以生为本 发展能力

［摘  要］ 在高三数学复习教学中，为了帮助学生深入理解函数零点问题，体会函数图像与x轴的交点、函数的零点以及方程的根之间的内在联系. 研究者精心设计了一节关于“函数零点问题的探究”微专题活动，引导学生通过独立思考和合作探究掌握此类问题的研究方法，以此激发学生的数学学习兴趣，提升数学教学品质.

［关键词］ 函数零点；微专题；教学品质

在高三数学复习教学中发现，学生解决关于函数零点个数问题时常常漏洞百出，究其原因是学生对函数的对应关系没有理解清楚，头脑中没有形成清晰的解题思路，缺乏等价转换意识，故在解题时常会误入“歧途”. 为了帮助学生突破这一难点，教师应从教学实际出发，通过“以生为主”的教学活动的开展，有效发展学生的数学思维，提升学生解决问题的能力. 现将复习教学过程呈现给大家，供参考！

学情分析

笔者执教班学生的数学基础较好，对数学有着浓厚的学习兴趣，喜欢探索，乐于合作. 从知识储备来看，学生基本掌握了函数零点存在定理；从能力来看，学生具有一定的形象思维和抽象思维能力；从思想方法来看，学生掌握了数形结合、函数与方程、等价转换等基本思想方法.

高考分析

“函数与方程”是高考重要的考点，探究函数图像与x轴的交点、函数的零点以及方程的根等相关问题自然也就成了高考重点考查内容. 不过对于三者间的互换，部分学生还有一些欠缺，故笔者在本节课教学中重点研究三者间的互换，以此提升学生的等价转化意识，提高学生的综合应用能力.

过程实录

1. 经历过程，发展能力

师：对于课堂预习中的第1题，你是如何求解的呢？（教师用PPT给出题1）

题1：函数f（x）=sinx-logx的零点个数为________.

生1：转化为求y=sinx与y=logx的交点个数.

师：对于正弦函数y=sinx，其最重要的性质是什么？

生齐声答：周期.

师：很好，你们求得y=sinx的周期是什么？

生齐声答：周期为4.

师：对于函数y=logx的图像，它有什么特点呢？

生2：单调递增且过定点（1，0）.

师：很好，两图像会有几个交点呢？（教师通过投影展示学生画出的图像）

师：如果想精准地画出图像，我们需要怎么做？

生3：令x=5，则有sin

×5

==log24>log25，于是画出图1，两图像有3个交点.

师：回顾题1的求解过程，你有哪些收获？

设计意图：通过以上练习，将函数零点与函数图像建立联系，渗透等价转换和数形结合等思想方法.

师：接下来我们看一下题2. （教师继续用PPT给出题目）

题2：函数f（x）=-m有零点的充要条件是什么？

生4：同样可以转化为函数y=m与y=有交点的问题，这样只要研究y=的值域即可.

师：如何求y=的值域呢？

生4：可以利用换元法求解. 令t=x+3，因为定义域为［-1，1］，所以t∈［2，4］，g（t）=. 再次换元，令n=，n∈

，，所以m=g（n）=∈0

师：很好，生4通过两次换元求得取值范围，方法不错，还有没有其他方法呢？

生5：还可以转化为求方程m（x+3）=的根的问题，即直线y=m（x+3）与半圆y=有交点. 直线y=m（x+3）过定点（-3，0），m为其斜率. 当直线y=m（x+3）与半圆y=相切时，m=，结合图像可知（见图2），m∈0

师：非常好，对比以上两种解法，你认为哪种方法操作更简单呢？

生齐声答：生5的方法.

師：确实，该方法的计算量较小，“以形助数”优化了解题过程，充分体现了数形结合思想的应用价值.

师：我们再看下一个问题. （教师用PPT给出题3）

题3：讨论方程x-alnx=0的根的个数.

本题求解时，教师鼓励学生应用不同的方法求解. 经历独立思考和合作探究等活动后，教师预留充足的时间展示学生的思维过程.

生6：采用参变分离的，当x=1时，lnx=0，所以方程无解；当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，方程变形为a=，于是原题转化为求y=a与y=的交点个数.

师：如何画y=的图像呢？

生6：利用导函数求其单调性、极值点. 不过在这里要注意的是当x=1时函数值是取不到的.

师：那么对于x<1时的图像该如何画呢？

生6：取特殊值来画，如取x=e-0.01，y=<0，再取x=e-0.001，y=<0，由此可以看出，在x<1且无限趋近于1时，y<0.

师：当x>1时呢？

生6：与前面的方法相同，通过取特殊值知道此时y>0，所以x=1是渐近线. 结合图3可以看出，当a∈｛e｝∪（-∞，0）时，有一个交点，方程有一个根；当a∈（0，e）时，无交点，方程无解；当a∈（e，+∞）时，有两个交点，方程有两个根.

师：非常好，基本功扎实. 对于题3，是否还有其他解法呢？

生7：可以转化为探究y=与y=的交点.

师：与生6的解法有什么不同吗？

生7：我认为这样转化后，画图会更加轻松. 求导后可知y=在（0，e）上单调递增，（e，+∞）上单调递减. 值得注意的是，当x无限趋近于0时，y<0. 当x无限趋近于+∞时，取特殊值，如x=e1000时，y=>0. 结合图4可以看出，当a∈｛e｝∪（-∞，0）时，有一个交点，方程有一个根；当a∈（0，e）时，无交点，方程无解；当a∈（e，+∞）时，有两个交点，方程有两个根.

师：很好，思路相同，但因为不同的转化而得到了不同的图像. 以上两种方法中，在作图时都要注意渐近线. 还有其他解法吗？

生8：是否可以转化为求y=alnx与y=x的交点个数呢？

生9：我也这样想过，当a<0时，有一个交点，a>0时不确定，而且y=alnx的图像很难画出来.

师：分析得很有道理，那么是否可以将其转化为易于画出图像的函数呢？

生10：可以转化为y=与y=lnx（a≠0）的图像交点问题. 设切点为（x，lnx），则切线斜率k==，则lnx=1，x=e，k=. 结合图5可知，当a∈｛e｝∪（-∞，0）时，有一个交点，方程有一个根；当a∈（0，e）时，无交点，方程无解；当a∈（e，+∞）时，有两个交点，方程有两个根.

师：非常好. 分析以上解题过程不难发现，大家解题时都是从函数的“形”出发的，借助对数的精准把握解决了问题.

2. 课堂小结

师：经历以上过程，谈谈你有哪些收获.

生11：函数图像与x轴的交点、函数的零点以及方程的根紧密相连，在解决此类问题时应重视三者的互换.

生12：借助形的直观可以给我们智慧的启迪.

……

在此環节中，教师引导学生进行回顾、反思，感悟数学知识的关联性，体验数学思想方法重要的应用价值.

教学思考

因受学习能力、思维方式等因素的影响，学生的思考习惯和解题习惯也会有所差异，在教学中，教师要为学生提供一定的时间和空间来呈现这种差异，以此通过有效的互动交流，发散学生的思维，提高学生的解题能力. 对于函数的零点这一重要考点，在前面的教学重点中讲解过，但因为缺乏对函数的零点、函数图像与x轴的交点以及方程的根之间的互换，影响了解题效果. 在本节课教学中，笔者精心挑选问题，引导学生通过自主探究和合作交流，体验等价转换、数形结合等思想方法的重要应用，提高了学生的解题能力. 结合以上教学实践，笔者谈几点教学感悟：

1. 以生为本，完善认知

课堂的主体是学生，要提高教学有效性，必须充分调动学生参与的积极性. 为了让学生能够积极主动地参与课堂教学，教师设计教学方案、组织教学活动时，应从学生出发，遵循教学实际. 在教学中，教师要充分理解学生、理解教材，找到学生的认知漏缺，发现学生学习的难点，找到学生出错的主要原因，以此通过有针对性的引导和启发来完善学生认知，发展学生的学习能力. 例如在本节课教学中，笔者发现学生求解关于函数的零点个数问题时，常常漏洞百出，因此精心设计了此次微专题活动，引导学生通过独立思考、合作交流发现问题的本质，找到解决问题的方法，以此提高解题技能. 整个教学中，教师“以生为本”，鼓励学生从不同角度寻找解决问题的方法，可以发散学生的思维，提高学生数学综合应用能力.

2. 突出热点，避免盲点

考试虽然不是最终目的，却是检查学生学习效果的重要手段. 在高三复习教学中，教师应重点分析高考的热门考点，以此通过有针对性的教学提高学生的应试能力. 如函数的零点问题就是一个热门考点，其重点考查的是学生在处理这些问题时应用的数学方法. 虽然新课标对函数概念教学并没有太高的要求，但若在教学中也仅仅是就概念讲概念，不关注概念的本质及与其他知识间的联系，这样势必会形成一个教学盲点，学生也很难通过等价转换灵活解决此类问题. 因此，在高三复习教学中，教师要认真研究高考，把握高考的命题方向，消除教学盲点，提高学生解决实际问题的能力.

3. 渗透方法，发展能力

在数学教学中，教师要为学生创设一个广阔的学习空间，引导学生去发现、去探索、去交流，以此培养学生的学习能力，提高学生的创造潜能. 在本节课教学中，笔者以学生自主探究为主线，鼓励学生合作交流，以此让学生更好地了解知识背景，体会转化思想对数学学习和解决数学问题的重要意义. 同时，在本节课教学中，笔者鼓励学生多角度思考问题，寻找不同的解决问题的方法，体会数形结合、从特殊到一般等思想方法的价值，借助不同数学语言的相互转化，提升学生的数学素养.

总之，在高三复习教学中，教师应从教学实际出发，了解学生之所想，之所悟，通过有效的引导和启发来激发学生的潜能，让学生理解和掌握数学的研究方法，以此提高学习能力，提升数学素养.

作者简介：骆银海（1979—），本科学历，中学高级教师，从事高中数学教学与研究工作，曾获诸暨市高中数学教学一等奖，诸暨市学科带头人.