合理整合 凸显本质

［摘  要］ 作业除了巩固知识与技能外，其在发展学生思维能力、提高解决问题能力等方面也发挥着不可估量的作用. 要发挥作业的价值，教师在作业讲评时就要改变传统的“就题论题”，善于挖掘题目背后的本质，让学生更好地理解数学、掌握数学. 对于作业讲评，文章把作业中的错题设计成了微专题，以此提高作业讲评效率，提高作业讲评质量，提升学生的数学学习能力.

［关键词］ 作业讲评；微专题；讲评效率

数学作业是数学教学的重要组成部分，它可以让教师更好地了解教学，让学生更好地了解自己. 那么谈及数学作业就必须要谈作业讲评，它在数学教学中是不可或缺的一部分，有效的讲评可以帮助学生理清问题的来龙去脉，让学生真正地理解数学、掌握数学. 在传统教学中，大多数教师习惯就题评讲，将已有经验通过讲授的方式传给学生，学生根据教师给出的答案对照订正，这样虽然能够让学生改正错误，让学生积累一些经验和方法，但是并没有从根本上解决问题，没有帮助学生找到真正的错因，也没有形成解题策略，学生解题时依然会“一错再错”. 为了改变这一现象，笔者在教学中做了许多尝试，发现若将问题归类，以基本方法为主线，以微专题的形式进行作业讲评，不仅可以帮助学生积累丰富的解题经验，而且可以让学生掌握基本的数学方法，有助于提高作业讲评效率. 本文以“构造原函数”的作业讲评为例，谈几点作业讲评实践与思考.

作业整理

构造原函数在解题中，如在解决函数、不等式、数列等问题中有着重要的应用. 在实际教学中，教师可将分散于各章节中的作业进行整理，为微专题的作业讲评提供素材. 以微专题的方式呈现作业讲评，既有利于学生对构造原函数这一数学方法的理解，又有利于学生个体认知体系的建构和完善.

例1 已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=2，f′（x）<1，则不等式f（x2）

例2 已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），当x∈（-∞，0］时，恒有xf′（x）

的实数x的取值范围是________.

例3 已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且=ax（a>0且a≠1），f′（x）g（x）

例4 定义在0，上的函数f（x），其导函数为f′（x），且恒有f（x）

与f的大小.

例5 设定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足0

以上问题属于同一类型，解题时都需要根据导函数构造原函数. 对于如何构造原函數一直是教学的重难点，教学中对于此类问题教师重点讲解过，但学生每次作业时还是会出现这样或那样的错误，可见学习中存在“会而不懂”的情况. 基于此，教学中应着眼于整体，整合相似或相关的问题，以微专题的方式进行系统讲解，达到“会一题通一类”的效果，切实提高学生解决问题的能力.

微专题讲评

若作业讲评停留于简单订正或直接抄写答案的阶段，学生不可能在讲评中得到更多收获. 在讲评前，教师应该对解题过程中存在的问题进行详细分析，与学生一起找到错因，从而通过有针对性的指导让学生“学懂学会”. 根据学生的作业反馈，学生解决此类问题时主要存在以下几个问题：①审题不清；②目标不明；③构造无形；④求解错误. 针对以上问题，笔者没有“就题论题”进行讲解，而是以微专题的方式进行如下讲评.

1. 执果索因，学会审题

师：此类题目条件千变万化，乍看上去条件和结论似乎毫无关联，因此要从问题出发，认真观察，仔细分析，一定能够找到解决问题的突破口. 结合以上问题大家思考一下，此类题目最终要解决的都是什么问题呢？（生深思）

生1：大多是解不等式或比较大小等问题.

师：很好，那么我们大多依赖函数的什么性质来解决以上问题呢？

生齐声答：函数的单调性.

师：从已知出发，你能直接判断函数的单调性吗？

生齐声答：不能.

师：那么我们该如何判断呢？

生2：根据函数的导数来判断.

师：非常好，观察题目不难发现，它们都含有导函数，如f′（x）<1，xf′（x）

2. 合理转化，确定目标

师：找到核心条件后，如何利用它们来判断函数的单调性呢？（生不语）

师：如何判断函数f（x）的单调性呢？

生3：令f′（x）>0（f′（x）<0），求得的区间即函数f（x）的单调递增（递减）区间.

师：说得很好，根据导函数的正负判断原函数的单调性. 判断导函数的正负时与何值作比较呢？

生齐声答：0.

师：那么想使不等式的右边为0，我们应该如何操作呢？

生齐声答：移项.

师：很好，对于如上条件，我们移项后可得f′（x）-1<0，xf′（x）-f（-x）<0，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）<0，等等. 在解题中，当目标不明确时，要根据已知条件进行适当转化.

3. 追踪溯源，构造模型

师：移项后，左边我们可以看作什么？

生4：可以看作某一个函数的导数.

师：接下来我们要做什么呢？

生5：将这个导函数还原，得到它的原函数.

师：非常好，这个还原的过程就是解题的重点，也是解题的难点. 之前我们利用导函数判断函数单调性时，都是由原函数求导函数，而此类题目却恰恰相反，要根据导函数构造原函数，有一定难度. 结合以上题目，该如何构造原函数呢？

此环节笔者引导学生归纳如下常见的函数模型：

（1）构造“+（-）”型函数

f′（x）±g′（x）>0，构造F（x）=f（x）±g（x）. 如f′（x）-1>0，构造F（x）=f（x）-x；如f′（x）+x>0，构造F（x）=f（x）+x2.

（2）构造“×”型函数

f′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0，构造F（x）=f（x）g（x）. 如xf′（x）+f（x）>0，构造F（x）=xf（x）；如cosx·f（x）+sinx·f′（x）>0，构造F（x）=sinx·f（x）；如cosx·f′（x）-sinx·f（x）>0，构造F（x）=cosx·f（x）.

（3）构造“÷”型函数

>0，构造F（x）=. 如xf′（x）-f（x）>0，构造F（x）=；如f′（x）-f（x）>0，构造F（x）=；如f（x）>f′（x）tanx（切化弦：cosxf（x）-sinxf′（x）>0），构造F（x）=（注意x的范围）.

（4）构造“+-×÷”混合型函数

如f′（x）+f（x）>1，即exf（x）+f′（x）ex-ex>0，构造F（x）=exf（x）-ex.

（5）构造复合型函数

如f′（x）<2f（x），构造F（x）=；f′（x）

解题时，大多数学生习惯从已知出发，根据已知探索结论，然此类题目的解答思路正好相反，有一定难度. 为帮助学生突破这一难关，在讲评环节中，教师应引导学生根据题目特点和已有经验总结归纳常见的函数模型，培养学生的模型意识. 以上题目的条件虽然千变万化，但是解题思路却如出一辙. 讲评时，教师不要急于讲解，应引导学生观察式子的结构特征，联想导函数的原函数由哪些基本函数构造而成，以此通过等价转化、类比联想等基本思想方法构造出原函数，顺利求解问题.

4. 抓住本质，正确求解

经历以上过程，学生发现了解决此类问题的通法，即解不等式或比较代数式大小时，先是对结论进行变形，然后根据导函数模型构造原函数，利用原函数的单调性来解不等式或比较代数式大小. 不过在构造原函数时，由于函数定义域等方面会发生变化，所以在具体操作时可能会出现这样或那样的问题，需要师生注意. 在以上练习中，教师要带领学生逐一分析，寻找错误产生的根源，抓住数学本质，丰富学生的解题经验，正确求解.

教学思考

作业讲评时，教师切勿“就题论题”，那样不易于学生理解數学、掌握数学. 如在此类题目的评讲中，若教师“就题论题”，则很难让学生领悟其中蕴含的规律，也无法找到解题通法，而且“一题一法”式的教学会增加学生的心理负担，容易让学生产生畏难情绪. 而以微专题的方式进行作业讲评，让学生系统地掌握解决此类问题的方法，能够提升学生的解题信心，克服学生的畏难情绪. 另外，通过有效总结和归纳，学生对构造原函数有了更加深入的了解，通过合理构造原函数快速解决问题.

在传统教学中，大多数教师仅将作业看作巩固知识和技能的武器，忽视了其发展学生思维能力、培养学生学习习惯的价值. 数学作业在数学教学中是不可或缺的，只有当教师对作业形成了正确的认识，才能充分发挥其价值，促进学生分析和解决问题能力的提升. 教师设计作业时应该精挑细选，除了遵循适度适量的原则外，还应关注作业的层次性、探究性，以此激活学生的思维，提高学生的数学学习兴趣. 另外，教师批改作业时要避免简单的“勾差”，应对作业情况进行分析和汇总，既要关注作业中存在的问题，又要整合优质的解题方法，充分挖掘题目的本质，以此优化学生认知，提高学生的数学素养.

在教学中，汇总作业中的错误，以微专题的方式进行讲评，不仅可以帮助学生改正错误，而且有助于知识系统化建构和完善，让学生获得一般的数学学习和研究的方法，提升教学品质.

总之，作业讲评不是简单的纠错，教师要重视对作业价值的挖掘，通过有效引导和启发让学生掌握数学学习和研究的方法，提高学生自主学习能力.

作者简介：贾志锦（1984—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学与研究工作.