例谈解答二元最值问题的途径

马亮

二元最值问题中往往含有两个变量，且两个变量之间存在一定的联系.解答此类问题，需寻找或建立两个变量之间的联系，对其进行合理的转化、变形、构造，从而得到最值.下面就一道二元最值问题，谈一谈求解此类最值题目的途径.

题目：已知 x>0、y>0，若4x2+y2+xy =1，求2x +y 的最大值.

该题目中含有两个变量 x、y，要求2x +y 的最大值，需将已知关系式进行转化、变形、构造，以利用基本不等式、一元二次方程的判别式、三角函数的单调性和有界性求解.

一、利用基本不等式

若 a>0、b>0，则 a + b ≥2，该式称为基本不等式.基本不等式是解答二元最值问题的重要工具.通常需先将代数式配凑成两式的和或积，并使其中之一为定值；然后检验等式成立的条件，便可确定当 a=b 时，a+b 取得最小值2，ab 取得最大值.

解法1.

解法2

二、运用判别式法

对于二次二元最值问题，通常可先令目标式为 t ， 然后将已知关系式化为关于其中一个变量的一元二 次方程.此时 t 与其他的变量均为参数，且方程有解， 即可根据 Δ ≥ 0 ，建立关于 t 的不等式，求得 t 的取值 范围，便能确定目标式的最值.

解法3

令 2x + y = t ，并用 x、t 表示 y，即可将已知关系式 化为关于 x 的一元二次方程判别式，根据方程有解得 出判别式 Δ ≥ 0 ，进而求得 t 的取值范围.

解法4

该解法是先令目标式的平方为 t ；然后将 t 看作 参数，构造关于 y x 的一元二次方程，根据判别式 Δ ≥ 0 ，求得 t 的取值范围，从而得出 2x + y 的最大值.

三、三角换元

在求解二元最值问题时，通常可将两个变量用三 角函数式替换，如令 x = sin θ、y = cos θ ，x = sin θ + a、 y = cos θ + b ，将目标式化为三角函数式.这样便可通过 三角恒等变换化简三角函数式，利用正弦、余弦、正切 函數的有界性和单调性来求得目标式的最值.

解法5

令 1 2 x + y = sin θ、15 2 x = cos θ ，通过三角换元，即 可将二元最值问题转化为正余弦函数的最值问题.再 利用辅助角公式、正弦函数的有界性，就能求得 2x + y 的最大值.

可见，要求得二元函数的最值，需灵活运用基本 不等式，函数的单调性，三角函数的单调性、有界性， 以及一些重要不等式结论.这就要求我们熟练掌握不 等式、函数、三角函数知识，将问题进行合理的转化， 从而快速求得问题的答案.

本文系2021年度甘肃省教育科学“十四五”规划 “农村高中学生数学核心素养之数据分析能力的培养 的探究”一般课题研究成果（课题批准号：GS[2021] GHB0925）

（作者单位：甘肃省陇南市礼县第二中学）