEQ相似的三角形？分別是什么？

问题（1）较为简单，与上面问题基本类同，因此证明问题（1）让学生独立完成，对于个别有问题的学生教师进行单独指导. 问题（2）难度略有提升，教师让学生经过讨论、交流后再回答，通过合作交流大家很快也找到了解题方法.

生11：由△BPE∽△CEQ，可得=. 因为BE=CE，所以=. 又∠FED=∠C=45°，根据相似三角形的判定定理可证△CEQ∽△EPQ.

师：你是受什么启发的？

生12：主要是受问题（1）的启发，△BPE易找，而△EPQ难找，但是有了前面问题的铺垫，容易发现隐含条件“对应边成比例”，这样根据已知进行转化，就寻得了△EPQ.

师：说得很好，在一些综合题，尤其是压轴题中，前面的问题往往是后面的铺垫，因此解题时要用发展的眼光去看待问题，善于应用类比和转化的思想去思考与解决问题，这样往往会收到事半功倍的效果.

接下来，教师将题目进行了改编，将“△ABC和△DEF为两个不全等的等腰直角三角形，其中∠BAC=∠EDF=90°”改编为“△ABC为等腰三角形，∠BAC=120°”，若△BPE与△CEQ相似，求∠DEF的度数. 这样通过灵活的变化易于激发学生思维活力，让学生在逆向推理的过程中灵活运用知识解决问题.

解题是数学教学的重要课题，但是解题不应局限于“就题论题”，教师可以借助一些变式问题引导学生去发现、去探究，从而借助“变”实现知识的同化、顺应和发展，助力学生解决问题能力的提升.

在知识的应用过程中落实

因思维差异的存在，使得学生在解题时往往会呈现一种多样性，在教学中教师不仅要鼓励学生学会多角度、多维度思考问题，同时还应引导学生尝试应用多种解法来解决问题，从而帮助学生找到解决问题的通法，提升思维的灵活性[2].

案例3  函数y=-的图象上有A（1，y），B（-1，y），C（-2，y）三点，则下列各式正确的是（   ）

A. y

C. y

师：对于案例3你认为应该如何求解？

生13：这个很简单，将三点的坐标直接代入函数就可以得到答案，代入后分别求得y=-4，y=4，y=2，所以y

师：很好，运用计算法，通过计算、比较、判断，轻松地求得了答案. 还有其他方法吗？

生14：还可以用观察法，先画出函数y=-的图象，然后分别描出三点，这样通过直观观察也能轻松得到答案.

师：很好！以上两种方法都是常用的方法，而且生14的方法还体现了数形结合这一重要的思想方法，借助“形”可以使问题更加直观化、具体化.

师：大家思考一下，是否可以直接利用反比例函数的性质来比较三者之间的数量关系呢？

生15：可以. 由已知k=-4<0，所以y随x的增大而增大，因为-2<-1<1，所以y

生16：这个结果指定是不对的. （生16补充道）

师：问题到底出现在哪里呢？

虽然大家知道生15的结果有问题，但是一時不知问题到底出现在哪里，课堂气氛沉闷.

师：请各小组讨论交流一下，为什么不对呢？（通过交流，大多学生找到了问题的症结，纷纷举手）

生17：我知道了，因为反比例函数不是连续函数，若想利用增减趋势来判断大小只适用于同一个象限，而根据已知可以看出三点并非同一个象限内的点，所以不能笼统地用反比例函数的增减性质来比较函数值的大小.

师：很好，现在请同学们在草稿纸上画出函数y=-. （教师看有部分学生还没有认清问题的本质，于是让学生通过“画一画”亲身体验图象的不连续性，从而为下面的探究扫清障碍）

师：若想利用函数的性质判断数量关系是否可行呢？

生18：可以. 根据已知，点A在第四象限，所以y<0;点B，C同为第二象限上的点，y随x的增大而增大，而-2<-1，所以0

师：说得很好，条理清晰. 接下来请同学们看一下这个问题该如何比较三个函数值的大小关系呢.（教师用PPT展示题目）

变式1：已知点A（x，y），B（x，y），C（x，y）在反比例函数y=（k>0）的图象上，且x>x>0>x，则y，y，y的大小关系是______.

为了深化对刚刚问题的理解，引导学生从特殊向一般转化，教师对题目进行了改编，进而让学生在巩固知识的基础上实现问题的深化.

生19：因为反比例函数y=中的k>0，所以函数的图象位于第一、第三象限，y随x的增大而减小. 又x>x>0>x，所以点A，B在第一象限，0

师：说得很好！现在我们再增加一点难度，看看你们是否还会.

变式2：知点A（x，y），B（x，y），C（x，y）在y=的图象上，x

问题给出后，学生很快就给出了答案，这次教师点名基础较弱的学生来回答变式2，从学生回答反馈上来看，大多数学生经历了以上变式练习已经熟练地掌握了应用反比例函数的性质比较数的大小的方法.

在以上教学过程中，教师引导学生利用“多解”探究同一问题，同时在“问题链”的引导下让学生自然地融入思考和讨论问题的过程中，有效地激发了学生的学习热情. 同时在探究过程中，借助“错解”让学生进行合作交流，并发现错误的症结，帮助学生理解了连续函数与不连续函数在具体应用上的本质区别. 另外，教师在问题的设计上遵循由易到难、逐层递进的变化规律，让学生在特殊中认识了问题的一般规律，有助于学生思维能力盘旋上升.

总之，教师在日常教学过程中应关注过程教学，注意数学思想方法的渗透，善于应用“多变”“多解”等教学手段来培养学生的发散思维，拓展学生的视野，让思想与方法在知识的生成、发展和应用过程中扎根、开花、结果.

参考文献：

[1]盛盈丹，周孝辉. 践行过程教育，提升数学抽象素养——“探索确定位置的方法”教学实践与反思[J]. 中学数学教学参考，2018（24）：1-3.

[2]赵齐猛. 在数学实验中获取有价值的数学活动经验[J]. 中学数学教学参考，2014（11）：58-60.