重视知识技能与思维，促几何教学质量提升——基于2022年8省中考数学几何试题分析

唐亚军 唐永生 李亚文 朱雨亭 (合肥师范学院数学与统计学院 230601)

1 前言

考试命题对学校教育教学具有重要引导作用，是健全立德树人落实机制、扭转不科学教育评价导向的关键环节，对于全面贯彻党的教育方针和发展素质教育具有重要意义[1].因而对数学试卷的分析是数学教育教学的重要内容，教师对试题及学生成绩的分析可以为评价区域和学校教学质量、改进教学提供重要参考[2].数学学业水平考试(中考)是依据学业质量标准对学生学完本课程后的课程目标达成度进行的终结性评价.中考试题一般代表着教学的方向，它所考查的是学生的数学综合素质与能力，这种能力集中体现在数学知识的把握、数学技能的熟练与数学思维的完善.同样，中考几何试题反映几何知识的层次，反映对学生几何技能和几何思维的要求，因此基于中考几何试题的分析与总结，进而思考如何促进几何教学质量提升是一项非常必要的工作.

2 相关研究阐述

几何知识主要指初中阶段平面几何基本知识.几何图形及其性质是几何知识的主要内容，几何语言是其主要表达方式，几何推理与证明是其主要操作手段，是几何技能与几何思维的基础；几何技能不是人脑中所固有的，而是在不同阶段几何知识的积累与运用过程中逐步发展而来的，是在练习的基础上形成的、按照几何内在规则顺利完成某种与几何有关的活动任务的技能[3]；几何思维是在几何技能熟练操作的基础上慢慢形成的一种潜在性的思维，是人类理性活动的正常发展中不能缺少的阶段.几何知识到几何技能、几何思维的发展是一种循序渐进、不断深化的过程.学生在掌握几何知识并通过练习形成心理操作，这种操作达到熟练和自动化就形成相应的几何技能.一方面几何技能会促进对几何知识的理解，另一方面心智操作的成熟也会促进学生几何思维的形成.三者之间的关系密不可分.已有研究[4-5]将几何技能主要概括为视觉技能、语言技能、画图技能、逻辑推理技能与应用技能，其中视觉技能是基础，逻辑推理技能是核心.几何思维水平公认的是以范希尔理论为基础的视觉、分析、非形式化演绎、形式化演绎、严密性五个层次[6].因此，以知识为内容的几何试题中体现着对几何技能与几何思维的考查，各思维层次对知识内容与技能类型的要求也不相同，这也是本研究的理论性依据.

教育部明确指出，试题命制既要注重考查基础知识、基本技能，还要注重考查思维过程[1].纵观已有的中考试题研究，大致分几类：以特例研究，着眼于一道几何试题的多种解法或价值思考；进行几何试题的专题式(如圆)研究，分析知识模块的重要性；以中考试题为背景的命题特点分析和解题策略研究；以各省市中考试卷为例进行质量分析及各省市中考试卷之间的比较分析；中考试题与课程标准一致性的研究等.中考几何试题知识分布的研究多体现在综合性的试卷分析，以图形和几何为模块出现.李柏翰等[7]以范希尔理论为基础研究了中考几何试题的思维层次分布及各层次的主要几何知识分布，为其他研究者提供范本.因此，本文从几何知识、技能与思维三个方面对8省中考试卷进行分析.

3 中考几何试题研究过程

3.1 中考试题的选取

研究者选取安徽、河北、河南、山西、陕西、江西、福建、云南2022年的中考试题作为样本，这8省初中学业水平测试均为全省统考，受众面大，对几何知识内容的考查也相对较为完善.虽然各省初中教材版本不尽相同，但是对几何知识内容、目标与能力的考查以课程标准为范本，因此教材版本的不同对中考几何试题的分析没有影响.

3.2 几何试题分析内容及量化标准

《义务教育数学课程标准(2022年版)》将初中几何内容分为“图形的性质、图形的变化及图形的坐标”，3个板块的内容包含13项内容，又细化为87条具体内容要求.研究者依据13项内容对考查内容进行计分，其原则如下：对每道题体现的主要知识进行计分；若题目中出现若干小问则以每小题所考查的知识内容划分，分值以参考答案为标准.比如一道6分的试题中全等三角形和相似三角形是解题的关键性因素，则给三角形计6分、图形的相似计6分.

几何试题的解题往往需要多种几何技能的组合.研究者依据几何技能内容及其表现形式[4-5]，给出了几何技能量化表(表1).每道确定的试题都有其主导功能且应优先保证其主导功能的实现[8]. 几何试题的主导功能就是使学生的几何知识成熟与自动化，进而形成几何技能，发展几何思维.因此每道题都有其培养的主要技能和次要技能.合理的试题一般具有两种以上的技能的组合.因此，几何技能的计分原则如下：对试题的主要技能计全分，次要 技能按照技能的个数平均计分.如一道6分的试题涉及视觉、逻辑与绘画技能，且逻辑是主要技能，则逻辑技能计6分，视觉技能与绘画技能分别计2分(6/3).

表1 几何技能量化表

中考几何试题的考查反映了课程标准对学生几何思维水平的要求，因此研究者依据数学课程标准的要求、范希尔几何思维水平[6]，参照李柏翰几何思维量化表[7]编制了范希尔几何思维水平量化表(表2)，分析几何试题中体现的几何思维层次及知识内容的分布.同一几何试题中会出现多种思维水平，考虑到思维水平是逐步发展的，在计分时以几何试题中最高层次水平计分.如一道4分的试题中有层次1和层次2，给层次2计4分.

表2 范希尔几何思维水平量化表

4 研究结果分析

4.1 几何知识分析

根据课标对几何部分内容的界定及知识分析的原则，得出表3.

由表3可以看出，8省几何试题总分都占到试卷总分的30%以上，平均占比38.6%，基本符合图形与几何知识内容在中考中的体现.内容主要集中在图形的性质中的三角形、四边形、圆及图形的相似部分，且多以选择、填空的压轴题和解答题的形式出现，说明这四部分知识是各省考查的重点内容.其中，三角形的内容覆盖率较高(以性质及全等居多)，其他部分或与三角形相互组合、或以三角形为图形载体构成其他图形、或通过其他图形分解而成三角形，说明三角形部分的知识在平面几何中起到基础性和关键性的作用，是几何入门教学的关键.图形的变换中，除去图形的相似，其他部分的内容多以选择、填空的形式出现且考查内容简单，图形的投影考查三视图居多，图形的轴对称、平移、旋转则多体现于几何图形的探究题，在图形与坐标之中作为一种操作形式考查.点线面角、定义命题定理除福建省第11题之外，没有以直接的形式进行考查，但是解题的过程是对这些对象和元素的精准操作，以一种隐性的形式考查.因此，教师应注重关键知识的教学，通过图形的变换让学生把握其中的变与不变量，从而掌握图形的性质.

表3 8省几何试题考查知识内容分值与占比

4.2 几何技能分析

以表2为标准，参照几何技能的计分原则得出表4.

表4 8省几何试题考查几何技能类型占比

由表4可以看出，各省技能考查最多的是逻辑技能，这与逻辑技能是核心技能相符，各省中考均达到60%以上，平均达到73.58%，说明逻辑技能的覆盖率很高.逻辑技能在内容上主要集中在三角形、四边形、圆和相似(如河南省第22、23题).语言技能可以说百分之百覆盖，但只有福建省第11题单独考查，它多依附于学生的阅读与论证的过程之中，一些压轴题(如河北省第26题)更是需要学生理解几何语言，从中提取出关键性信息进行解题.同语言一样，视觉技能体现于有几何图形的试题之中，单独考查的形式多在选择题之中且多以对几何图形的辨别、对复杂图形的抽离等方式出现，如福建省第4题辨认轴对称图形.绘画技能多体现于是否添加辅助线和对图形的运动操作(如江西省第23题)，考查尺规作图的如山西省第17(1)题、陕西省第17题、福建省第23(1)题，考查坐标系的图形变换画图的如安徽省第16题，这些都考查了学生的画图能力.从表中清晰看出应用技能的考查较少，说明8省几何试题与生活实际内容的联系不多，侧面反映出都比较看重以抽象图形考查非形式或形式演绎推理能力.

4.3 试题的几何思维水平

以表3为标准，参照几何思维的计分原则得出表5.

表5 8省几何试题考查几何思维水平比重

由表5可以看出，8省2022年中考题中几何试题考查最多的是层次2(58.22%)，其次是层次3(28.77%)和层次1(12.01%)，层次0和层次4没有考查，因此各省主要考查的是(非)形式化演绎.根据皮亚杰的认知发展理论，此时的学生正处于形式运算阶段，大多数学生超越了对具体可感知的事物的依赖，形成了抽象、推理思维.因此，几何试题所考查的思维水平符合学生的认知，教学目标是使学生的思维达到形式化水平.基于几何试题思维水平的研究，研究者继续深入研究各个思维层次上几何知识与几何技能的分布，得到表6和表7.

表6 几何思维水平下各领域知识分值分布

表7 几何思维水平下各几何技能占比

由表6可以看出：层次1中，考查相交线与平行线、三角形、四边形和图形的投影(三视图)较多，其中三角形部分的知识大多以其他知识的图形载体出现；层次2集中在三角形、四边形、圆及相似考查最多，且大多为考查这几类图形的性质，用性质进行基本的逻辑推理；层次3也集中于三角形、四边形、圆及相似，但融合了图形的旋转，多以探究题的形式考查.

由表7可以看出：层次1中考查视觉技能较多，层次2和层次3中考查逻辑技能较多；各项技能在思维层次2中体现较多，层次3与层次1次之.因此，在层次1阶段，教学应多以视觉分析为主，在层次2和层次3时教学应以完整的逻辑推理为主.

5 平面几何教学启示

5.1 几何知识——抓图形、抓关键、抓结构

技能与思维是建立在几何知识的掌握并达到自动化的基础之上的，要想提升几何教学质量，必须重视几何知识.

首先，几何教学要抓基础图形.所谓基础图形就是在几何图形中起到支撑作用、贯穿于几何教学始终的图形.点、线、角是学生初中最先接触到的抽象几何图形，后面的任何图形都在这三种元素基础上形成，因此，在平面几何起始课上要帮助学生破除原有认知，深入理解基础图形的概念，为几何图形的学习做好思维的铺垫.

其次，抓关键知识.三角形在图形研究方法上是作为基础图形而存在，在知识内容上是作为关键性知识而存在，因此掌握好三角形的知识就基本上掌握了几何图形的大部分性质.正如项武义[9]所说：“三角形是仅次于线段和直线的基本几何图形，它既简单而又能充分反映空间的本质.”教师要高度重视三角形初步的课堂教学，教会学生图形研究方法，让学生加深对三角形知识的理解深度.可适当延长三角形的课时，将三角形的性质研究透彻.

最后，要让学生熟练提取与运用，以形成技能和思维，教师就需要重视几何知识结构，将几何知识结构化重组.以几何知识内在逻辑为基础，组织形成完备的知识积累与稳固贮存，以几何思想方法为基础，组合成学习者头脑中的数学知识系统的逻辑联系以及学习者头脑中的数学方法、解题技巧、运用数学知识的手段等，它所侧重的是对于一类问题的解决方法[10].不同角度的组织可以提高学生对几何知识理解的深度和广度，也可拓宽学生的思维.

5.2 几何技能——看顺序、看教学、看练习

几何技能具有顺序性和阶段性的特点[4].顺序性是指技能之间具有前后顺序，前一个技能的训练是后一个技能的基础；阶段性是指根据学生几何知识学习的深度与阶段的不同，每一种技能所要掌握的内容及其熟练程度也不同.因此，教师在教学中培养几何技能时要按照技能的顺序，从视觉技能到最后的应用技能合理地安排教学活动(图1).教师在教学时以此顺序为参照，以各知识内容的学习要求为基础，在课堂教学中培养学生的几何技能，但以培养学生的逻辑推理技能为核心教学思想展开.几何技能是在知识的运用(多指练习)中慢慢熟练的，练习的教学功能与目的是使学生建立课程的主要技能技巧、运用相关术语和符号的技能技巧，以及把教学内容模块化的技能技巧[8].因此教师应精心设计结构化的练习，设计知识难度有顺次、技能培养有主次、思维水平有层次的高水平练习.

图1 几何技能教学培养要求

5.3 几何思维——重过程、重形式、重心理

几何思维的提高融合于知识与技能的教学过程，它内隐于知识与技能的熟练，具有潜在性.范希尔理论在宏观上界定了学生的思维发展过程，且试题分析反映出非形式化演绎是考查的重点.几何概念是几何知识的元素，是几何思维形式之一，学生获得几何概念过程中的观察、比较、分类、分析、抽象与概括等微观思维过程充斥于几何课堂教学之中，这是培养学生几何思维的重要手段.教师应该让学生体会概念形成的思维过程，让学生自主探究概念、命题与定理等思维形式，在这些过程中通过一系列的问题串、追问等形式探析学生思维历程，通过反馈了解学生的几何思维水平，进而依据教师的教学智慧制定相应的解决对策.当然除了重视几何思维，还需要重视如学习思维、语言思维与解题思维等有利于几何思维形成与发展的心理思维.几何知识学习是思维形成的过程，几何语言与几何解题是思维输出的过程，而输出的过程更是几何思维完善的过程.因此，教师更需要重视学生几何语言的习得与转化输出，将抽象化的几何符号语言形象化；也更要重视几何解题的思维过程，多关注学生对几何试题的分析过程与解题角度.

中考试题是评价学生知识、技能、思维与综合素养的高水平性测试，指引着中学数学发展的总趋势.几何试题所渗透出的几何知识、几何技能与几何思维方面的重要要求，是提升几何教学质量的重要抓手.