基于学习进阶的高中数学单元复习课教学设计——以“圆锥曲线”单元为例

黄振东 冯 茹 (江苏师范大学数学与统计学院 221116)

1 引言

单元复习课是在单元新知识学习结束后，对整个单元学习内容进行的再认识．通过单元复习课，学生在较短的时间内再次完整地经历单元学习的全过程，进行知识的深层次理解并建构认知结构，归纳和提炼方法策略，深化思想方法认识，发展核心素养．在教学实践中，单元复习课往往被忽视，成为单一的知识复习课或者习题课，其应有价值未得到体现．

学习进阶研究起源于美国科学教育界，现已渗透进各门学科的理论与教学研究，成为教育研究的重要热点之一，在课程、教学和评价等方面具有丰富的价值．美国国家研究委员会(National Research Council，即NRC)将学习进阶定义为描述学生对于某个主题连续的、更加熟练的思考方式，这些思考方式能随着学生对这个主题的学习和探究依次连续发展[1]．基于学习进阶进行单元复习课教学能够有效改善上述教学实践问题，发挥单元复习课的应有价值.本文以圆锥曲线为例，进行实践探究．

2 基于学习进阶的教学分析

2.1 整理知识结构

圆锥曲线章节包含椭圆、双曲线和抛物线三个平行的核心概念．从单元内部知识结构来看，三个核心概念涵盖的知识内容是同构的，主要包括曲线定义、图形、标准方程、基本性质等．从知识结构看，椭圆、双曲线和抛物线在几何上统一于圆锥曲线的第一定义、在代数上统一于圆锥曲线的第二定义．从知识联系的角度看，圆锥曲线的学习建立在直线、圆的方程和其他几何知识学习的基础之上，并与之在知识衔接、方法运用等方面有复杂的联系．

2.2 明析进阶起点

2.3 确定进阶终点

进阶终点是根据课程标准等相关文件，以核心概念为中心制定的，对学生学习结果的预期，涵盖了学生对知识的理解、技能的掌握和思想方法的认识等．在学习内容和学情的基础上结合课程标准中对圆锥曲线的学习要求，将学习进阶终点设为：掌握圆锥曲线的定义、方程等基本概念，建立知识结构，能够利用以上的知识并结合“直线、圆的方程”等知识解决数学问题和现实问题，深入体会和认识数学思想方法，形成新的认知体系，发展数学运算、直观想象、逻辑推理、数学建模和数学抽象素养．

3 进阶变量与教学设计

进阶变量是学生认知发展过程的观测点，追踪学生在这些变量上的发展可以了解其整体学习进程[2]．进阶终点涵盖知识与技能变量、思想与方法变量、核心素养变量．其中知识与技能是思想与方法的认识基础，同时二者又承载着发展核心素养的任务．最终，三者都在问题解决过程中得到具体表现．在此，选择知识深度模型[3](Depth of Knowledge，简称DOK)作为建构学习进阶的理论基础，从问题解决的角度将学生的学习划分为四个递进水平，描绘学生在圆锥曲线单元复习课上的进阶过程．

3.1 进阶水平1：知识复述，简单应用

DOK的复述、记忆水平要求学生能够回忆事实、概念和过程，进行简单的运算和公式应用[3]．学生在此阶段回忆和复述圆锥曲线的知识，系统认识知识之间的联系，对圆锥曲线的知识进行简单的运用．

问题1我们已经完成了圆锥曲线单元知识的学习，同学们能否有条理地总结所学知识？请大家分小组讨论．

目前，我国股票市场正处于快速发展阶段，在始于2015年的“股灾”还未完全消退的背景下研究中国股票市场与国际股票市场间的相依性问题，对金融市场的风险控制、金融监管以及对投资者投资策略构建等均具有重要的现实意义。

(1)焦点在x轴上的椭圆；

(2)焦点在y轴上的椭圆；

(3)焦点在x轴上的双曲线；

(4)焦点在y轴上的双曲线．

设计意图概念复习和技能训练是复习课的必要内容．又因是单元复习课，知识的复习和巩固不应只是简单的复述和程序化训练．知识的回忆与基础的巩固应当有横向的拓展．圆锥曲线的知识本身就具有较高的系统性，问题1通过学生总结汇报、教师点评修正的方式，回忆、复述知识，帮助学生从整体视角认识知识，为新知识建构做准备．这即契合进阶起点，又是单元复习课的应有之意．问题2和问题3不仅限于公式套用，而是使问题达到复习课应有的难度，并且在其中蕴含数形结合思想中的“以形解数”．经过概念复述和问题解决，学生达到进阶水平1，即不仅能复述概念而且能简单应用．

3.2 进阶水平2：知识应用，概念整合

DOK的概念、应用水平要求学生运用知识进行更多的智力运算，以解决较为复杂的问题[3].在此过程中使知识结构更具系统性和结构性，是概念整合与知识应用的关键阶段．

(3)已知点F是抛物线y2=4x的焦点，M,N是抛物线上的点，若线段MN的中点到y轴的距离为5，求MF+NF的值．

追问3 联系前几个问题的结论，能否从这一角度重新定义圆锥曲线呢？

设计意图问题4强调圆锥曲线知识的灵活运用，加深对圆锥曲线定义的认识，巩固知识结构．问题5从具体问题出发，逐步抽象，将圆锥曲线统一于第二定义，其间的三个追问帮助学生发现隐含内容，推进知识发现的进程．这样的问题设计，运用之前学习的“点距”“轨迹方程”的求解方法和“以数解形”思想，提高知识运用能力的同时，使原有的知识结构得到强化并更加立体化，学生的学习水平达到进阶水平2．

3.3 进阶水平3：提炼方法，体系建构

DOK的策略水平要求学生能够进行推理、解释，需要更高的思维能力[3]．一方面，应当更进一步联系相关知识，建立直线、圆和圆锥曲线的知识结构；另一方面，还应探究解决圆锥曲线相关问题的一般方法．因此，本阶段应兼顾新旧知识整合和方法探究．

问题7已知圆C:(x-x0)2+(y-y0)2=1的圆心在直线bx-ay+4a=0上，若双曲线的右支与圆C不相交，求双曲线离心率的取值范围．

问题8点P是抛物线C1:y2=2px(p>0)上一动点，M,N是y轴上动点，圆C2:(x-2)2+y2=4是△PMN的外切圆，求△PMN面积的最小值．

设计意图问题6～问题8在难度上有了较大的提升，这种提升是对DOK策略水平两个方面要求的具体表现．首先，涵盖的知识面扩大．问题中联系直线与圆的知识，在问题解决过程中需要学生对知识进行综合、灵活的运用．其次，思想方法的提炼．数形结合思想在问题中综合运用，并形成解决该类问题的一般方法——函数法．在这一阶段，学生在综合运用知识和感受数学思想、提炼数学方法的过程中，提升数学技能，从方法的角度统一对直线、圆和圆锥曲线的认识，建立新认知结构，达到进阶水平3．

3.4 进阶水平4：拓展探究，素养提升

DOK的拓展性思维水平要求学生能够进行有效的数学探究[3]，在此过程中进行更为复杂的推理和思考，并联系相关知识设计方案解决问题．

问题9当圆锥曲线的焦点不在坐标轴上时，如何列出圆锥曲线的方程？

追问 方程形如x2=2py的抛物线与二次函数图象一致，双曲线是否也有形似的函数图象？如何验证反比例函数图象是双曲线呢？

问题10经过三十余年的发展，我国突破国外技术封锁，独立自主建造了中国空间站——天宫空间站，我们的航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲于2022年6月5日成功进入天和核心舱，并将按计划开展相关工作．空间站的在轨高度为400～450 km，假设其运行轨迹近似为椭圆，我们能否确定其焦点，并建立合适的坐标系以确定其轨迹方程？

追问 对于任意的一段曲线，能否判定它是否是圆锥曲线的一种？如果是，如何求出其对应方程？

设计意图问题9及追问是圆锥曲线一般问题的拓展，从平移的圆锥曲线到旋转的圆锥曲线的图象和方程，激发学生探究和思考．问题10以现实问题为基础引导学生进行深入探究，使学生感受数学的现实价值，其间融入爱国主义教育，激发学生民族自豪感．这一阶段联系相关知识，前三个阶段的知识、方法也在这一探究过程中得到综合体现，学生的认知结构、能力和素养得到进一步综合发展和提高，数学情感和价值观得到提升．

4 总结与反思

学习进阶以其特有的价值正成为教育领域的研究热点之一[4]．在本节课中，依据DOK理论，选取解决问题所需的认知复杂度作为进阶变量，将核心素养发展作为主要目标，形成了以问题解决为主线，以认知结构建构和思想方法认识为两条辅线的进阶路径．

具体来看，在进阶水平1至水平3，通过解决一系列的问题，学生的知识结构得到完善并逐步形成认知体系，知识的运用能力得到提升，对数学思想方法的认识进一步深入，数学运算、逻辑推理等核心素养的发展目标始终贯穿其中．在进阶水平4，通过拓展题和探究题使学生的知识、能力和方法得到综合运用，形成认知体系，推动数学素养进一步提升的同时培养数学情感和价值观．

最后，应指出的是，将学习进阶应用于实践教学中还应注意进阶的过程性和进阶路径的不唯一性．因此，本文教学设计中的问题可作为研究的案例，具体教学中可视学生的学习情况进行适当的增删，教学课时也可适当安排增减．