用导数法求解两条曲线的公切线问题的思路

韩雅雅

两条曲线的公切线是指同时与两条曲线相切的直线，有时这两条曲线上只有1个切点，有时有2个切点.常见的两条曲线的公切线问题主要有：（1）求公切线的方程、斜率；（2）由公切线求参数的值或取值范围.两条曲线的公切线问题主要考查導数的几何意义，而函数 y =f（x）在点 x0处的导数 f ′（x0）的几何意义是在曲线 y =f（x）上点 P（x0，y0）处的切线的斜率，即k =f ′（x0）.用导数法解答两条曲线的公切线问题的步骤为：

1.运用求导法则和公式对两条曲线的方程 y =f（x）、y =g（x）进行求导；

2.若切点的坐标为 P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则 y1=f（x1）① ， y2=g（x2）②;

3.根据导数的几何意义得出两曲线的切线斜率的关系式：f ′（x1）=g ′（x2）③;

4.根据①②③建立关于 x1、x2的关系式；

5.根据直线的点斜式方程求得公切线的方程 y -y1=f ′（x1）（x -x1）或 y -y2=f ′（x2）（x -x2）.

运用导数法求解两曲线的公切线问题，关键是根据导数的几何意义，列出有关切线斜率的方程.下面举例加以说明.

例1.

解

显然，直线 l 为曲线 y = e x 和 y = - x 2 4 的公切线，需 先分别对两条曲线的方程求导；再根据公切线的斜率 和方程相等，建立关于 x1 、x2 的方程组，求得 x1 、x2 ； 然后将其代入切线的方程中，即可求得公切线的方程.

例2

解：

要求公切线斜率 k 的值，必须先设出两个切点的 坐标，对两条曲线的方程求导，得出公切线的斜率和 方程；然后根据公切线的含义，即两条切线重合，建立 方程组，问题就迎刃而解了.

例3

解：

解答本题，需根据导数的几何意义，得出公切线 的斜率 k = 1 x1 = a 2 x2 ，据此建立 x1 、x2 的关系式： x2 = a2 4 x2 1 ，再通过等量变换，得到方程 a2 = 4 ln x1 + 4 x1 ，即 可通过构造函数，将问题转化为 h（x） = 4 ln x + 4 x ，x > 0 与 y = a2 有两个交点的问题，借助函数图象，来求得参 数 a 的取值范围.

从上述分析不难看出，求解两曲线的公切线方程 问题，需抓住以下几个关键点：（1）两个切点分别在两 条曲线上；（2）公切线的斜率与两个函数在切点处的 导数相等；（3）切点在切线上，根据曲线、切线、切点之 间的关系列出方程，就能顺利解题.

（作者单位：甘肃省宁县第二中学）