巧用“1”的代换法配凑基本不等式

侯晓燕

基本不等式 a + b ≥ 2 ab （a > 0，b > 0） 是解答最 值问题、求代数式取值范围的重要工具.运用基本不等 式解题，往往需确保三个条件成立：一正，即各项都必 须为正数；二定，即两式之和为定值时，两式之积取最 大值，两式之积为定值时，两式之和取最小值；三相 等，即當且仅当两式相等时等号成立.而运用基本不等 式解题的关键在于配凑出两式的和或积，并使其中之 一为定值.常用的配凑技巧有：凑系数、添项、去项、进 行“1”的代换等.其中“1”的代换法较为灵活，需根据题 目中的信息，寻找、挖掘、构造出等于1的式子，以通过 “1”的代换，配凑出基本不等式.我们知道任何数（式） 乘以或除以“1”，都不改变原数（式）的大小，且“1”是 常数，为定值，这就给我们配凑基本不等式提供了依 据.那么如何用“1”的代换法配凑基本不等式呢？可以 从以下两个方面入手.

一、根据已知条件进行“1”的代换

若已知条件中有等于“1”或常数的式子，可直接 用“1”进行代换，即将目标式乘以“1”，这时目标式的 大小并没有改变，将等于“1”的式子代入进行运算，配 凑出两式的和或积，并使其中之一为定值，即可运用 基本不等式解题.

例1

解：

例2

解：

例3

解

本题中 a + 2b = 4 ，只需将其左右两边的式子同时 除以4，即可得到等于“1”的式子，然后将其与目标式 相乘，即可配凑出两式的和 b a + a 4b ，其积为定值，直接 运用基本不等式即可求得最值.

二、构造等于“1”的式子，进行“1”的代换

若题目中没有等于“1”或常数的式子，就需根据 题意寻找一些蛛丝马迹，挖掘一些隐含条件，如根据 已知关系式的分母、分子、倒数关系进行配凑，将已知 关系式做除法、乘法、乘方等，来构造等于“1”的式子， 再进行“1”的代换，这样就可以在不改变代数式大小 的情况下，配凑出基本不等式.

例4

解

仔细观察目标式，可发现两分母之和为 2x +（1 - 2x）=1 ，这便构造出等于“1”的式子，找到了解题的突 破口.将 2x + （1 - 2x） 与目标式相乘，即可配凑出基本 不等式中的和式.

例5

解：

将已知关系式 2a + b = 2ab 的左右同时除以 ab ， 即可将式子的右边变为“2”，这样便构造出等于“1”的 式子.再将其与目标式相乘，便能配凑出基本不等式.

例6

解：

根据已知条件建立关于 a、b 的式子，再将其变 形，即可构造出等于“1”的式子，就能通过“1”的代换 配凑出基本不等式.

例7

解

先将已知关系式 2xy - x - 6y = 0 的左右同时除以 2xy ，即可得 3 x + 1 2y = 1 ；再将其与目标式相乘，进行 “1”的代换，即可配凑出两式的和，并使这两式的积为 定值；最后运用基本不等式便能顺利求得最值.

对于已知关系式较为复杂的题目，通常需将代数 式进行合理的变形、化简、构造，以得到等于“1”的式 子，这样便可通过“1”的代换，改变目标式的结构、形 式，配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值，就能 运用基本不等式顺利求得问题的答案.

（作者单位：西华师范大学）