解三角形何去从 隐圆直观活水来

张国川 任晓红

创设问题情境方能激发学生主动参与课堂学习，才能让核心素养的培养真正落地．如何立足直观想象核心素养的落地来创设问题情境？笔者认为在课堂中采用以问题串的探索形式是不错的选择，让学生在问题的引领下，步步深入主动参与，深刻体会图形的逐步形成过程．如果教师没有创设一定的学习情境，核心素养的培养就是一句空话．直观想象的成功运用是依托图形的，所以学会构图才是王道，注重过程性教学，创设合适的学习情境是教学中提升学生数学素养的关键一环．

同样地，试题研究和学习过程本质是一致的，都是力求通过解题培育学生的数学思维．本文借助泉州市质检试题谈谈如何通过直观想象解决三角形问题，当三角形“遇上”圆，解题将变得更加精彩，让人回味无穷．

爪子型三角形的解三角形问题方法很多，通常采用“邻补角策略”“算两次策略”，依据正余弦定理列方程求解；也可以采用作高、作平行线等手段，利用初等几何知识求解；亦可借助向量工具采用基底法对向量进行分解，并将向量平方转化成模长和数量积问题求解；还可以建立坐标系采用解析法求解等等．本文借助直观想象核心素养，探讨如何“想图”——“构图”——“解图”，实现问题的有效解决．

解后反思 本题构图的灵感源自题干中的条件“AB=AD=1”，自然联想到“圆模型”，搭建起解三角形与圆中定理的联系（圆中定理包括：切线长定理、切割线定理、割线定理、相交弦定理等），三角形中的一些线段长度便能很快求出．本题要求的是等腰三角形面积，要求面积只需要求出底边的长度，利用勾股定理再求高便可解出；此处抓住圆的一个重要性质：直径所对的圆周角是直角，搭建起直角三角形面積和等腰三角形面积的数量关系，也能很快求出面积．理论上讲，利用正余弦定理解三角形本质是用代数方法解决几何问题，可以借助方程思想搭建起边角之间的等量关系，但有时二元方程对于学生来讲并不容易求解，采用平面几何知识能直观地从图形中寻找到隐藏于图形背后的关系，也符合新课标所倡导的“多思少算”的核心理念．

结束语

本题的实测数据结果反馈学生的答题情况并不理想，这是为什么？明明“截长补短法”和“等距旋转构圆法”的解题策略初中就接触过了，为何到高三有的同学还不会应用呢？一个原因是部分学生数学基础本身就较弱，还有一个很重要的原因是把几何问题过分代数化了，不论是“邻补角策略”，还是“算两次策略”，本质都是“方程思想”，将所求问题化成二元二次方程或者方程组，最终几乎都因“消元”错误而丢分．代数二次方程运算再夹杂些本身就抽象的向量分解法，或是三角恒等变换、半角公式、倍角公式，对学生来说具有很大挑战，况且二次多元方程的消元过程其实并不是那么容易．过程性教学的缺失，运算素养培养的短板是造成这种结果的最根本原因．代数和几何本身并不矛盾，但要善于取舍，要在代数运算的黑夜里寻找亮光，在几何花海中享受代数运算点缀下的精彩．

（本文系泉州市教育科学“十四五”规划（第一批）立项课题“基于直观想象核心素养下的中学数学课堂问题导向模式教学实证研究”（课题编号：QG1451-042）、福建省教育科学“十三五”规划2020年度科研课题“普通高中数学课程标准（2017版）视域下的初中函数教学研究”（课题编号：FJJKXB20-1007）、福建省“十三五”第二批中学数学学科教学带头人培养对象科研课题“高中生数学直观想象素养的培养策略研究”（课题编号：DTRSX2019017）的阶段性研究成果）