像波利亚那样教解题

摘要：波利亚的名著《怎样解题》首先给出一个“怎样解题表”，将解题过程分成理解题目、拟订方案、执行方案、回顾4个步骤，后续结合大量案例对“怎样解题表”做详细解析，希望通过一些通用的策略教会学生解题。阅读《怎样解题》，应注意体会波利亚各个建议的深刻内涵，结合具体案例进行对比和实践，总结提炼波利亚的解题策略。像波利亚那样教解题，要通过“给机会”“教方法”“压任务”“重评价”等措施切实提升学生的解题能力。

关键词：波利亚；《怎样解题》；解题教学

一、  《怎样解题》的基本内容

波利亚是美籍匈牙利裔著名数学家、数学教育家，在函数论、变分学、概率论、数论、组合数学等数学领域都有创造性贡献，先后当选美国国家科学院、匈牙利科学院、法兰西科学院等的院士。他还长期从事数学教学研究，注重对数学思维一般规律的探析，先后出版《怎样解题》《数学的发现》《数学与猜想》等名著。这些著作被译成多种文字，广为流传，深刻地影响着全球的数学教育。为了表彰波利亚的特殊贡献，1963年，美国数学协会授予他数学杰出贡献奖；1968年，在美国教育影片图书馆协会举办的第10届电影节上，主办方因为用他的讲演制作的影片《让我们教猜想》而授予他蓝绶最高奖。为了纪念波利亚，美国工业与应用数学学会设立了波利亚奖，美国数学协会设立了波利亚写作奖，美国数学教师委员会设立了数学竞赛的波利亚奖。［1］

《怎样解题》出版于1944年，全书首先给出一个“怎样解题表”，后续结合大量案例对“怎样解题表”做详细解析。

波利亚将解题过程分成4个步骤：理解题目、拟订方案、执行方案、回顾。［2］这4个步骤看上去并无新奇之处，但波利亚正是希望通过这些通用的策略教会学生解题。下面简单介绍波利亚“怎样解题表”的4个步骤（引用文字全部出自“怎样解题表”）。

理解题目。理解题目是建立联系、获取解题方案的前提。波利亚给出了很多具体的建议，比如：以“未知量是什么？”引导解题者明确题目的目标；以“已知数据是什么？条件是什么？”引导解题者确认题目中的已知条件；以“条件有可能满足吗？条件是否足以确定未知量？或者它不够充分？或者多余？或者矛盾？”引导解题者审视题目本身的正确性；以“画一张图，引入适当的符号。将条件的不同部分分开，你能将它们写出来吗？”引导解题者更好地表示题意。

拟订方案。拟订方案就是根据自己对问题的理解，逐步找出条件和结论之间的联系，最终导出探求结论的流程的过程。毫无疑问，探求解题方案需要基于对相关的数学概念、原理、规则的掌握以及以往的解题经验。为此，拟订方案的第一步就是明晰问题中的各个数学概念、相关原理和规则，调用已有的解题经验。前者实际上在理解题意阶段就已经开始，而后者则是问题解决中一个十分重要的环节。因此，波利亚提出了很多调用已有解题经验的策略。比如：“你以前见过它吗？你知道一道与它有关的题目吗？”困难是，以前学习过太多的题目，如何从中筛选出有用的题目、有用的经验呢？这时，“观察未知数！尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目”不失为一个很好的建议。如果你幸运地想到了类似问题，这是再好不过的了。实在想不到，“这里有一个与你的题目有关而且以前解过的题目，你能利用它吗？”也不失为对学生必要的帮助。调用解题经验是获得计划的一个前提条件，其目的当然是借用这些经验解决现行的问题。那么，如何借助过去的经验解决现行的问题呢？可能有很多通道，最为常见的就是将现行问题转化为过去已经学习、研究过的问题，这就是转化归结，即化归（“你能重新叙述这道题目吗？你还能以不同的方式叙述它吗？”）。化归是将问题转化为一个等价的问题，但这一策略并非處处可行，因此，解决问题时，可能还会从一个与它相关但不等价的问题的解决过程中寻求思路或者结论。例如，一般化和特殊化（“你能否想到一道更容易着手的相关题目？一道更为特殊化的题目？一道类似的题目？”）、将问题分解和重组（“你能解出这道题目的一部分吗？”“只保留条件的一部分，而丢掉其他部分，那么未知量可以确定到什么程度，它能怎样变化？”“你能从已知量中得出一些有用的东西吗？”“你能想到其他合适的已知量来确定未知量吗？”“你能改变未知量或已知数据，或者有必要的话，把两者都改变，从而使新的未知量和已知数据彼此更接近吗？”）等。有时沉醉于联系、类比中，可能将我们拉离主题，离题过远，这时注意回到原问题，可以提醒：“你用到全部的条件了吗？你把题目中的所有关键的概念都考虑到了吗？”

执行方案。如果把拟订方案比作建筑蓝图，那么，执行方案就是建筑施工。与拟订方案相比，执行方案不是难事，只需要将经过探索、设计而成的解题方案进行逻辑整理，运用已经掌握的数学运算、推理、作图等技能熟练、清晰地表达解题过程。这时需要的是耐心和细心。为此，波利亚提出建议：“实现你的解题方案，检验每一个步骤。”“你能清楚地看出这个步骤是正确的吗？”“你能否证明它是正确的？”

回顾。对解题过程、结果、方法理性地回顾与反思，可以有效提升解题经验、归纳解题规律，最终获得策略性的知识，因而，是将解题技能升华为解题能力的重要环节，不可或缺。具体地，通过“你能检验这个结果吗？你能检验这个论证吗？”回顾结论，使结论更可靠、精致，深化对结论的理解；通过“你能以不同的方式推导这个结果吗？”反思方法、比较方法、优化解法；通过“你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？”反思结论的运用，产生各种变式问题。

二、 《怎样解题》的阅读启示

波利亚的“怎样解题表”，绝不仅仅是告诉我们解题的步骤与方法，更是指导学生解题的典范。从其字里行间，我们不难获得下面的启示：

第一，解题教学的目的并非解题本身，而是希望在解题中，积累学生的解题经验，提升学生的解题能力，发展学生的“四能”：发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。在波利亚式的解题过程中，理解题目、拟订方案、执行方案的环节，需要经历分析问题、解决问题的全过程，同时也需要不时进行问题之间的转化，尝试提出相同的、相近的问题；回顾环节，除了反思问题的结论与方法，以获得更为深刻的理解之外，也关注方法的迁移运用，关注问题的变化、发展。因此，这个过程也是基于已有问题提出新的问题的过程，将解题过程引向“问题—解决—新问题—新解决”的循环，是发展学生发现问题、提出问题能力的好机会。

第二，学生解题能力的提升，固然离不开自身的解题实践，也同样需要教师适当的帮助与指导。在教师适时的帮助与指导中，学生更容易获得问题解决的成功和喜悦，激发问题解决和数学学习的激情；在教师适度的帮助与指导中，学生可以更好地感悟问题解决的常用策略，形成更加深刻的解题经验。

第三，教师的帮助应是适时适度的、自然而不露痕迹的。学生自主解决问题更容易获得成就感，因此，教师对学生的帮助不要过于主动，首先要给学生自主解决问题的机会，在学生遇到困难时再适时地帮一把。对此，波利亚指出：教师应当谨慎地、不露痕迹地帮助学生，顺乎自然地帮助学生，使学生有独立工作的感觉。如何做到这一点呢？需要教师习惯于站在学生的角度，努力了解学生心里正在想什么，然后根据学生的思考与困惑提出相应的问题或建议。这样的问题或建议正是学生自己原本应当想到而没想到的，只是这时教师更清晰地提出来并给予了画龙点睛式的指点而已。这样的帮助就是自然而不露痕迹的。这样的问题解决过程是在师生交流中完成的，但学生感觉几乎是自己独立完成的，可以增强学生的自信心。

第四，教师的帮助应是普适的。［3］学生解题的目的并非解决这道题本身，而是希望习得解决问题的常用策略，进而迁移运用于其他问题的解决，提升自身的解题能力。因此，教师的建议不能过于具体，仅仅指向这道题的解决，而应具有普遍性，也适用于其他问题的解决。这样，学生才容易获得解决问题的一般策略。比如，在理解题意阶段，教师的帮助应指向题目信息的多元表征、内隐信息的捕捉等；在拟订方案阶段，教师的帮助应指向固有经验的调用、问题变换的策略等；在解后反思阶段，教师的帮助应指向反思的内容、策略和习惯的养成。

例如：如下页图1，正方形ABCD中，E在BC上，F在AB上，且∠FDE＝45，求证：EF＝AF＋CE。对此，在学生自主探究有一定困难的情况下，可以提示：要证明的结论“EF＝AF＋CE”是“一个量等于两个量的和”的形式，在这方面你有哪些经验？引导学生回顾学习经验，力图自主探析方法。这样的引导就是普适的，对学生未来学习是长期有效的。当然，如果这些普适的帮助还不能真正有效地助力学生解决问题，可以再追加更为具体的帮助。例如：能否将EF分解成两个短的线段，使得它们分别等于AF和CE，或者将两个短的线段AF、CE合并到一起，证明它等于EF？

第五，波利亚尤其强调解题后的回顾与反思。回顾与反思本身不是目的，主要在于养成反思的习惯，增进学生对问题的理解，提升学生的解题经验和解题能力。通过长期的训练，学生必将获得反思的方法，从而形成反思的策略性知识。当然，教师需要思考的是：自身是否养成了回顾与反思的习惯？有没有向学生介绍回顾与反思的方法？现在的学生有没有从事这样的回顾与反思活动的时间？如果没有，问题何在？

三、 《怎样解题》的阅读建议

《怎样解题》是一本数学教师百读不厌的名著。因此，建议大家多次阅读，常读常新。各人阅读习惯不一，难有统一的模式。这里，仅提供笔者的几点思考，与大家分享。

（一）注意体会波利亚各个建议的深刻内涵

波利亚给予的建议，尤其需要教师注意深入体会，习惯仔细揣摩其蕴含的深刻含义。例如，《怎样解题》第一章“在教室里”选取了一个例子：已知长方体的长宽高，求它的对角线长度。在这个问题的回顾环节，波利亚提出了很多反思性问题，其中两个问题是：“如果长方体的三个量度a、b、c都等比例地增长，那么，对角线也将以与此相同的比例增长。假如在你的公式中分别以12a、12b、12c来代替a、b、c，对角线的表达式相应地也应乘以12。是不是这样？”“如果a、b、c以英尺为计量单位，那么，你的公式给出的对角线计量的单位也应是英尺，但是如果你把所有量的单位都改为英寸，公式仍应成立。是这样吗？”［4］并进一步指出这两个问题实质上是一样的，且在第三章“探索法小词典”中给出了一个条目“量纲检验”［5］。波利亚给出这些反思性问题的目的是建议教师引导学生从量纲分析的角度对结果进行检验。量纲分析在物理等实验科学中较为常见。很多数学教师认为，数学中的运算对象基本上都是现实的抽象物，最终抽象得到的数已经没有单位了。因此，他们不太习惯量纲分析，甚至不太认同量纲分析。实际上，这种观点是错误的。阅读时，注意细细体会波利亚提出的这些建议或反思性问题的意义，可以切实提升自己对问题解决的理解。

（二）注意结合具体案例进行对比和实践

《怎样解题》中已经提供了不少案例。首次阅读时，可以通读文本，借助案例领悟观点。但是，有了一定的教学经验之后，建议领悟波利亞解题指导的精髓，在“自主解题、尝试指导、对比提升、实践校验”的多次循环中形成贴合实际的学习指导风格：首先，自主求解问题，在求解后反思问题求解的关键，思考问题求解可以积淀的解题经验；接着，想象相应年龄段学生的知识水平和认知经验，像波利亚一样，尝试给出与学生交流的指导语，预设学生的不同回应，并基于预设的学生不同回应，给出进一步的建议，从而形成预设的个性化教学指导方案；然后，学习《怎样解题》中提供的学习指导，分析两者的差异，思考哪些是两者共通的，哪些又是个性化的，这些个性化的指导语价值何在，对自己的教学有什么启示；最后，在可能的情况下，尝试与学生现场交流，从中感悟具体指导语的适切性，现场生成更加贴合的指导语，最终形成贴合自身和学生现状的指导方式。

（三）注意总结提炼波利亚的解题策略

《怎样解题》形散而神不散，但与大家日常看到的纲目结构清晰的学术论文和专著有所区别。它条目众多，特别是第三章“探索法小词典”，从目录看，包含几十个小标题，容易给初读者“片段化”的观感。因此，更需要养成边阅读边总结提炼的习惯。在阅读中，建议常常思考：这些常识性的建议是否具有层次？能否形成自己的层次架构？实际上，波利亚的文本是有层次的，文本中字体就有所差异，阅读时要注意细加体会。但这也只是波利亚的认识，善于思考的我们可以结合自己的思考与感悟形成适合自己的层级架构。毕竟我们是学习波利亚，而不是成为那个唯一的波利亚。每个人都要在学习波利亚的过程中形成自己解决问题的模式和指导学生的方式，而这离不开自己的理解、感悟与提炼。

比如，对“拟订计划”这一步，波利亚提出了很多建议，但作为读者，需要对有关建议进行归类，形成自己相对简略的策略体系。对此，笔者便根据自己的理解将有关策略分成如图2所示的几个视角。

四、 像波利亚那样教解题

解题教学的目的是帮助学生积累解题经验，发展学生的解题能力。因此，教学实践中，要通过“给机会”“教方法”“压任务”“重评价”等措施切实提升学生的解题能力。

（一） 给机会

学生解决问题能力的提升，源头在于自身解决问题经验的积累。因此，教学中，应为学生提供充足的自主解决问题的机会。这里，需要说明两点：一是给学生提供更多具有挑战性的问题，而不仅仅是匹配新知学习的模仿性习题。匹配新知的模仿性习题，所用知识清晰，解决的难度小，更多的是对原有例题的模仿，对提升学生问题解决能力的作用很小。切实有效提升学生问题解决能力的问题，与学生原有的认知经验有一定的差距，既需要充分调用原有的类似经验，还需要实现经验之间的转化、问题的变化等，因而具有一定的挑战性。波利亚在《怎样解题》中给出的题目，多是真正的问题，大家可以仔细体会。二是放手让学生自主解决，在学生有困难的时候再施以援手，提供适切的帮助。

（二） 教方法

通过亲历解决问题的过程，学生会自主积累一定的解题经验，但对多数学生而言，主动整理、提升解题经验的意识欠缺，理解解决问题过程和方法的水平也有待提高。对此，教师需要适时外化、介绍问题解决各环节中常见的策略和方法，并巧妙、灵活地将这些策略和方法传递给学生，使之在迁移运用中熟练掌握这些策略和方法。例如，在问题解决之后的回顾反思环节，教师不仅要善于引导学生对原有问题进行反思，在反思中理解问题的本质，生发一系列变式，让学生感悟到反思与变式的意义，明了“为什么变”；还要适当外显反思与变式的方法，让学生知道“如何变”。只有这样，才能为学生奠定“我要变”“我能变”的基础。具体地，教师可以在问题的各个变式之间增加过渡性语言，明晰各个变式之间的关系，揭示出变式方法；通过各种方式凸显这样的变式方法，如借助板书或PPT，通过图形、色彩等手段展示题目之间的关系和变式方法；适时专门开展变式方法的教学示范课，帮助学生明晰条件变式、结论延展、逆向思考、背景迁移、对象拓广、类比泛化等常用变式方法。

（三） 压任务

通过“给机会”，学生经历了问题解决的过程；通过“教方法”，学生理解了问题解决各环节的策略和方法。但是，切实掌握相关的策略和方法，还离不开自身的实践。因此，针对具体的策略和方法，要压实任务：提供具体的任务，在具体任务中考查学生策略和方法的掌握情况，将策略和方法本身作为学生学习的对象。例如，促进学生回顾解题过程、积累解题经验时，可以引导学生进行专门的“说题”活动，要求学生说明自己自主解决这道题的过程、过程中遇到的困难和解决的方法、解决过程中获得的启示与收获等。再如，对解后反思中的变式，在明晰了变式方法的基础上，可以提出明确的变式任务，将变式本身作为重要的学习任务，让学生在多次变式任务中逐步养成变式的习惯。具体地，在总结了有关变式方法的基础上，布置作业，要求学生在解决某一个问题的基础上，给出若干变式并说明变式的方法；基于学生作业状况，逐步提高变式的要求，包括数量要求、视角要求等。笔者曾对高中教师做了一个学生反思和变题能力的调查，结果表明：“影响学生反思和变题实际水平的最重要的两个变量是告诉反思（变题）方法和检查反思（变题）作业。”［6］这个调查结果再次表明“教方法”“压任务”的重要性。

（四） 重评价

评价是教学的“指挥棒”，每一项任务的达成都离不开评价的“撬动”和“促动”。因此，问题解决的教学中，要充分运用好评价手段，尝试将上述任务纳为单元测试、期中考试、期末考試等的内容，通过考试压力的传导，督促学生“主动”完成上述任务，在任务完成中提升学力。波利亚在说明学生解后反思的现状时指出：“即便是相当优秀的学生，在得到了题目的解答，并将整个论证简洁地写下来以后，就会合上书，去找别的事做。”［7］这样的现象，在问题解决其他环节策略的学习中同样普遍存在。因此，这类策略的学习需要教师外在的引导和具体任务的“压迫”，而评价无疑是很好的手段。

参考文献：

［1］ 吴文俊.世界著名数学家传记［M］.北京：科学出版社，2003：14071419.

［2］［4］［5］［7］ G.波利亚．怎样解题——数学教学法的新面貌［M］．涂泓，冯承天，译．上海：上海科技教育出版社，2002：前言ixxi，17，204，15.

［3］ 章飞．数学教学设计的理论与实践［M］．南京：南京大学出版社，2009：179.

［6］ 江守福，章飞．高中数学教师对学生解后反思与变式影响的调查研究［J］．数学通报，2020（9）：2732.

（章飞，江苏第二师范学院科研处处长，课程与教学研究所所长，教授。北师大版初中数学教材副主编。主要研究方向：数学课程与教学论、教师教育、现代信息技术与学科课程整合等。）