立足关联条件 破解三角形最值问题

王中学

(安徽省合肥一六八中学 230601)

众所周知，解三角形问题一直以来都是高考的重要考点以及热点.常见的解三角形是要给出三角形中的三个条件(必须至少有一边)才能求解，而只给出一边及对角、一角、一边及边上中线、一边及所对角的角平分线等三角形的最值问题也受到了各地高考的热爱，本文以历年的高考题为例，立足于关联条件，来破解三角形最值问题.

1 一边与对角

同理BC=2sinA.

评注本道题是利用正弦定理以及辅助角公式，不仅可以求出最大值，还可以求出取值范围，并且系数可以进行变化，可以加强辅助角公式的训练以及给角求范围的求解.

例2(2014年新课标Ⅰ卷)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，且(2+b)·(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC面积的最大值为____.

解析由a=2，且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，故(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC.

又根据正弦定理，得(a+b)(a-b)=(c-b)c.

化简，得b2+c2-a2=bc.

又b2+c2-bc=4≥bc，

评注本题的难点是将2用a代换，这样题中的等式就是角和边的关系，使用正弦定理把角转化成边，再利用余弦定理求出角，最后用不等式解出面积的最大值.

(1)求f(x)的单调区间；

评注本题只是求三角形面积的最大值，如果求面积的取值范围，就不能采用余弦定理，需用正弦定理，并且需要确定角的范围进而确定面积的取值范围，对学生掌握辅助角公式以及给角求值等有很大帮助.

2 只有一角

(1)求∠B的大小；

再由(A+B)+C=π，得

评注本题是由三边关系来确定一角的大小，进而求另两角的余弦和的取值问题，主要是辅助角公式的应用以及角的互换和范围确定.

例5(2015年湖南)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，a=btanA，且B为钝角．

(2)求sinA+sinC的取值范围．

解析(1)由a=btanA及正弦定理，得

=sinA+cos2A

=-2sin2A+sinA+1

评注本题是由边角关系确定三个角之间的关系以及两角正弦和的范围问题，主要是辅助角公式的应用以及角的互换和范围确定.

3 一角与其对边上三等分线

解析在△ABC中，由余弦定理，得

a2=b2+c2-2bc·cos60°=b2+c2-bc.

又∠ADB+∠ADC=π,

所以cos∠ADB+cos∠ADC=0.

将a2=b2+c2-bc代入,得

b2+c2+2bc=36≥2bc+2bc，所以bc≤9(当且仅当b=c时取等号).

评注本题是由一角与其对边上三等分线来求面积的最值问题，主要是应用余弦定理以及不等式进行求解，但其中应用了互补的两角余弦值的和为零来确定三边关系.

4 一边与其上中线

例7 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c．已知acosB=bcosA，边BC上的中线长为4.

(2)求△ABC面积的最大值．

解析(1)由acosB=bcosA及正弦定理，得

sinAcosB=sinBcosA.

所以sin(A-B)=0.

所以△ABC的面积

评注此题解法较多，除上述解法还可以用切割法、建系、阿氏圆等方法.

5 一角与角平分线

例8(2018年江苏)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为____．

解析因为∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，所以∠ABD=∠CBD=60°.

由三角形的面积公式可得

化简,得ac=a+c.

评注本题主要是应用角平分线将三角形的面积进行分割，然后利用不等式进行求解.

6 三边关系或三角关系

C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24

解析因为A+B+C=π，

因此选项C，D不一定成立．

又b+c>a>0，

因此bc(b+c)>bca≥8.

即bc(b+c)>8，故选项A一定成立．

综上所述，故选A.

评注本题是已知三角关系以及面积的范围来确定三边的乘积的大小问题，利用正弦定理、面积公式以及两边之和大于第三边等进行求解.

评注本题是已知三个角之间的关系，求其中一个角的取值范围，主要是利用正弦定理进行边角互换，再利用余弦定理以及不等式进行求解.

7 综合应用

例11(2015年新课标Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是____．

图1

评注此题虽然是已知四边形中的三个角和一边求其中另一条边的取值范围，但其本质是考查解三角形问题，其实只用到了正弦定理.

例12(2014年浙江理 17)如图2，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,则tanθ的最大值____.

图2

设BP′=x，则CP′=20-x.

评注本题是空间中的解三角形问题，但是本题中的三角形载体都是直角三角形.

在高考的复习中，应在抓住核心考点的基础下，注重通性通法的讲解，因此例题的选择很重要，它可以让学生自己体会更为一般的解题策略，也可以对一般的解题策略如何应用到具体问题以及如何应用辅助方法提供“示范”作用，为学生的高效解题提供有力的参考.