怎样用导数的几何意义解答两类曲线问题

李霞

函数f（x）在点 x0处的导数 f ′（x0）的几何意义是曲线 y＝f（x）上点P（x0，y0）处的切线的斜率，即曲线在某点x0处的切线的斜率 k =f ′（x0）.利用导数的几何意义，可将曲线的方程、曲线上某点处切线的斜率关联起来，这便为我们求曲线上切点的坐标，求某点处切线的斜率和方程，求两曲线公切线的方程提供了很大的便利.那么，如何运用导数的几何意义解题呢？下面结合实例进行探讨.

一、求曲线上某点处切线的方程

利用导数的几何意义求曲线上某点处切线的方程，需先确定切点的坐标 P（x0，f（x0））；然后对曲线的方程进行求导，计算出 f'（x0），即可确定曲线上点 P 处切线的斜率；再根据直线的点斜式方程，求得切线的方程： y =f'（x0）（x -x0）+f（x0）.

例1.已知函数f（x）＝x3-4x2+5x-4.

（1）求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；

（2）求经过点A（2，-2）的曲线f（x）的切线方程.

解：

在运用导数的几何意义求切线的方程时，要明确曲线上的点是否为切点，若不是切点，往往需另外设出切点的坐标，再通过求导求切线的斜率.

二、求两曲线的公切线方程

运用导数的几何意义求两曲线的公切线方程，需明确：（1）两曲线的切线的斜率相等，即两曲线的导数相等；（2）切点既满足两曲线的方程，也满足公切线的方程.据此求得切线的斜率和切点的坐标，便可根据直线的点斜式方程求得公切线的方程.

例2.求曲线 f（x）=ex +1与 g（x）=ex +2的公切线的斜率.

解：

分别设出两条曲线上的切点，并对两条曲线的方 程求导，即可求得两条曲线的切线方程，此方程即为 公切线的方程，根据两切线的斜率、截距相等，建立关 系式，即可求得公切线的斜率.

例3

解：

解答本題，需根据导数的几何意义，求得两条曲线 的切线的斜率和方程，并根据公切线的性质建立方程.

可见，运用导数的几何意义求曲线上某点处切线 的斜率非常便捷，且用来解答双曲线上的切线方程问 题、两曲线的公切线问题，非常奏效.同学们在解题时， 要注意将数形结合起来，对数形进行合理的转化，这 样才能有效地提升解题的效率.

（作者单位：江苏省江阴市澄西中学）