也谈函数零点问题中如何“找点”

殷 慧

(江苏省建湖县第二中学 224700)

函数零点问题是新高考中的常见题，经常处于压轴题的位置.几乎很少同学在函数零点问题上能写对、写全.究其原因，绝大多数是因不会“找点”.“找点”的前提是准确把握零点存在性定理，依据“找点”原则(简洁、熟悉、借助第三方 )等价变形.

例1 已知函数f(x)=ex3-ax(x∈R)，若函数g(x)=f(x)-x2(x>0)有且仅有两个零点，求a的取值范围.

经过分析，发现在区间(0,1)和(1,+∞)内，只需分别再找一个点，使得其函数值为正数即可.

(1)在区间(0，1)内找点.

那若是不断尝试，却又找不到使得函数值大于0，怎么办？可以依据找点的原则，借助第三方，进行放缩.

(2)在区间(1,+∞)内找点.

要使F(x)>0，需x3-2lnx-ax>0即可.

由lnx≤x-1x3-2x-ax.

以下我们在区间(0,1)和(1,+∞)内，只需分别再找一个点，说明其函数值为正数即可.

①在区间(0,1)内找点.

由函数单调递减，要使得x3-ax-2lnx>0，则当x越靠近0时，不等式大于0也就越好说明.

由x3-ax>2lnx，易发现当x→0+时，x3-ax→0，2lnx→-∞,

所以取常数α∈(-∞,0)，即x3-ax>α>2lnx.

特别地，取α=-1，则x3-ax>-1>2lnx.

通过观察发现，有关一元三次不等式很难具体解出来，所以这时可以考虑不直接完全解出该不等式，只需找出一个符合的情况即可.

②在区间(1,+∞)内找点.

由函数单调递增，要使得x3-ax-2lnx>0，则当x越靠近+∞时，不等式大于0也就越好说明.

即x3-ax>x2>2lnx.

第三方引入原则:

(1)当x趋于某个值，不等式左右两边的函数值也会相应地趋于某些数值，可能会出现一个数值范围，我们只需在这个范围内引入一个第三方常数即可.

例2已知函数f(x)=ex-a(x+2)，若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

(1)在区间(-∞,lna)内找点.

方法1若是将函数作为整体分析，后续说明函数值大于0会比较困难.可将函数拆分为两部分熟悉的函数考虑，一部分是y=ex，另一部分是y=-a(x+2)，从而易知ex恒大于0，同时又注意到lna>-1，所以要使得在(-∞,lna)内f(x)>0，只需-a(x+2)>0，即x<-2.

所以特别地，在(-∞,lna)内，我们可取x1=-3，则-a(x1+2)>0且ex1>0，进而f(x1)>0.

方法2由函数单调递减，要使得ex-a(x+2)>0，则当x越靠近0时，不等式大于0越好说明.

将不等式变形成ex>a(x+2)，易发现当x→-∞时，ex→0，a(x+2)→-∞.所以取第三方常数α∈(-∞,-1)，即ex>α>a(x+2).

(2)在区间(lna,+∞)内找点.

方法2由函数递增，则要使得ex-a(x+2)>0，则当x越靠近+∞，则不等式大于0就越好说明.

根据ex>a(x+2)，易发现当x→+∞时，ex→+∞，a(x+2)→+∞,所以可取第三方函数kxβ，即ex>kxβ>a(x+2).

特别地，可取x2=4a+2∈(lna,+∞)，则ex2-a(x2+2)>0.