优选目标直线 简化解几运算——以一类直线过定点的解析几何综合题为例

蒲荣飞

(安徽省合肥市第八中学 230071)

判断或证明直线过定点问题是直线和圆锥曲线综合问题中的一类常见的重要题型，此类问题具有运算量大、运算要求高的典型特点.大量的繁复运算往往成为学生难以逾越的屏障，如果在选择直线时再不加选择和甄别，往往还会人为增加运算量，无疑对于本身就很薄弱的运算能力更是雪上加霜.本文将通过具体例子来解读如何通过优选目标直线来简化此类解析几何问题的运算.

1 目标直线的选择视角

对于此类直线过定点的综合问题，已知条件和所证结论中均会涉及到多条直线，到底选择哪条直线作为目标直线可能会比较简单些？选择的标准又是什么？下面首先通过一道例题来作以对比分析.

例1 已知圆C过点P(1,0)，且与圆x2+(y-3)2=4外切于点(0,1)，过点P作直线PA,PB与圆C分别交于异于点P的A,B两点，且kPA·kPB=-3．求证：直线AB恒过定点．(其中kPA,kPB分别为直线PA,PB的斜率)

解析设圆C的方程为x2+(y-b)2=r2，

解得b=0,r=1.

故圆C的方程为x2+y2=1.

方法1 由题意可设lPA:y=k(x-1) (k≠0)，

与x2+y2=1联立，得

(1+k2)x2-2k2x+k2-1=0.

于是直线AB的方程为

方法2 由题意可设lAB:x=my+b，

与x2+y2=1联立,得

(m2+1)y2+2mby+b2-1=0.

2 目标直线的甄别优选

(2)当kMN存在时，可设lMN:y=kx+b,

(4k2+1)x2+8kbx+4b2-4=0.

而当b=1时，点A与点M重合，不合题意，故k=b+1.

此时直线MN的方程为(x+1)b+x-y=0，过定点(-1,-1)；又kMN不存在时，直线x=-1也过该点，故直线MN恒过定点(-1,-1).

评注如果对于目标直线不做任何甄选，而按照例1中方法1的思路选择直线AM作为目标直线，而其与椭圆C的方程联立求得点M的坐标本身形式就很复杂，再利用k1=2-k2代入得到点N的坐标形式将更加复杂，求解化简kMN的计算量将无法预估.而选择直线MN作为目标直线，不但思路清晰而且可大大降低运算量.

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知经过点A(3,-2)的直线交抛物线C于M,N两点，经过定点B(3,-6)和点M的直线与抛物线C交于另一点L，问直线NL是否恒过定点？如果过，求出该定点；否则，请说明理由.

故所求抛物线C的方程为y2=4x.

①

②

将①中y0换为y2可得

故直线NL恒过定点(-3,0).

评注本题在求解直线MN的方程时之所以并未使用已知点A，而是使用了未知点M,N，就是充分考虑到三条直线MN,ML,NL具有结构形式完全相同的特点，只需求出其中一条，便可通过代换写出其余两条，从而大大简化了计算.

3 真题演练

(1)求椭圆E的方程;

(2)证明：直线CD过定点.

4 感悟启示

4.1 简化运算,始于“四预”

所谓运算核心素养是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.笔者认为要达到灵活运算、简化运算的目的，首先需要做好“四预”即预审、预设、预估、预算.预审条件和对象，它是理解运算对象、进行正确运算的前提；预设视角和思路，它是思维严谨科学、方法灵活多样的体现；预估方法和顺序，它是对不同思路所涉及的运算量的一个整体评估，是确定尝试顺序的关键；预算选择和调整，即对运算思路的实践探索，并在试算的基础上及时做好调整与纠偏.

4.2 强化能力，起于“三练”

要想提升运算能力，必须要勤加练习.但是这里的练习不是盲目的低效重复，而应该是一种具有明确目的专项练习，需要明确为什么而练？练什么？它是一种持之以恒的艰苦练习，需要付出额外的能力和辛苦；它是一种需要科学指导的有意练习，需要有一套科学的训练方法，并及时反馈及时针对性地调整.

4.3 形成素养，源于“双积”

由运算能力上升到运算素养的高度，一定是源于背后的“双积”即积累和积淀.积累的是基础知识和基本方法，积淀的是基本的数学思想和基本的活动经验，扎实的基础知识和基本方法的积累是学科核心素养形成的主要载体，而丰富的数学思想和活动经验的积淀则是学科核心素养形成的主要路径.