解分式方程中的常见错误剖析

陈佩

求解分式方程，通常要经历去分母、去括 号、移项、合并同类项、检验增根等重要的运 算过程.但在实际求解时，同学们由于对解题 思路考虑不周，或对步骤把握不到位，常常会 出现这样或那样的错误.为帮助同学们走出 解题误区，现将解分式方程中的几种常见错 误分类举例加以說明.

一、解方程时忘记验根导致出错

解分式方程的基本思想是将分式方程转 化为整式方程.由于转化过程中去分母使未 知数的取值范围发生了变化，有可能产生增 根.因此“检验”是解分式方程的一个不可缺 少的步骤.由于整式方程的解法中没有验根 这一步，同学们也常常因为忘记验根而出错.

例1

错解：

错因剖析：本题最后没有进行验根，将增 根 x = 1 误认为是原方程的根，从而导致解题 错误.因此，为避免错误，解分式方程最后必 须进行验根.

正解：

检验：

说明：如果去分母后所得的解恰好使得最简公分母的值为零，则这个解即为原方程 的增根，应该将其舍去.

二、方程两边同时除以可能为零的整式导致出错

在解分式方程时，必须将其化为整式方程，这样就要在分式方程的两边同乘（或除）以恰当的数或整式.方程两边同时除以一个不等于0的数或整式，所得方程与原方程同解.而当两个分子相等的分式相等时，方程两边同除以含未知数的整式时，如果代数式的值为0，就会出现增根或丢根的情况.

例2

错解：

错因剖析：上述解法错在两边同除以（3x +1），而忽略了（3x +1）是否为零的情况，造成了失 误，注意解方程不能同除以含未知数的整式.

正解：

说明：将分式方程化为整式方程的过程 中，不能遗漏“分子为0”这种情况.一定要按： ①分子为零；②分子不为零，分母相等来分别 求解，才能避免失根.

三、去分母时忘记加括号导致出错

分数线除了表示除号（或比号）外，当分 子为多项式时，还起着括号的作用.因此，当 分式方程两边同乘以最简公分母化为整式方 程时，如果方程中的某一项的分子是多项式， 就必须用括号将整个分子括起来，再按去括 号法则求解.

例3

错解：

错因剖析：

正解：

说明：分数线具有括号的作用.当减数的 分子是一个多项式时，在去分母时，要把减数 的分子作为一个整体加上括号.

四、去分母时漏乘不含分母的项导致 出错

将分式方程转化为整式方程时，方程两 边要同时乘以最简公分母.需要注意的是，方 程的每一项都要乘以最简公分母，而不能只 将含分母的项中乘以最简公分母，而忽略了 不含分母的项.

例4

错解：

检验：

错因剖析：这里求出方程的根之后，又经 过检验，似乎没有问题．但只要将 x = 3 2 代入 原方程，就知道 x = 3 2 不是原方程的根.问题 就在于去分母的过程中，把方程两边都乘以 最简公分母 2（x＋3），却没有将 2（x＋3） 与1相 乘，因而所得的方程与原方程不同解了．

正解：

说明：解分式方程的每一步都是恒等变 形，方程两边的值要保持相等.在方程两边同 时乘以各分母的最小公倍数时要做到按照顺 序，不重不漏，尤其要注意常数项不能漏掉.

五、对分式方程无解的情况考虑不全导 致出错

分式方程无解是指不论未知数取何值， 都不能使方程两边的值相等.它包含两种情 形：（1）原方程化去分母后的整式方程无解；（2） 原方程化去分母后的整式方程有解，但这个 解却使原方程的分母为0，即为分式方程的增 根，从而原方程无解.很多同学在解题时只考 虑到了上述一种情形，从而出错.

例5

错解：

错因剖析：

正解：

说明：从以上正解我们可以得出，在分式 方程无解的条件下，求待定参数的一般步骤 可归纳为：（1）方程两边同时乘以分式方程的 最简公分母，将分式方程转化为整式方程； （2）分类讨论：①当转化后的整式方程无解 时，求待定参数的值；②当转化后的整式方程 有解，且全是原分式方程的增根时，求待定参 数的值.最后综合所得的正确结论．