巧用导数知识，妙解函数问题

于鹏

函数与导数之间的关系紧密.对于较为复杂的函 数问题，灵活运用求导公式、导数的几何意义、导函数 与函数单调性之间的关系、极值等导数知识，可使问 题快速得解.本文主要谈一谈如何巧妙地运用导数知 识来解答函数问题.

一、求解函数图象的切线问题

当遇到与函数图象的切线或切点有关的问题时，通常可根据导数的几何意义，即函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）是在曲线y＝f（x）上点P（x0，y0）处的切线的斜率，来解题.通过求切点处的导函数值，求得切线的斜率、直线方程.

例1.已知函数 y =ax3+ bx2+cx +d 的图象与 y 轴交于点 P，且曲线在点 P 处的切线方程为12x -y -4=0，若函数在 x =2处的极值为0，求函数的解析式.

解：∵函数 y =ax3+ bx2+cx +d 的图象与 y 轴交于点 P ，

∴点 P 的坐标为（0， d），

而曲线在点 P 的切线方程为 y =12x -4，且 P 在切线的方程上，

将（0，d）代入12x -y -4=0，得 d =-4，

对 y =ax3+ bx2+cx +d 求导可得 y ′=3ax2+2bx +c，可得当 x =0时，y ′=c =12，

数在 x =2处的极值为0，

解得 a =2，b =-9，

∴函数的解析式为 y =2x 3-9x2+12x -4.

根据导数的几何意义可知切点 A（x1，y 1）处的切线的方程为 y -y1＝f ′（x1）（x -x1）.一般地，若切点 A（x1，y1）在函数图象上，则该点的坐标满足函数的解析式，即 y1=f（x1），同时也满足切线的方程，即 y -y1=f ′（x1）·（x -x1）.

例2.已知函数f（x）＝alnx ＋bx2的图象在点 P（1，1）处的切线与直线x-y＋1＝0垂直，则 a 的值为（）.

A.-1 B.1 C.3 D．-3

解：

解答本题的关键是根据导数的几何意义，建立切线的斜率与导函数之间的关系，从而建立关于 a 的方程.

二、求解函数的零点问题

常见的函数零点问题有求函数零点的个数、求零点的取值范围、由零点的个数求参数的取值范围.有时我们无法求得函数零点的确切值或表达式，此时不妨运用导数知识来求解.首先利用求导公式对函数求导，并令导函数为0；然后根据导函数与函数零点之间的关系判断出函数的单调性，确定函数的极值；再画出函数的大致图象，找出函数图象与 x 轴的交点及其位置，建立关系式即可解题.

例3.

解：

根据函数零点的定义，令 f（x）=0，可得 m = x -，即可将问题转化为直线 y = m 与函数 g（x）= x -存在2个交点的问题.然后对函数 g（x）= x -求导，讨论其在区间（0， +∞）上的单调性、最值，从而得到满足题意的参数的取值范围.通常要根据导函数的符号来判断函数的单调性，若在某区间上 g ′（x）＞0，则函数在该区间上单调递增；若在某区间上 g ′（x）＜0，则函数在该区间上单调递减.

三、求函数的最值

我们知道在开区间（a ，b）上，函数的极大（小）值通常就是函数的最大（小）值；而在闭区间[a ，b]上，函数的最大值为函数的极值与区间端点处的函数值中较大的那一个，函数的最小值为函数的极值与区间端点处的函数值中较小的那一个.因此在运用导数知识求函数的最值，需先根据极值的定义求得函数的极值.一般地，若函数 f（x）在 x0左侧的图象单调递增，右侧的单调递减，则 f（x0）是函数 f（x）的极大值；若函数 f（x）在 x0左侧的图象单调递减，右侧的单调递增，则 f（x0）是函数 f（x）的极小值.因此求函数的极值，关键是判断导函数零点左右两侧的符号.

例4.求函数 f（x）= x3-3x 在区间-3，上的最值.

解：

对函数求导，即可根据极值的定义求出函数的极值点，再比较极值和区间端点处的函数值，就能得到函数 f（x）的最大值和最小值.一般地，函数的极值点为导函数的零点，因此确定导函数的零点，非常关键.

例5.求函数 f（x）=在[0，4]上的最值.

解：

根据极值的定义求极值，往往要先确定函数的定义域；再根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，有时还需结合函数的图象或借助表格来确定函数的极值点.

可见，运用导数知识解答函数图象的切线问题、复杂的零点问题、函数最值，非常便捷，且思路较为简单.这就要求同学们要熟练掌握导数知识，如求导公式、导数的几何意义、极值、导函数与函数单调性之間的关系.

（作者单位：江苏省曲塘高级中学）