基于课题研究的创新拔尖人才培养初探——以“丘成桐中学数学奖”为例

戴中元 (华东师范大学第二附属中学 201203)

“丘成桐中学数学奖”是丘成桐先生于2007年12月发起，为激发和提升全球中学生对于数学研究的兴趣和创新能力，发现和培养有前途的青年数学才俊而设立的．该奖项面向全球中学生，舍弃了试卷和标准答案，学生的作品以研究报告的形式提交，经过国内外数学家三轮审核和最后决赛答辩，评出奖项．后又加入了物理、化学、生物、计算机、经济建模等学科，组成了新的丘成桐中学科学奖(下称“丘奖”)．笔者结合这些年指导学生参加丘奖的经历以及华东师大二附中的课题引导来探讨它对中学数学教育的影响．

1 丘奖为中学生的理论研究提供了舞台

华东师大二附中有六个百分百，其中之一就是百分百的学生做课题研究.学校在新生入校时即会举办走近科学夏令营，让学生领略到科学的魅力，找到自身感兴趣的方向，然后在学校科技辅导团老师的指导下开展研究.每年均有许多学生参加全国青少年科技创新大赛，并连续20余年入围英特尔国际工程学大奖赛，迄今已有5位学生荣获小行星命名．

不同于英特尔大奖赛侧重于实验科学和工程学，丘奖更侧重于理论研究．

笔者高中时即对不等式非常感兴趣，阅读了诸如《不等式理论方法》《常用不等式》等参考书，并写信向国内这方面的专家杨学枝老师求教，杨老师非常认真地答复我并邮寄了《不等式研究通讯》给我，我学习了许多知识，也研究了一些问题，但当时在中学阶段除了高考只有奥赛这条道路，没有做数学课题的氛围，所以只是浅尝辄止．

在2008年第一届丘成桐中学数学奖中，复旦附中学生韩京俊的《完全对称不等式的取等判定》荣获优胜奖，之后又出版了《初等不等式的证明方法》，进入大学后他开始符号计算领域的研究.他的兴趣最初来自于高中数学竞赛里的不等式问题，竞赛要求参赛者手工证明不等式，那能不能找到一个通法用计算机的符号运算解决不等式证明问题呢？在这一兴趣的驱使之下，韩京俊很早就展开了对符号运算领域的研究，大一时他就解决了中科院杨路教授在《中国科学》上提出的公开问题．韩京俊后来从事代数几何研究，现在美国约翰霍普金斯大学任J.J.Sylvester助理教授．像韩京俊这样的例子还有许多，丘奖为许多热爱探究的学生提供了展示舞台，为他们和大学教授之间建立起桥梁；提前学习了解现代数学的内容，用不同于中小学的模式学习知识，充分激发了中学生的潜能，并坚定了之后走科研道路的信心．

2 华东师大二附中的数学科创活动

华东师大二附中的科技创新班是由一批学有余力、喜爱科学、勇于探索的学生组成，他们每周有一个下午的卓越课程和一个晚上的时间可以去学校4楼科创教室自由地开展课题研究，学校为他们配备了物理、化学、生物、工程、机器人等实验室，做数学课题的学生则可以选择数学建模实验室．

2.1 数学课题研究讨论班

数学课题研究小组是由有志于做数学课题的学生组成，要求具备扎实的数学基本功，对数学有浓厚的兴趣，平时在课内学习之外有时间阅读数学方面的科普书和专业书，有一定的自学能力，有探索精神和抗挫折的能力[1]．每周的卓越课程，我会组织学生开展数学课题研究讨论班，本课程有些类似于大学的数学讨论班，由学生主讲自己所学知识和所做的数学研究，教师帮助解答问题和提供参考意见．

数学课题组进行课题选题讨论，阅读数学拓展类书籍(如《数学建模》等)，查阅文献(如《美国数学月刊》《数学文化》《数学传播》《数理人文》《数学通报》《数学通讯》等)，课题进展汇报，专题学习汇报等活动．专题学习汇报主要由学生自己查阅感兴趣的数学领域，然后制作汇报PPT，由老师审阅及和同学讨论修改后向所有课题组同学汇报，在期中、期末考试等课业负担比较重的时候由指导老师来讲．

在专题学习汇报讨论班中，发现由学生视角导入对其他学生更易于接受和理解，并且学生能更积极地提出问题．在讨论班过程中经常要求学生最后用一个具体的例子来讲解自己所学的数学知识，使听的学生真正将这些内容弄懂．另外讨论班可以使做不同课题的学生加强沟通和交流，了解其他人在做什么，在短时间内学习更多的知识，并且相互借鉴和启发．

表1 华东师大二附中历年入围丘奖决赛的数学课题

2.2 现代数学巡礼选修课

“现代数学巡礼”是周五下午的全校性选修课[2]，内容是以高中课内知识为出发点，进行拓展、加深，注重思想，介绍问题的由来、发展、背景、影响以及在实际生活中的应用．介绍比较有名的问题(如费马大定理、黎曼猜想等)，或较新的重大突破(如张益唐在孪生素数方面的工作)，普及数学文化方面的知识，如数学的对称与和谐、数学中的创造、数学的统一性等．观看数学家的电影(如纳什、图灵、拉马努金、高斯、希帕提娅、陈省身、华罗庚等)，数学科普纪录片(如《数学漫步》《平面国》《数学的故事》《寻找隐藏的维度》《神秘的混沌理论》等)．

表2 “现代数学巡礼”的部分课程

“现代数学巡礼”为对数学感兴趣的学生打开了一扇新的窗户，从中可以学到许多课本上没有的数学知识(如幻方、魔术中的数学)，又可以了解到数学在生活中的具体应用(如博弈论、图论、分形)，激发学生对数学的热情，从中体会到数学的美和价值，许多学生就是从这门课走入了课题研究的乐园．

2.3 大学先修课程

从2013年开始清华大学和北京大学就在中学设立大学先修课程.北京数学会理事长柳彬在课程启动时曾说：“16岁的中学生在智力上已经成熟，有能力学习大学数学知识．”华东师大二附中在数学方面开设了《微积分》《线性代数》《抽象代数》《概率论》等课程，笔者曾长期担任学校的微积分讲师，由于上海地区很长时间不讲导数，这门课很好地弥补了这个不足，并且对物理竞赛的学生使用求导、积分工具起到了很大的帮助．我校许多学生都在清华大学和北京大学先修课的考试中取得了优异成绩，这方面的工作得到北京师范大学张英伯教授的肯定[3]．在2021年两次清华领军计划的选拔中，二附中共有7位学生成功入选，这和我校长期坚持开设大学先修课、鼓励学生自学是分不开的．

同时大学先修课也为高中生学习深入的大学数学知识铺设了道路，为他们做课题研究奠定了更加坚实的理论基础．例如，复旦附中的陈子弘同学(2015年银奖获得者)高中阶段即自学Stein的三卷调和分析，且在普林斯顿的本科生杂志上发表论文，而我校的刘臻化同学(2015年金奖获得者)则利用课余时间自学了代数数论和解析数论的部分内容．丘先生也在接受采访中提到丘奖刚开始时因为国内高中生不懂微积分[4]，所以大多数学生做的都是初等数学问题．随着丘奖影响力逐渐扩大，更多有深度、用高等数学方法解决的课题占比越来越大，有些被评委会认为达到了硕士论文的水平，可见丘奖对中学生学习大学知识起到了巨大的推动作用，学生的视野更加开阔，知识储备和科研能力得到了大幅提高．

3 数学课题案例分析

3.1 研究性学习

虽然经常在教学研讨时提到研究性学习，但笔者认为平时在课堂中的这些方式至多被称为启发式教学，而“研究性学习”应至少具备这样三点：

一是独立性，学生必须在大部分时间内单独进行探究，如果身旁总是有别人的帮助或者提示，那么应归属于启发式教学范畴．

二是长时性，“研究”是利用有计划与有系统的资料收集、分析和解释的方法，获得解决问题的过程，试想如果问题只需用很短的时间就能解决，那怎能称为“研究”呢？

三是不确定性，既然是研究，就会有成功和失败，如果在做之前就能完全确定结果，那至多只是验证工作．

图1 与凸四边形四顶点共椭圆的点的区域

根据以上三点，做课题是一种非常好的自主研究性学习．下面以沈伊茜同学的《凸四边形外接椭圆及其性质研究》中的部分结果为例进行说明.首先容易验证凸四边形必然存在外接椭圆，且有无穷多个，那么很自然地想到如果加入第5个点能否将这个椭圆确定下来.这里采用从特殊到一般的方法，先从矩形入手，然后依次讨论平行四边形、等腰梯形、非等腰梯形，可以发现与原来四点共椭圆的点的区域是前面这几幅图中的阴影部分，且梯形中的一条边界是过四点的抛物线，最后将结论自然地推广到一般四边形(对边不平行)的情况，此时过这四个点的抛物线有2条，而此时满足要求的点就是以这2条抛物线为边界的．

在得到共椭圆的点集后，与四顶点共抛物线的点集就是这2条抛物线，那么猜测剩下的点与四顶点共双曲线.经过验证发现果然如此，并且还可得到在图2浅灰色部分的点所得的双曲线两支上各有2个顶点，而深灰色部分所得的双曲线的一支上有4个顶点．

图2 与凸四边形四顶点共双曲线的点的区域

该篇文章中这个结论的思路是从特殊到一般，在课堂中已做过很多类似的问题，但我认为这些都不如做课题体会来得深，这就是研究性学习和其他学习方式的不同点，它带给人一种超越自我的感觉．同时这个课题还体现了几何之美，三种圆锥曲线在这里得到了完美的融合，该课题得到了丘先生的赞誉，并荣获了2014年丘奖的铜奖.这对沈同学是非常大的激励，之后做任何事情都信心十足，成绩一直位列班级第一，后考入清华大学．还有许多学生也是如此，由此可见课题研究对学生的作用不仅是本学科，对其他方面也有极大的促进作用．

3.2 坚持自主选题

现在许多高中生课题都是直接由大学教师或研究生指定，我认为这会失去课题探究的初心，变得和数学竞赛一样，又成了解决别人提出的问题，并且很多学生根本不知道这项研究的意义何在．平时课内学习课本知识时，少有人问为什么要学习等差数列、指数函数这样的知识，而研究过程则告诉学生为什么要走这条路、这条路还有哪些地方没人去过，说不定可以发现新的事物，这是课内浅尝辄止的学习所做不到的．丘先生曾说：“近40年来，中国的数学发展很快，但还是不满意，最大的问题是人们解决问题，不是自己提出问题.”所以二附中坚持学生自主选题，在每次的科技夏令营中会向学生介绍过去的各种课题，并归纳出几种选题的思路：

(1)从课本中寻找问题

例如，葛敬元同学的《复函数奇偶性及其他性质的图象研究》就是将函数的奇偶性推广到复函数，给出了相应的ω奇、ω偶的概念，并将它应用于图象变换，使其具有给定的对称性，课题获2016年丘奖华东赛区二等奖．钮敏学、蔡偌箐同学的《形如ax+bx=cx的简单指数方程解的无理性判定》是从指数函数的例题3x+4x=5x中得来，这个方程根据指数函数的单调性可知有唯一解，且因为3,4,5是勾股数，所以它的解是x=2，那么如果底数是其他正整数呢？猜测除了极少数特殊情况外解都是无理数.两位学生自学伽罗华理论，并利用复数知识进行了细致的讨论，并将其推广到左边有3项及3项以上的情况，该课题获2013年丘奖华东赛区一等奖．

(2)从生活中寻找问题

网络论坛中有水军，微博中有僵尸粉，丁懿铭同学利用统计学把这些无效用户的特征提取出来．例如，用真实照片的用户更有可能是虚假的，然后利用它们来对用户进行测试，得到了不错的结果，她的课题《基于贝叶斯理论的微博僵尸粉识别研究》获2014年丘奖铜奖．而华立成同学则是从田忌赛马问题出发，研究n(n≥4)匹马情况下齐威王和田忌的胜负情况，得到了许多有趣的结论．例如，如果马匹数足够多，那么两人获胜的概率是相同的，并从哲学角度进行了分析．在最后答辩时因为有外籍评委，丘先生率先提问：“Who’s Tian Ji？”华同学借这个机会又普及了中国古代运筹学思想，他的《多马匹情形下的田忌赛马问题研究》获2015年丘奖优胜奖．

(3)从习题中寻找问题

有这样一道立体几何习题：是否存在空间五边形，它的每条边长度都是1，相邻两边所成的角都是直角？答案是否定的，那么如果将五边形改为其他边形呢？将直角改成其他角度呢？这实际上是平面正多边形在空间中的推广.孙越阳同学仔细研究了内角为90°的情况，得出了内角为90°的空间正多边形在n≥6时都存在，其中关键的一步是构造七边形的情况(图3)，然后系统性地研究了在n比较小时，空间正n边形内角的范围，并在4维空间中讨论了相关问题，她的课题《对空间中立体几何相接数及其衍生定理的研究》获得2019年丘奖华东赛区二等奖．

图3 内角为直角的空间正七边形HGJKLIE

(4)对现有问题进行推广

潘星宇同学将平面几何中的Soddy点推广到空间中，她将尺规作图中的直尺和圆规推广到空间中画平面和圆锥的平尺和伞规，得到了许多有趣的结果．例如，古希腊三大几何作图问题就可以通过这两个新的作图工具得到解决，她的《三角形中神奇的点》获得2013年华东赛区一等奖．杨岳同学在课余学习了许多高等数学知识，他应用 Jacobi三重积恒等式和欧拉五边形数定理推导了一套新的恒等式，并对三角函数进行了推广，他的《一类无穷乘积的计算方法和三角函数的一种推广》获2021年丘奖华东赛区三等奖．叶果然同学则是通过对博物馆守卫问题进行拓展，考虑到像俄罗斯冬宫这样中间为广场的建筑，他的《一个有空洞的多边形建筑的内部守卫问题》获2016年丘奖华东赛区三等奖．

(5)从数学游戏中寻找问题

郑植匀同学的数学课题来源于“打地鼠”游戏，用数学语言来说就是一个城堡中的房间在图G的顶点上，一个住在城堡中的公主每天住在与她前一天相邻的房间，王子们不知道公主所住的房间，但每天傍晚这些王子可以分别查看一间房间中是否住着公主，求最少需要几个王子才可以有必定找到公主的策略．对于图G，这个数被定义为最小王子数，记为ρ(G)，这个概念刻画了图的某种“连通”性质．郑同学利用邻接矩阵等代数工具给出了许多特殊图的ρ(G)，并给出它的不等式估计．例如，可以计算图4的ρ(G)=7，他的《简单图上的王子与公主问题》获得了2021年丘奖华东赛区一等奖．清华附中的杨青明老师及学生从数独游戏中获取灵感，发明了《形独》游戏，并衍生出各种玩法，还将它开发成App让更多人能够玩到这款益智游戏．在二附中，施洪亮副校长与何智宇老师开设数学游戏的选修课[5]，在数学文化节中有游戏专场，开设魔方、数独、24点等比赛，并在暑期组织学生参加MIT组织的数学游戏主题夏令营，让学生在游戏的快乐中体会到数学的魅力，思考数学问题，所以数学游戏也是数学课题的重要来源之一．

图4 最小王子数ρ(G)=7

(6)从数学建模和数学竞赛中寻找问题

方潇砚同学对军事非常感兴趣，他利用解析几何知识建立数学模型来研究古代阵型，通过不同的曲线的兵阵面，得出每种阵法的攻击力和防御力，并将其应用到古代的各种有名战争中．例如，刘裕北伐的却月阵，分析交战双方的胜败得失，他的《运用兰开斯特模型探究古代战争中弓弩杀伤模型和阵型选择》获2021年丘奖华东赛区三等奖．徐子卿同学则非常喜欢不等式，他将中等数学中的一道不等式题进行推广，研究结果获2013年丘奖华东赛区二等奖．数学建模比赛和数学竞赛是个取之不尽的宝库，许多竞赛问题只考虑了某些特殊情况，而留有更广阔的空间给学生进行探索．

(7)从科普杂志和数学丛书中寻找问题

倪丹同学对数论非常感兴趣，在高一时即研读《数论中未解决的问题》，她对数论中的孤独数、友谊数非常感兴趣，在选修课中向其他同学介绍这方面的相关知识和进展，目前还有许多数无法判定为究竟是友谊数还是孤独数，于是她对许多情况进行了讨论，对函数值的有界性及分布进行了分析，并估计了友谊数在正整数集中的密率，她的《关于函数f(n)=δ(n)/n的几项探究》获2019年丘奖铜奖．同样对数论感兴趣的还有刘臻化同学，他对Dirichlet定理进行了研究，给出了新的代数证明方法，并给出了某个级数的渐近公式，他两次参加丘奖，分获三等奖和金奖．

以上是我校部分学生选题的出发点，迄今为止学生所选课题方向涵盖了绝大部分中学阶段的数学分支和数学方法(括号内为对应高中知识)，如平面几何、解析几何、立体几何、抽象代数(指数方程)、模糊数学(集合论)、组合数学(数列)、图论、不等式、代数数论、解析数论、复变函数(函数奇偶性)、机械化证明、数学建模、微积分、博弈论、贝叶斯统计、概率论(数学期望)、层次分析法等．

3.3 课题研究的四个层次

以下是笔者归纳的课题研究的四个层次(图5)．

图5 课题研究的四个层次

(1)有些学生因为学业压力，无法在课题上投入太多时间，但他们通过选修课和科技营的讲座了解到数学的意义和生活的紧密联系，改变对数学冷漠抽象的印象，不再用“菜场算钱”来衡量数学的价值．

(2)这部分学生敢于突破课标的限制，去思考课堂内没有讲的内容，只需要教师在课堂教学中适当的引导．这样的学生在今后的学习过程中不再唯唯诺诺，按照别人规定好的步伐前进，而是能够建构起自己的知识体系，对自己要求更高，要知其然，知其所以然．

(3)对找到问题且动手去做的学生，他们不仅锻炼了科研的各种能力，如文献搜索能力，沟通表达能力，使用Latex撰写论文、制作PPT和展板向别人展示自己的能力，而且对自己的认知更加清晰，更了解自己喜欢什么、兴趣在什么方向、擅长做哪些事情，他们在填报大学志愿时比别的学生更加坚定，可谓是“明天小小科学家”(教育部某项比赛名称)．

(4)在课题研究中获得非常有意义的结果，这种意义不是学术上的，而是超出高中生自身水平、创造力的．在这个过程中可能遇到过挫折、停顿，但是经过不懈地努力学习，不断地尝试，最终柳暗花明又一村，这种体会就如同辛弃疾的词句：“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处．”

在二附中大多数选择做数学课题的学生都能达到第三层次，甚至第四层次．

3.4 指导教师的收获

中学生的好奇心是非常强的，很多学生不满足于解难题，我成为一名中学教师的重要原因就是希望能为他们提供一个探索未知的环境，为他们做课题研究提供助力．

在和学生讨论的过程中有时我自觉知道答案，但也不直接告诉学生，让他自己去思考，结果发现学生做得比我想得还要好，无论是结果还是方法的新颖程度都要更胜一筹．有时我因为知道的东西多反而产生了定势思维，如前面提到的凸四边形外接椭圆的问题，我认为射影变换在这里不适用，因为它会把圆变成双曲线或者抛物线，但学生运用平行投影的方法很轻松地就解决了．有些学生能够在和我讨论过程就得出新的结果，但也有一些学生迟迟找不到感觉，这时我会坚定地支持他，为他提供可以尝试的思路和小问题，但仍尽可能让他自己去思考，就像学自行车先在后面扶一下，当车骑起来的时候就放手，而学车人仍然以为很安全，在不知不觉中就学会了骑车．

复旦附中的汪杰良老师是笔者在上海市数学业余学校读书时的老师，他课余就经常指导学生做课题研究，本文前述的韩京俊就是汪老师的学生，他还撰写了两本这方面的专著：《通往国际科学“奥赛”金牌之路——数学“研究型教学”的成功实践》《激发学生学好数学的潜能——复旦大学附属中学学生撰写数学小论文的实践》，对笔者的工作启发很大，是这方面的前辈和引路人．

和学生探讨课题的过程非常愉快，有时三四个小时悄悄过去也不觉得累，当学生作出好的结论时总是由衷地感到高兴．在此过程中不仅获得了很多乐趣，学到了许多数学知识和技巧，也惊叹于学生的创新能力，这是没有做过这方面工作的人所无法体会的．

4 从宏观角度看丘奖

丘奖的设立为中学生开辟了一条有别于竞赛的新的道路，中国学生的数学知识储备逐年提高．于是在此条件下，清华领军计划应运而生，这为那些真正对数学感兴趣的学生铺平了道路，不必参加高考或联赛，可以提前进入大学学习数学，参与求真书院的各种讲座活动，和世界一流数学家近距离交流．这获得了国内众多中学生的积极响应，由此丘先生又在中学设立丘成桐少年班，为更多低年级的天才学生提供良好的成长环境，这些举措可谓一环扣一环，每项都落到实处，为中国数学发展的土壤浇水施肥．

丘先生在香港特别行政区设立了恒隆数学奖，在台湾地区也设立了丘奖，他还不辞辛劳，多次到全国各地的中学举办讲座，和中学生面对面交流，并将求真书院的学生带回家，让学生感受到浓浓的“家”的感觉．同时丘先生还主编了多套丛书，有国外引进的优秀教材，也有《数学与人文》这样的科普丛书，丘先生认为要做好的学问，要有文化的根底，不仅要读中国古诗词，也可以看莎士比亚，听《浮士德》歌剧，听贝多芬的音乐[6]．并且在本科、研究生，直到获得教职后的每个阶段，丘先生都帮助设立了各种奖项和比赛(表3)，给予莘莘学子以严格的要求和不断的激励．

表3 丘先生在各学段设立的班级、比赛、奖项和主编丛书

例如，丘成桐大学生数学竞赛就希望每位学生要在本科生阶段打好基础，2021年青橙奖获得者韦东奕就曾在多个方向的比赛中获得金奖．而丘奖则是所有这些的起始点，它让中学生更加勇敢地走向数学前沿，是所有后续的奠基石；同时也让中学生的视野更为宽广，在中学阶段就产生对数学(或其他学科)的浓厚兴趣．最后祝愿丘奖越办越好，能使更多的中学生从做课题中体会到数学的快乐！