对“一道高考圆锥曲线题中的定点问题”再探究

聊城大学数学科学学院 (252000) 徐茂林 房元霞

一、原题呈现

(1)求C的方程；

(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点.

二、文献[1]中的结论

两条直线恒过圆锥曲线上的固定点，如果这个点是圆锥曲线上任意一点，会有一般的结论吗？带着这个问题，我们先用GeoGebra软件进行了探索，归纳出一般结论后再例行证明，如下是我们探究的结论.

三、再探究

(一)椭圆的情形

综上所述，于股骨头坏死的临床诊断工作当中，积极采用磁共振技术，可显著提高患者病情确诊的几率，让患者能够及早接受对症治疗，从而有助于减少其致残的风险，提高生活质量，建议在临床上进行推广和使用。

图1

本文仅以焦点在x轴上的圆锥曲线为例进行证明，其他对称情形不再累述.

证明：由题意，直线AP、AQ的斜率都存在，且直线l不经过点A(x0，y0).

(二)双曲线与抛物线的情形

图2

图3

图4

抛物线(焦点在y轴)的这种特殊情况，因异于文章研究内容，仅予以说明，感兴趣的读者可自证.证明方法可参考定理1的证明；读者亦可用焦点在y轴上的圆锥曲线统一方程来寻求原因.

既然三种圆锥曲线中都有一般的公式，圆锥曲线有运用离心率的统一定义、方程，如果从统一的角度进一步考虑这个问题，我们坚信：应该会有统一的结论.

(三)圆锥曲线的一般情形

根据圆锥曲线的统一方程：(1-e2)x2+y2-2pe2x-p2e2=0(当01时，表示双曲线；当e=1时，表示抛物线)，我们得到一般结论：

且可以容易计算得到：