复合二次型函数零点问题解析

李 寒

(贵州省贵阳市第一中学 550081)

下面归纳解析形如y=a[f(x)]2-bf(x)+c(或a[f(x)]2-bf(x)+c=0)的复合二次型函数零点个数问题的求解策略.

1 利用因式分解求解

将f(x)视为整体变量，将问题转化为关于f(x)的二次型方程后，可通过因式分解，利f(x)图象与水平直线相交关系求解.

当1

当x>e时，f′(x)>0，

所以f(x)在(1，e]上单调递减，在(e，+∞)上单调递增.

故当x=e时，f(x)取得最小值，且最小值为f(e)=1.

当x≤1时，f(x)=x3-3x+a，

f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，

当x<-1时，f′(x)>0，

当-1

所以f(x)在(-∞，-1]上单调递增，在(-1，1]上单调递减.

故当x=-1时，f(x)有极大值，且极大值为f(-1)=2+a；当x=1时，f(1)=-2+a.

图1

由题意，知[f(x)]2-(t+2)f(x)+2t=0.

即[f(x)-2][f(x)-t]=0有7个不同的实根.

当f(x)=2有三个根时，f(x)=t有四个实根，此时2+a=2或-2+a>2，解得a=0或a>4.

当f(x)=2有四个根时，f(x)=t有三个实根，此时-2+a≤2<2+a，解得0

综上可得a≥0.

故实数a的取值范围是[0，+∞).

点评本题首先研究函数f(x)的单调性、极值等性质，作出f(x)图象，将函数零点问题转化为关于f(x)的一元二次方程，因式分解后结合图象求解.

由y′=0，解得x=e.

当x∈(0,e)时，y′>0，函数单调递增，当x∈(e,+∞)时，y′<0，函数单调递减．

方程2[f(x)]2+(1-2m)f(x)-m=0化为

[f(x)-m][2f(x)+1]=0，

图2

故选C．

2 利用根的分布

将f(x)视为整体进行换元，即令f(x)=m，由题意得到m的范围，然后将问题转化为关于f(x)=m的二次型方程根的分布解答.

解析令y=0，所以函数y=[f(x)]2-(a+2)f(x)+3恰有6个不同的零点等价于方程[f(x)]2-(a+2)f(x)+3=0恰有6个不同的实数根.

f(x)=m，则方程[f(x)]2-(a+2)f(x)+3=0转化为m2-(a+2)m+3=0.

作出函数f(x)的图象，如图3.

图3

由图3可知，要使关于x的方程[f(x)]2-(a+2)f(x)+3=0恰有6个不同的实数根，则方程m2-(a+2)m+3=0在(1，2]内有两个不同的实数根.

点评本题首先作出函数f(x)的图象，然后换元，利用图象将方程[f(x)]2-(a+2)f(x)+3=0恰有6个不同的实数根问题，转化为一元二次方程在给定区间内有两个不同解的问题，最后利用一元二次方程根的分布知识，列出关于参数a的不等式组求解.

3 利用求根公式求解

将f(x)视为整体进行换元，即令f(x)=m，将问题转化为关于f(x)=m的一元二次方程，利用求根公式表示m，最后通过分析、讨论求解.

A.3 B.1或3 C.4或6 D.3或4或6

解析由f(x)=(x2-3)ex，得

f′(x)=(x2+2x-3)ex.

令f′(x)=0，解得x=-3或x=1.

当x<-3时，f′(x)>0,

当-3

当x>1时，f′(x)>0，

所以函数f(x)在(-∞，-3]和[1，+∞)上单调递增，在(-3，1)上单调递减.

作出函数f(x)的图象，如图4.

图4

令f(x)=m，则由图4知方程f(x)=m的根的情况如下：

(4)当m<-2e时，方程没有实根.

综上，对于任意m∈R,方程均有3个实根.

故选A.

点评本题首先分析函数单调性、极值等性质，作出函数图象，换元后利用一元二次方程两根之间的关系，结合函数图象，在讨论的基础上确定方程的根的个数，从而得解.

4 综合利用函数性质

对于具有抽象函数背景的复合二次型函数零点问题，需综合运用函数的对称性、周期性等性质，求出函数解析式或研究图象特征求解.

例5已知偶函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x)，且当x∈[0，3]时，f(x)=-x2+2x+1，若函数y=[f(x)]2-tf(x)-3在[-150，150]上有300个零点，则实数t的取值范围是( ).

解析因为偶函数f(x)满足

f(3+x)=f(3-x)，

所以f(3+x)=f[-(x-3)]=f(x-3).

所以f(x+6)=f[(x+3)+3]=f[(x+3)-3]=f(x).

所以函数f(x)是最小正周期为6的周期函数.

因为当x∈[0，3]时，f(x)=-x2+2x+1，

所以当x∈[-3，0]时，-x∈[0，3]，f(x)=f(-x)=-x2-2x+1.

作出函数f(x)在一个周期[-3，3]内的图象，如图5.

图5

因为函数y=[f(x)]2-tf(x)-3在[-150，150]上有300个零点，即关于x的方程[f(x)]2-tf(x)-3=0在[-150，150]上有300个解.

所以关于x的方程[f(x)]2-tf(x)-3=0在[-3，3]上有6个解.

令f(x)=m，则结合图象可知m必有两个值，一个大于1且小于2，另一个大于-2且小于1，即方程m2-tm-3=0在(-2，1)和(1，2)内各有一个实根.

令g(m)=m2-tm-3，则

故选B.

点评本题首先由题意判断函数f(x)的周期性，然后作出函数f(x)的图象，将问题转化后，换元利用一元二次方程根的分布求解，体现了函数及其性质的综合应用.