新课标初中学段“数与代数”学习领域的新变化

赵琳 吴立宝 刘颖超

【摘 要】聚焦《义务教育数学课程标准（2022年版）》与《义务教育数学课程标准（2011年版）》初中学段“数与代数”学习领域，对其结构、内容、案例进行比较分析。通过分析比较，研究者发现：在整体结构上，新增了学业质量、核心素养、学业要求以及教学提示部分；在内容上，“数与式”“方程与不等式”“函数”三个主题没有变化，部分内容顺序发生变化，并更新相应知识内容；案例选择方面，更加注重与现实情境、数学文化的结合。

【关键词】义务教育数学课程标准；数与代数；初中学段；核心素养

一、引言

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《2022年版课标》）是在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《2011年版课标》）基础上的修订，凸显了继承与发展的特点，新提出核心素养及学业质量贯穿课程标准始终。准确把握课程标准的变化，深入剖析《2022年版课标》修订理念，深刻理解新版课程标准的内容，有助于将《2022年版课标》的要求深入落实于一线教学，使立德树人的根本任务落地生根。针对《2022年版课标》中第四学段“数与代数”学习领域中的内容，凸显素养导向的意蕴，从结构、内容、案例方面与《2011年版课标》中的相应内容进行比较分析，以期优化教学实践。

二、从核心概念到核心素养、素养本位的学业质量

宏观上，核心素养相关概念于21世纪初，由芬兰、美国等国家提出，并迅速在国际社会上形成素养导向的热潮，其理念渗透于课程改革、教学改革、教学评价方式优化等各个方面。在此背景下，我国数学教育逐步从“双基”转向“四基”，从“双能”转向“四能”，进而综合向素养导向的模式过渡发展。新增学业质量，以核心素养发展要求为依据，对学生在“数与代数”领域所应达到的学业成就表现特征进行刻画，明确了学生对该领域知识“学到什么程度”。从《2011年版课标》到《2022年版课标》，从核心概念到核心素养的变化，新增核心素养的表述，统领核心概念［1］28-34。课程总目标中提出数学课程要培养的学生核心素养包括三个方面的内容：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界（简称“三会”）。《2022年版课标》在《2011年版课标》的基础上强调核心素养的具体表现，例如在“数与代数”领域初中学段主要表现为抽象能力、推理能力、模型观念等，核心素养的培养要体现出其内涵的一致性、表现的阶段性和表述的整体性［2］92-96。在初中学段要求基于概念的理解，形成相对明确的观念。

（一）在数到代数的认识发展中形成抽象意识

从内容指向来看，在“数与代数”领域关注数学的抽象性，就要特别关注数量与数量关系［2］92-96，感悟数是对数量的抽象，在职能上数与代数式具有功能的一致性，形成整体的视角看待数與代数的内在逻辑关系；从技能形成来看，学生能运用代数式表示具体问题中简单的数量关系，体验用数学符号表达数量关系的过程，经历用字母表示数和代数运算的过程，在函数部分找出变量之间的关系及变化规律；从数学思想方法来看，强调学生在完整经历发现与提出问题，分析与解决问题的过程中，逐步应用数学思想方法解决问题，如借助类比的思想，理解数与代数式在数量表达方面功能的一致性，借助归纳—演绎的思想，理解代数式表达数量关系更具一般性，并在解决现实数量关系相关问题中养成用代数式表达数量关系的习惯等；从数学思维的角度来看，能够关注数量关系等数学本质方面的问题，形成用数学的眼光观察现实世界的思维。

（二）在代数推理的理解学习中形成推理能力

针对以往义务教育阶段数学课程对代数推理有所忽视的现象，《2022年版课标》初中学段“数与代数”学习领域从内容要求上明确提出了解代数推理，从技能形成上要求学生能够运用公式进行简单的计算和推理，能够通过特殊结果推断一般结论，进而能够提高数学思维的严谨性，形成归纳、类比的数学思想。例如“例66 代数推理”从形成数学思维的角度让学生在逻辑论证的过程中，逐渐形成推理意识、提升推理能力。在教学中，教师应重视算理、算法和规律的过程探究［1］28-34，培养学生有条理的思维习惯，进一步形成推理能力及实事求是的科学态度与理性精神，养成重论据、合乎逻辑的思维习惯，学会用数学的思维思考现实世界。

（三）在方程函数的理解掌握中形成模型观念

在方程的教学中，从内容上要求学生能够正确理解方程的概念，突出建立模型、求解模型的过程，发展学生的模型观念；解方程（组）有明确的方法步骤，有很强的操作性，因此这也是技能形成的主要组成部分，充分体现了转化与化归的数学思想。在“数与代数”函数主题中，要在现实问题中抽象出变量，通过对变量的分析建立两者之间变化的依赖关系和变化规律，感悟函数的思想，即用动态、联系的观点看问题的数学思想，并能用函数表达现实事物的简单规律，建立函数模型，例如新增案例71，在技能上要求学生能从实际问题中建立函数模型，最终能够通过二次函数最大值的求法解决实际问题，会用数学的语言表达现实世界。

（四）由学业质量标准评价学生素养发展水平

通过设定学业质量标准，即学生应当达到的学业成就水平，来评价学生在完成某一阶段数学课程学习后数学核心素养实际达到的水平，反映学生实际的学习效果，即学业质量［3］。素养本位的学业质量阐明了在每一部分学习中核心素养应当达到的水平、表现特征，以及基础知识、基本技能、基本思想等。对应核心素养的表现要求从小学阶段的意识上升到初中阶段的观念，学业质量标准在初中学段具体描述为“能从生活情境、数学情境中抽象概括出数与式、方程与不等式、函数的概念和规则，掌握相关的运算求解方法，合理解释运算结果，形成一定的运算能力、推理能力和抽象能力”等内容［4］82，体现出学业质量标准也具有相应的进阶性，并以结构化的数学知识为载体最终指向解决现实问题。

三、初中学段“数与代数”领域内容结构的变化

《2022年版课标》初中学段的“数与代数”领域主题结构与《2011年版课标》一致，仍为“数与式、方程与不等式、函数”三大主题，其变化主要体现在以下几个方面：其一，纵向上强调学段关联性，对学段的划分进行了一定调整，从“学段+领域”到“领域+学段”，在内容呈现上的明显变化是在数与代数内涵一致性基础上强调进阶发展性；其二，横向上突出“教—学—评”协同发展，将课程内容分为三个方面来表达，即在内容要求的基础上增加学业要求和教学建议，使内容表达更加清晰。

（一）调整学段划分，延续“数与式”“方程与不等式”“函数”三大主题

《2011年版课标》首先将义务教育分为三个学段，在每个学段下再对不同知识领域进行介绍与阐述，即以“学段+领域”的形式呈现。而在《2022年版课标》中，首先将义务教育明确分为了小学阶段与初中阶段，进而在每一部分从四个领域呈现各学段的内容，即以“阶段+领域+学段”的形式呈现［5］41-49。“阶段+领域+学段”这种知识呈现形式的变化使学段的划分更加明确，且没有忽略各学段之间的联系，更加注重“数与代数”这一领域内知识的前后衔接，例如小学阶段只要求掌握正有理数及用字母表示关系和规律，初中阶段进一步拓展到负有理数、无理数及用字母表示代数式，逐级推进，层层深入，体现出不同学段知识的連续性和进阶性［1］28-34，这样的学段划分更符合学生的年龄特征和认知发展规律。

在初中学段“数与代数”领域，《2022年版课标》与《2011年版课标》相比，“数与式”“方程与不等式”“函数”三大主题没有改变，但将“负数”“方程”“反比例”内容从小学移到初中，由于其内容对于小学生而言学习起来较为困难，将这些内容移到初中，学生的认知水平有所提升，更符合学生的实际学习情况，也使教师的教学相对容易。初中主题与小学主题相互衔接，“数与式”是“数与运算”的延伸，“方程与不等式”“函数”主题是小学“数量关系”主题的延续和拓展［5］41-49。数量关系是数学研究的核心内容，是对现实生活中数量之间的规律和关系的表达。这样的结构变化更加符合新的学段划分以及当前学生的认知水平，使数与代数领域的内容层次更加清晰。

（二）综合阐述统领，增加“学业要求”“教学提示”

《2022年版课标》在初中阶段对“数与代数”领域的内容进行了综合阐述，即在“内容要求”前说明了三个主题内容在数学学习中所扮演的重要角色及相应的作用，以及该领域内容所要发展学生的数学学科核心素养。阐明数与代数作为数学知识体系基础之一的重要性，并进一步分析“数与代数”领域中“数与式”是代数的基本语言，“方程与不等式”揭示了数学中相等关系和不等关系两种最基本的数量关系，“函数”则主要研究变量之间的关系［4］54。此外，《2022年版课标》对课程内容的呈现形式除“内容要求”外，还增加了“学业要求”“教学提示”，不仅从“学什么”“学到什么程度”“怎样学”三个方面全面地表述课程内容，还让教师明确了“教什么”“教到什么程度”“怎样教”。这不仅体现了“教—学—评”的一致性，还增强了课程标准在教材编写、教师教育教学以及课后教学评价中的操作性与指导性［6］。“学业要求”围绕内容要求进一步明确学段结束时学习内容与相关核心素养所要达到的程度、对知识要求的呈现更加具体，与学业质量标准相对应，如围绕“知道实数由有理数和无理数组成”这一内容要求，学业要求中更加明确要求学生要“感悟数的扩充”。而“教学提示”主要针对知识内容的教学和达成相关核心素养提供了较为详细的教学建议，如在数与式的教学过程中，要求教师应把握数与式的整体性，帮助学生进一步感悟数是对数量的抽象［4］61。又如针对内容要求“通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义”，学业要求则进一步描述“会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义”，教学提示中对相关内容提出具体教学建议“要通过现实问题中变量的分析，建立两个变量之间变化的依赖关系，让学生理解用函数表达变化关系的实际意义”。这一部分的增加充分体现了课程标准是教材编写、教师教学、考试评估的依据。

四、初中学段“数与代数”领域的知识内容比较分析

《2022年版课标》对于初中学段“数与代数”领域的知识内容进行了相应的增加、删减以及知识呈现顺序上的调整。增减内容详见表1。

（一）新增知识内容，加强代数推理

《2022年版课标》在“数与代数”领域主要增加了推理要求，将其放在了重要位置；新增“了解代数推理”的知识内容，即能够用乘法公式、字母进行推理。代数推理就是从一些数学事实、概念、定理、公式、法则、性质出发，依据逻辑顺序进行定量的计算或说理，得到特定的目标结构（数值）或者说明某个结论的思维活动［7］，以及“能利用（乘法）公式进行简单的计算和推理”的增加，有意识地让学生进行推理，突出了代数推理的应用。这些内容的增加旨在强化代数推理，帮助学生体验代数运算的特性并且提升推理能力［5］41-49。此外，还增加了“负数的意义”，对应在案例中新增“例64 负数的引入”，借助历史资料说明最初负数引入的意义，体会古代数学家的贡献；“知道实数由有理数和无理数组成”，将与数轴一一对应的数系从有理数扩大到实数，感悟数系的扩充；新增“会进行简单的近似计算”，新增的“例65 简单近似计算”也正是对这一内容要求的补充；“知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系”，体现了数形结合的思想；新增“会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题”，把握二次函数最大最小值的性质，能逆向求解自变量的值，与实际情况相联系可以更好地运用情境教学。这些内容都更加明确地指向“数与代数”领域内容的学习，将知识与实际相联系，增强知识的运用能力。

（二）删减调整内容，增强其整体性

将“理解乘方的意义”单独作为一条内容要求呈现，更加清晰地体现了“乘方”这一概念的引入，并把与实数相关的知识点提前，把与平方根相关知识点错后，由浅入深，层次更加清晰；在方程与不等式主题中，由于“一元二次方程的根与系数的关系”是在高中需要使用的知识点，往往中考又不涉及相关内容，初中教师一般会忽略该知识点，使得新高一学生不知道、不会使用。因此，《2022年版课标》将“一元二次方程的根与系数的关系”作为必学内容，但仅限于了解该结论的程度。这一内容由选学变为必学，增加了不同学段之间知识的衔接以及纵向上的整体性，通过新增“例67 一元二次方程的根与系数的关系”让学生感悟符号表达对于数学发展的作用。在函数主题中，将“函数”标题改为“函数的概念”，凸显概念教学在数学中的重要性；将特殊函数的顺序由“一次函数、反比例函数、二次函数”改为“一次函数、二次函数、反比例函数”，顺序上的调整更加符合学生的认知发展规律以及数学内容的发展进阶性、知识之间的整体性。

此外，《2022年版课标》对部分知识内容进行整合，将“整式与分式”单元合并到“代数式”单元中；将“有理数的混合运算与运算律的运用”合并，混合运算与运算律的运用之间关系密切，逻辑上更加合理；新增“知道二次函数和一元二次方程之间的关系”，增加知识之间的联系。这些均充分体现出知识内容整体性的增强，在教学过程中也强调通过对内容的整体分析，帮助学生建立结构化的数学知识体系［8］。

五、教学启示

（一）在目标制订中突出核心素养

《2022年版课标》中核心素养的深入是此次课程标准修订较为重要的一部分，核心素养重组和完善了核心概念，充分体现了核心素养的一致性、进阶性与发展性，而在初中学段数与代数领域主要凸显抽象意识、代数推理以及模型观念。教师应重视学生核心素养的发展，将其渗透到平时的课堂教学中，从培养推理能力、发展素养的角度出发引导学生学習这些知识。如在数与式的教学中，通过负数、有理数和实数的认识，帮助学生感悟数是对数量的抽象，形成抽象意识；让学生能够用乘法公式、字母进行简单的计算推理，加强对代数推理的渗透，形成推理能力；在函数教学中，让学生能够体会函数图象与表达式的关系，增强几何直观，体会数形结合的思想，并能结合实际问题建立数学模型，形成模型观念。这样的课堂教学使学生的核心素养以及“四基”“四能”多维水平逐步达到学业质量标准。

（二）在内容结构化中凸显代数思想

数与代数是数学知识体系的基础，是义务教育阶段数学教学的重要内容，是学生认知数量关系，进一步探索数学规律、建立数学模型的基石。因此，在教学中，教师应凸显代数思维的统领意识，引导学生能够借助数学思维从解决一个数与代数的问题向解决一类数与代数问题的方向进阶发展。数与代数等领域的内容一直是传统数学中的核心内容，而我们当下的教学也应做出一些适当的改变来适应新的课程标准。因此，教师需要在进一步研读《2022年版课标》的基础上改进教学方式且有效提高教学质量，在讲授知识中体现代数思想。如在方程的教学上，教师要让学生感知学习方程的必要性，而不是单纯讲方程的概念。根与系数的关系调整为必学内容，要让学生知道利用一元二次方程的根与系数关系可以解决一些简单的问题。用配方法推导求根公式时，教师要把根与系数关系的来龙去脉讲清楚，而不是强调复杂的计算练习［9］。

（三）在解决实际问题中融合跨学科知识

在方程和函数的教学中，需要从实际问题出发，构建模型。如在一元二次方程的教学中，首先要从实际问题中抽象出数量关系，列出关于未知量的一元二次方程，运用一元二次方程的解法求得其解，进而解决实际问题。因此，教师可引导学生自己在真实生活中寻找实例，组织开展实践，再进一步通过数与代数的知识解决实际问题。又如在函数的教学中，教师可以通过丰富的实例来创设各种变化关系的问题情境，与综合与实践领域“体育与心率”项目式学习相结合，综合数学、体育、生物学等知识，让学生通过具体研究“运动类型、运动时间与心率的关系”体会变量之间的对应关系，建立函数模型。这样的教学过程充分体现学生在教学中的主体地位，并融合了其他学科知识，进而体现《2022年版课标》的新要求。

参考文献：

［1］吴立宝，刘颖超，郭衎. 2022年版和2011年版义务教育数学课程标准比较研究［J］.教育研究与评论，2022（5）：28-34.

［2］史宁中.《义务教育数学课程标准（2022年版）》的修订与核心素养［J］.教师教育学报，2022（3）：92-96．

［3］史宁中，曹一鸣.《义务教育数学课程标准（2022年版）》解读［M］.北京：北京师范大学版社，2022．

［4］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］．北京：北京师范大学版社，2022．

［5］吕世虎，吴文斌.《义务教育数学课程标准（2022年版）》课程内容与要求的变化研究［J］.教育研究与评论，2022（5）：41-49．

［6］颜飞，吕世虎.《义务教育数学课程标准（2022年版）》中课程内容的新变化［J］.天津师范大学学报（基础教育版），2022（4）：19-24.

［7］张跃飞.初中生代数推理能力的培养策略［J］.数学教学，2022（3）：24-27．

［8］苏明强.《义务教育数学课程标准（2022年版）》变化解读与教学启示［J］.福建教育，2022（18）：13-15．

［9］曹一鸣，廖辉辉.《义务教育数学课程标准（2022年版）》的变化及教学启示［J］.福建教育，2022（19）：21-24.

（责任编辑：陆顺演）