求不等式中参数取值范围的几种方法

周红芹

求不等式中参数的取值范围问题通常较为复杂，常与导数、函数、不等式、方程、解析几何等知识相结合.很多同学在解题时常常不知该如何下手，下面就以一道题为例，来谈一谈求解不等式中参数取值范围问题的几种方法.

题目：已知函数 f（x）=ex +ax2-x ，若当 x ≥0时， f（x）≥ x3+1恒成立，求 a 的取值范围.

一、分离参数法

分离参数是解答含参不等式问题常用的方法.在解题时，要将不等式进行适当的变形，使得参数与变量分离.通常可将参数置于不等式的一侧，将另一侧的式子构造成关于变量的函数式，然后根据函数的性质和图象，运用导数法、配方法、基本不等式等求得函数的最值，即可求得参数的取值范围.

解：

将不等式中的参数和变量分离后，构造出函数 g（x）= -2e x + x 3 + 2x + 2 2x 2 ，通过对函数求导，研究导函数 与0之间的关系，即可判断出函数的单调性，确定函数 的极大值以及最大值，进而确定参数的取值范围.

二、数形结合法

数形结合思想是解答数学问题常用的思想.通过数形之间的转化，来转换解题的思路，可以有效地提升解题的效率.在求解不等式中参数的取值范围问题时，可将不等式中的式子看作一个点的坐标、一条直线、一条曲线、一段距离、一个圆等，然后画出相应的几何图形，即可通过研究图形之间的位置关系，找到使不等式始终成立的临界情形，从而求得问题的答案.

解：

对于较为复杂的不等式，往往需先将不等式变 形，构造出函数模型；然后对函数求导，确定函数的单 调性和最值，才能画出函数的大致图象；再通过研究 函数的图象之间的位置关系确定临界值，即可解题.

三、分类讨论法

解答含参不等式问题，通常要用分类讨论思想.首 先明确分类讨论的对象和标准，如将二次项的系数分 大于、等于、小于0来讨论，将绝对值内部的式子分大 于、等于0、小于0来讨论；然后逐层逐级进行讨论；最 后匯总所得的结果.

解：

要确定函数的单调性和最值，需先判断 h′（x） 的零 点 x - 2a - 1与2的大小关系，据此来确定分类讨论的 对象和标准，于是运用分类讨论法，分 2a + 1 ≤ 0 、 0 < 2a + 1 < 2 、2a + 1 ≥ 2 三种情况进行讨论.

可见，求解不等式中参数的取值范围问题需注 意：（1）将不等式进行合理的变形；（2）根据不等式与 方程、函数之间的关系将问题进行合理的转化；（3）构 造出合适的函数模型和方程；（4）灵活运用转化思想、 数形结合思想、方程思想、分类讨论思想辅助解题.

（作者单位：江苏省盐城市阜宁中学）