如何通过习题训练培养学生的数学思维能力

刘道刚

高中数学题目较多，解题方法也很多，很多学生 采用“题海战术”来提升解题的能力，但这并不可取.教 师要采用科学的方法来引导学生开展习题训练.一方 面，教师要选择难度适中的典型习题让学生练习，引 导他们总结解题的一般性规律、技巧，掌握各类题目 的通性通法；另一方面，教师要在学生掌握基本解题 方法的基础上，搜集一些具有探究性的习题或者高考 试题，让学生进行思考、探究，以培养他们的数学思维 能力.

一、开展一题多解训练，培养学生的发散性思维

很多数学题目有多种解法.在教学中，教师可以围 绕教学内容，搜集一些有多种解法的题目，让学生进 行练习.通过这样的练习，学生不仅会运用所学的知识 来解答问题，还能学会从不同的角度去寻找解题的思 路，培养发散性思维能力.

例如，在三角函数习题课上，笔者给出了如下的 题目，让学生进行思考.

例1

解法1

解法2

解法3

解法4

引导学生从不同的维度、不同的角度，如三角函 数的“角”“名”“次数”去审视、分析问题，通过寻找差 异、联系，找到不同的思路，这有助于增强学生思维的 灵活性和敏捷性，培养发散性思维.

随后笔者给出了如下的问题让学生思考，并鼓励 他们尝试寻找多种不同的解法.学生通过思考、讨论， 找到了如下的两种解法.

例2

解法1

解法2

该解法是从所求的三角函数式 tan α 2 入手，灵活 运用二倍角公式将已知关系式中的角化为半角，再通 过弦切互化，求得 tan α 2 值.

通过该题，学生便掌握了解答这类问题的两种思 路：（1）从已知函数式及其中的角入手，利用相关公 式，逐步向目标式靠拢；（2）从所求函数式及其中的角 入手，利用相关公式将其与已知关系式关联起来.这样 学生不仅掌握了解答这类问题的方法，还学会了从不 同角度尋找解题的思路，培养了发散性思维能力.

二、开展一题多变训练，培养学生的创新思维

在教学中，教师可以通过变式训练来培养学生的 创新思维.通常可将题目的条件、结论、形式、内容等进 行变换，但不改变问题的本质，即不改变考查的知识 点、方法，让学生通过一题多变训练，掌握一类题目的 本质，熟悉“通性通法”，帮助他们培养创新思维能力. 改变题设、结论，由一个知识点延伸为多个知识点，即 可将问题引申为新问题，让学生对知识的理解更加深 刻，这利于培养创新思维.

例3

本题侧重于考查二倍角公式、同角的三角函数关 系式 sin2 θ + cos 2 θ = 1、正余弦的诱导公式的应用.解答 本题，需先利用二倍角公式得到正余弦函数之间的关 系 ；再 根据角的范围及同角的三角函数关系式 sin2 θ + cos 2 θ = 1，求得问题的答案.笔者主要从“角”“函 数名”两个角度对问题进行变式.

变式1

笔者只是改变结论，并未改变题目的条件.学生灵 活运用二倍角公式、同角的三角函数关系式 sin2 θ + cos 2 θ = 1、正余弦的诱导公式，即可解题.

变式2

笔者把原题的条件和结论互换，这是变换题目形 式常用的手段之一.

变式3

笔者改变了问题的形式和内容，但并未改变问题 的本质.学生需先运用平面向量知识将已知条件转换 为：α ∈（0， π 2 ） ，2 sin 2α = cos 2α + 1 ；然后运用二倍角 公式、同角的三角函数关系式 sin2 θ + cos 2 θ = 1、正余弦 的诱导公式解题.

通过这样的一题多变训练，学生不仅掌握了解答 此类问题的方法，熟悉二倍角公式、同角的三角函数 关系式 sin2 θ + cos 2 θ = 1、正余弦的诱导公式，还知晓了 这类题目的多种形式，学会如何变换题目的形式，识 别题目的“真面目”，培养了创新思维能力.

虽然数学题目多种多样，但是万变不离其宗.教师 要组织开展一题多解训练、一题多变训练，以使学生 明白很多数学问题具有“通性”，其解法也是相通的.这 样学生在训练的过程中，便会学会对一些共性的题目 进行总结归纳，掌握其解题的规律，积累更多的解题 经验.

（作者单位：湖北省十堰市郧阳区第一中学）