函数零点问题中参数范围的解法探究

贺凤梅

(新疆伊犁巩留县高级中学 835400)

1 问题呈现

题目(新疆维吾尔自治区2022年普通高考第二次适应性检测理科卷第10题)若函数f(x)=x3-ax2+ex-lnx有两个零点，则a的取值范围为( ).

2 总体分析

本题题设简洁，将函数、导数、零点等知识有机结合起来，多层次、多角度地考查了学生的数学思维和核心素养，同时考查了学生利用导数解决问题的能力，对逻辑推理、数学运算等提出了较高的要求.本题解法多样，可以直接利用参变分离法求解；也可以利用分离函数法解答，利用导数的几何意义，即切线的斜率求解入手，再从相切逆推至函数图象相交的情况，进而求出参数的取值范围；可以根据零点个数，分类讨论细化解题，求出a的范围；作为选择题，还可以借助题设和选项的特点，利用排除法得出正确答案.但每种方法操作均不容易，在解题过程中会碰到一些障碍.下面具体分享一下，希望能帮助学生找到解决这类问题的突破口.

3 试题解答

视角1 分离参数，构造函数.

解法1 因为x>0，所以函数f(x)=x3-ax2+ex-lnx有两个零点等价于f(x)=0有两个正根.

分离参数,得

令h(x)=x3-ex+2lnx-1，则

从而h(x)在(0,+∞)上单调递增，

①

又当x→0时，

由洛必达法则知g(x)→+∞；

②

当x→+∞时，

则g(x)→+∞.

②

故选B.

下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是( ).

(1)f(x)>0的解集是{x|0

(3)f(x)没有最小值，也没有最大值.

为了降低①的风险，我们有新的处理方式如下：

解法2 结合解法1，

下同解法1.

评注此种处理方法需要较高的观察能力和配凑思维，值得我们思考和借鉴，提高解题能力.导数中有的零点是较难处理的，需要很多代数技巧作支撑，也要充分利用零点解题，尤其是隐零点，它可以帮助我们化超越函数为基本初等函数，还可能起到降次的作用，整体代换后还可能达到消元的目的.

视角2 分裂原函数，构造新函数.

解法3 令f(x)=x3-ax2+ex-lnx=0(x>0)，

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令φ(x)=2x3-1+lnx，

所以φ(x)=2x3-1+lnx在(0,+∞)上单调递增，

当x∈(0，x0)时，g′(x)<0，

当x∈(x0，+∞)时，g′(x)>0，

所以g(x)在(x0，+∞)上单调递增.

整理,得切线斜率

整理,得t3+2lnt-et-1=0.

③

代入直线y=ax-e中，得

故选B.

解法4 由x3-ax2+ex-lnx=0(x>0),得

同理可解.

评注解法4和解法3有异曲同工之妙，本质是两个函数图象整体平移，不再赘述，感兴趣的同仁可以自行试验一下.事实上，构造函数没有特殊的要求，关键在于新函数易于研究，直观形象就好.这一点对学生来说是一个挑战，形异质同解法会带来解题创新思路，对学生的能力提升大有裨益.

当然我们也可以直接转化为函数f(x)=x3-ax2+ex-lnx的图象与x轴交点的个数，分类讨论求出参数a的范围，此法求解原则上可行，但运算量较大.讨论中要保证分类的科学性，做到既不重复，又不遗漏，是求解此问题的关键，限于篇幅，不再赘述.

视角3 特值验证，小题速解.

解法5观察选项与lnx无关，不妨设f(et)=0，则e3t-ae2t+et+1-t=0.

而a=0时，f(x)=x3+ex-lnx，

又ex>lnx，此时f(x)>0，无零点，不符合题意，排除选项D.

故选B.

评注作为选择题，为了节约考试时间，我们期待小题能小做，速战速决，所以结合题设及选项的结构特征，巧妙换元，特征值可排除错误选项，进而快速找到正确选项.这也需要学生有扎实的功底，在较短时间内发现非正确项的破绽.

4 高考链接

题1(2016年全国Ⅱ卷第21题第(1)问)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有2个零点.求a的取值范围；

题2 (2017年全国Ⅱ卷第21题第(2)问)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围.

通过对此题多种解题方法的探究和比较，能很好地提升学生分析问题和解决问题的能力，逐步培养学生的核心素养，提升学习效率，让学生所学的知识系统化.另外，分离变量、分离函数借助于数形结合是突破此类题的关键，尤其是曲线与直线相切地恰当使用.可以说，题目从知识立意、能力立意向价值引领、素养导向的转变，很好地体现了试题的甄别功能.因此，我们的教学，绝不能够仅仅停留在刷题的层面，一定要在能力和素养上下功夫.