巧搭思维台阶,落实核心素养——以高三微专题“由奇偶项的递推关系求数列通项”为例

广东省佛山市顺德区勒流中学(528300)刘亚敏

1 背景

数列奇偶项问题是高考考查的热点之一,比如2004 年北京卷理第14 题,2005 年北京卷文第12 题,2005 天津卷理第13 题,2009 年湖北卷理第15 题,2012 年全国Ⅰ卷理第16题(文第12 题),2014 年全国Ⅰ卷理17 题,2014 年山东理第19 题(文第19 题), 2015 年湖南文第19 题, 2016 年天津理第18 题,2019 年天津文第18 题,2020 年全国Ⅰ卷文第16 题,2021 年高考全国Ⅰ卷第17 题等都考查了数列的奇偶项问题,学生常常因为此类问题的抽象性和综合性而无从下手.

高考真题: (2021 新高考Ⅰ卷第17 题节选)

已知数列{an}满足a1=1,(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;

2 内容以及解析

2.1 内容

以数列奇偶项的递推关系为载体求数列的通项公式.

2.2 单元框架下的内容分析

数列题目以考查基础知识为主,重点考查学生的运算求解、逻辑推理等数学素养,同时也注重学生观察、猜想、归纳、类比、分析、递推、运算、概括、证明、应用等能力的培养.本章节既通过归纳、类比、递推等方法的应用突出对学生的数学探究、理性思维的培养,又通过通项公式、递推公式、前n项和公式等内容进行大量技能训练,培养学生逻辑思维、运算求解等能力.

2.3 高考分析

奇偶项数列问题是近年高考考查的热点,其中2021 年高考全国Ⅰ卷第17 题以分段函数的形式给出数列的递推公式为载体,考查了由奇偶项数列递推公式求通项、等差数列通项和公式等内容.该题通过设置课程学习情境和探索创新情境,考查了数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养以及分类讨论、函数与方程、转化与化归等数学思想.题目以奇偶项穿插的形式给出递推公式,要求学生通过例举探索发现规律,通过逻辑推理证明规律并进行求解.学生必须透彻理解数列的函数特性,找到n与an之间的对应关系才能顺利解题.

3 学情分析和教学问题诊断

本微专题中以分段函数形式的奇偶项的递推关系为载体求解数列的通项公式,属于课程学习情境.本节课需要学生具有的关键能力有: (1)数学符号与抽象: 能从关键信息中提取数学符号和抽象能力;(2)逻辑思维和运算求解能力: 通过演绎推理得到偶数项(奇数项)和偶数项(奇数项)之间的递推关系,从而得到偶数项(奇数项)的通项公式.以奇偶项的递推公式出现的条件形式新颖、复杂,增加了学生通过演绎推理得到所需要的递推关系式的难度,要求学生会比较、分析、综合、抽象与概括,会用演绎、归纳和类比进行推理以及会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理的能力.

4 “由奇偶项的递推关系求数列通项”教学设计

4.1 教学目标

①能够通过列举前几项发现数列的规律;

②能够弄清隔项等差(或等比)数列的首项、公差(公比)和项数,并写出通项公式.

③培养学生逻辑推理、运算求解和抽象概括能力.

4.2 教学重点与难点

重点: 利用递推公式得出项与项之间的关系.

难点: 利用递推公式求解通项公式时项数的确定.

4.3 教学过程设计

环节一回顾旧知做好铺垫

课前任务单:

1.已知数列{an}满足a1=1,an=2an-1+4,n∈N*,则an=____.

设计意图复习运用简单的构造法来求解数列的通项.

2.(2004 年北京理14 改编)定义“等和数列”: 在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a18的值为____,这个数列的通项公式为____.

设计意图让学生发现本题中列举前几项就能发现数列的规律.

3.已知数列{an}满足a1=1,

设计意图让学生发现本题中列举前几项就能发现数列中隔项的规律,从而自然而然地引出分类讨论.

问题1: 题1 求数列通项时用到了什么方法?

师生活动: 引导学生复习前面知识, 形如an+1=αan+β(α0,1,β0)的关系求通项借助构造法.

问题2: 题2 和题3 中数列的通项有什么共同点?

师生活动: 引导学生总结出n为奇数和偶数时,数列通项不一样,即该类数列的通项公式用分段函数来表达.

环节二搭建台阶分解真题

例1: (2021 新高考Ⅰ卷第17 题改编)

已知数列{an}满足a1=1,

(1)写出数列{an}的前6 项;

(2)记bk=a2k,试一试直接写出数列{bn}的通项公式,并证明;

(3)记bk=a2k-1,试一试直接写出数列{bn}的通项公式,并证明;

(4)求{an}的通项公式.

解(1) 因为a1= 1,所以a2=a1+1=a1+ 1 = 2,a3=a2+1=a2+ 2 = 4,a4=a3+1=a3+1 = 5,a5=a4+1=a4+2 = 7,a6=a5+1=a5+1 = 8,所以数列{an}的前6 项为: 1,2,4,5,7,8.

(2)猜想:bn=3n-1,证明如下:

即:bn-bn-1= 3,所以数列{bn}是以b1= 2 为首项,以3为公差的等差数列,所以bn=2+3(n-1)=3n-1.

(3)猜得bn=3n-2,证明如下:

即:bn-bn-1= 3,所以数列{bn}是以b1= 1 为首项,以3为公差的等差数列,所以bn=1+3(n-1)=3n-2.

(4)由(2)可得:bk=a2k= 3k-1,即当n为偶数时有,由(3)可得:bk=a2k-1=3k-2,即当n为奇数时有,所以:

问题3: 一个陌生的数列,当我们不知道项与项之间的规律时我们一般怎么寻找规律?

师生活动: 通过递推公式列出前6 项然后寻找规律.

问题4: 记bk=a2k,请问bk-1怎么表达?

师生活动: 记bk=a2k时,bk-1=a2(k-1)=a2k-2.

问题5: 如果此题中没有引进{bn},请问怎么求{an}的通项公式?

师生活动: 学生列出前6 项后发现奇偶项的规律不一样,自然而然分类讨论求通项公式.

问题6: 怎样验证自己求的通项公式是否正确?

师生活动: 引导学生求出通项公式后检验前6 项是否满足.

设计意图引导学生通过列举前几项发现数列的规律,然后能够根据递推公式弄清隔项等差数列的首项、公差和项数,并写出数列的通项公式,考察了逻辑推理、运算求解和抽象概括能力以及分类讨论的数学思想.

环节三当堂检测巩固新知

设计意图当堂巩固训练,强化例题所涉及内容的思想方法,从而达到培养学生良好的逻辑推理、运算求解和抽象概括能力以及分类讨论和换元的数学思想.

练习2.(2009 高考湖北卷理第15 题改编)

已 知 数 列 {an} 满 足a1= 1,求{an}的通项公式.

解当n为偶数时, 可设n= 2k,k∈z, 则:a2k=a2k-1+1=a2k-1+ 2 =a2k-2+1+ 2 = 2a2k-2+ 2,a2k+ 2 = 2(a2k-2+ 2),a2+ 2 =a1+1+ 2 =a1+2 + 2 = 5 即{a2k+ 2} 是首项为5 公比为2 的等比数列, 有a2k+ 2 = 5 × 2k-1⇒a2k= 5 × 2k-1- 2;a2k+1= 2a2k= 2 ×(5×2k-1-2)= 5 × 2k- 4, 由上可得

设计意图强化例题所涉及内容的思想方法,并将递推关系中的等差变成了等比,运算求解时用到了构造法求数列通项.考查了学生逻辑推理、运算求解和抽象概括能力以及分类讨论和换元的数学思想.

环节四小结提升,形成结构

问题7: 回顾本节课的学习过程,回答下面的问题

(1)碰到一个陌生的数列,当我们不知道项与项之间的规律时我们一般怎么寻找规律?

(2)怎么检测所求数列通项是否正确?

师生活动: 先让学生自己总结然后进行小组交流,小组代表发言后老师点评补充完善,最后得到此类问题的通法通解.

环节五课后检测思维拓展

1.已知数列{an}满足:a1= 1,a2= 2,an+2-an=2,n∈N*,则an=____

设计意图例举前6 项后发现虽然是隔项关系,但是根据规律可以合并.

2.已知数列{an}满足a1=1,

设计意图巩固隔项成等比数列的题型.

3.已知数列{an}满足:a1=1,an+1+an=4n-3(n∈N*),

(1)求数列{a2n-1}的通项公式;

(2)求数列{an}的通项公式.

设计意图虽然递推公式不是分段函数的形式,但求解时还是要分奇偶分类讨论,对下一节课起一个抛砖引玉的作用.

5 小结

教学中根据学生的认知搭建合适的台阶能细化知识,层层递进地帮助学生探索、分析并解决具有一定难度的问题.学生能通过由浅入深的台阶从低起点开始逐渐发现问题的本质,最后总结出解决此类问题的通法通解,将数学核心素养落到实处.