解答圆锥曲线问题的几个“妙招”

童建福

圆锥曲线问题的显著特点是涉及的知识点较多，解题过程中的运算量较大.在解题时，我们不仅要灵活运用圆锥曲线的定义、性质，平面几何图形的性质、定理，还需寻找简化运算的途径.现结合实例，介绍三个解答圆锥曲线问题的“妙招”，供大家参考.

一、巧用定义

根据圆锥曲线的定义可以快速确定抛物线、椭圆、双曲线的方程及其图形.同学们在解题时，要明确问题中的定点、动点之间的位置关系，将其与圆锥曲线的定义关联起来，建立关系式.这样便能巧妙地简化运算，从而达到化繁为简的目的.

根据抛物线的定义可知，[OF=2，所以QF=QM=5].

利用定义法解题的前提是熟练掌握圆锥曲线的定义，发现题目中的几何关系，如动点到定点的距离为定值，则该动点的轨迹为抛物线；动点到两定点的距离之和为常数，则该动点的轨迹为椭圆.

二、取特殊值

通过取特殊值解题，需从特殊情况入手，寻找一些特殊点、位置、直線、曲线，如顶点、切线、交点、平行线等，由特殊情形得出一般情况下的结论，以快速获得问题的答案.特殊值法一般适用于解答选择、填空题，如果题目是解答题，则还需对所求的结果进行检验.

我们从特殊情况入手，将P视为椭圆在y轴上的顶点，将其代入题设中，即可快速求出[tanα、tanβ]的值，再将其代入目标式中，即可通过简单的运算获解.运用特殊值法，可使解题变得更加直接、简便.

三、妙用圆锥曲线的几何性质

圆锥曲线的几何性质较多，如对称性、渐近线无限接近于双曲线等.在解题时，可从圆锥曲线的几何性质入手，寻找方便建立几何关系的量，如对称点、与渐近线平行的线、与顶点最近的点等，以减少运算量，巧妙地简化问题.

联立圆锥曲线和直线的方程后得到的方程为一元二次方程，该方程的两个解即为两个交点的坐标，便可根据圆锥曲线的对称性，由[OP2]求得[OQ2].这在很大程度上简化了运算，提升了解题的效率.

在解答圆锥曲线问题时，我们从定义、特殊值、几何性质入手，建立关系式，就能有效地避免大量的运算，从而简化解答圆锥曲线问题的过程，快速获得问题的答案.