基于实例提升高中数学教师本原思维素养的实践研究

［摘  要］ 教师的思维方式决定了教学方式，而教学方式又决定了学生的发展. 文章从本原思维的理论基础出发，结合“五位一体”模型对“指数函数”进行教学设计. 具体从“应然标准，思维起点”“分析差距，确定问题”“横纵分析，剖析原因”“应然考虑，拟定方案”“实然考虑，最终定案”五方面揭示教师教学设计的思维历程.

［关键词］ 本原思维；指数函数；教学设计

《中学教师专业标准》对教师的思维能力提出了两点要求：①主动搜集并分析信息，在反思中改进教育教学方式；②针对教育教学工作的实际需要与存在的问题，实施必要的探索研究. 从本质上来看，学校教育需要的是“反思型教师”. 确实，会研究、善思考、能探索的教师是充满智慧与能量的教师，是适应时代发展需求的教师.

在教言教. 数学教学中，该如何基于实例提升教师本原思维素养呢？这是一个亟须研究的现实问题.

本原思维的理论基础

本原思维属于一种思维的范式. 一般情况下，具有一定的先后顺序，即达成前一个步骤，才能进入下一个思维环节，这个中间无法跨越，亦不可随意调换顺序［1］. 当然，特殊情况另当别论，有时根据实际需要可暂时简化或省略一些步骤. 如图1所示，本原思维分为五个环节，简称“五位一体”模型.

提升本原思维素养的措施

1. 应然标准，思维起点

教学设计时，先要确定一个应然标准. 所谓的应然，是指应该有的样子，实则是指实际情况，这里所说的应然标准实则为教学目标. 确定应然标准是实施教学设计的前提，必须具备以下三个特征：①正确性. 正确的标准具有正确的导向性，可让学生对知识本质获得正确的认识. ②高且适度. 高标准是实现高成效的基础，但过高的标准又令人望尘莫及，因此又要讲究一个“度”，高且适度则恰如其分，否则过犹不及. ③清晰性. 目标明确，才能清晰教学思路.

本节课的教学目标，笔者结合学生的原有认知结构和最近发展区，以及指数函数的特点，经过慎重考虑而制定，主要为：带领学生研究指数函数图像，将获得的指数函数性质类比欧拉著作中的结论，让学生经历类比猜想、归纳总结的过程，提炼出相应的数学思想方法，从本质上掌握并理解指数函数的概念、图像与性质，并能利用所学内容解决简单问题.

教学重点：指数函数的概念与性质.

教学难点：指数函数的概念、性质的建构与研究过程.

本节课的教学目标是围绕问题的发现、提出与解决规律制定的，包括培养学生对知识的实际应用能力与数学思想方法的提炼等. 目标是思维的起点，一旦明确了教学目标，接下来的教学工作就有了明确的方向，任何教学活动的开展，都基于教学目标而实施. 不论课堂中发生怎样的“意外”，最终都会朝着目标前进.

2. 分析差距，确定问题

根据本原思维发展的规律，标准一旦确定，接下来就到了“分析差距，确定问题”的阶段，差距的本质就是目标与现状的距离. 想要发现差距，就要对学生现有的认知水平有一个准确、客观的了解. 若找不出实然状态与应然状态的差距，教学则无法进行. 若差距过大，则需要回归到上一个环节，反思所制定的教学目标（应然标准）是否适度. 必要时还要对问题主次进行分析，只有找出根源，才能解决问题.

问题1：指数运算法则中的指数取值，是否可以从有理数推广到实数的范围？

设计意图：学生在本节课之前已经接触axay=ax+y，（ax）y=axy，（ab）x=axbx（x，y∈Q）这部分内容. 此问的目的在于勾起学生回忆，以便教师及时、准确地观察到学生现有的实际认知水平.

从学生对此问的反馈情况来看，整体形势不容乐观. 虽然学生对这部分知识有一定的认知基础，但要说清楚这个问题却存在较大的障碍. 由此，笔者确定此问即当前学生需要解决的问题之一.

3. 横纵分析，剖析原因

一般情况下，教师遇到教学障碍时会先思考如何解决这个问题，而非查找问题的根本原因. 这是一种本末倒置的处理方式. 想要从真正意义上解决问题，先要追根溯源，只有对问题进行全面、深入地分析，才能获得解决问题的对策［2］. 从问题的纵横两个方面，双管齐下地进行分析，或借助一些工具探寻问题的本原都是行之有效的方法.

那么，学生实际认知水平与当前教学目标之间究竟存在多大的距离呢？该如何不着痕迹地处理好中间的差距呢？

学生探索问题1时，呈现出了如下思维历程：

已知指数幂ax中的a是常数，x是变量，那么指数x就可以是任何确定的数.

第一步，令指数x的取值为正整数，如1，2，3，…，则有a1，a2，a3，a4，a5，a6，…；如果x=0，那么a0=1.

第二步，令指数x的取值为负整数，如-1，-2，-3，…，可得，，，，…. 此时a≠0.

第三步，令指数x的取值为分数，如，，，，，…，則有a，a，a，a，a，…. 此时a>0.

若指数x是无理数，虽然思考方法与以上类似，但学生理解起来确实存在较大的障碍，如a的值位于a2与a3之间.

结合学生的思维历程，笔者认为学生虽然对于axay=ax+y，（ax）y=axy，（ab）x=axbx（x，y∈Q）有所了解，但那还是初中阶段所学内容，奈何时间久远，出现遗忘现象纯属正常. 同时，从学生的心理来看，他们对指数函数内容有一种畏惧感，觉得这部分内容过于抽象，在思考问题时出现了畏惧现象.

4. 应然考虑，拟定方案

只要知道问题的根源，则可“对症下药”. 想要从根本上解决以上问题，就要找出“一针见血”的化解方法. 在方法的选择上，应立足以下两个原则：①明确应然标准，清晰解决问题的目标是什么；②立足学生的认知水平，基于学生的最近发展区组织教学.

结合应然标准与学生的最近发展区，笔者经过慎重思考，认为可在本节课利用“HMN（数学史与数学关系）思想”拉近学生与知识的距离，即将欧拉关于指数幂的研究内容渗透在此处，能起到降低思维起点、铺设台阶、激发兴趣、启发思维等作用.

设计意图：数学史的引入首先激发了学生的探究欲，让学生体验到了知识的发展历程，同时还为学生的思维铺设了台阶，让学生对问题1有了进一步的认识. “HMN思想”的应用，不论是在学生知识层面还是在心理层面都有了新的进展，因此这是一个成功的应用.

5. 实然考虑，最终定案

应然方案一般是教师经过深思熟虑而制定的解决问题的理想方案，践行应然方案之前，需要考虑：①能否顺利解决问题，达成应然标准，完成教学目标？②若没有顺利解决问题，衍生出了新的问题该怎么办？此时需要回归到图1中的②③步骤——反思问题、确定问题，横纵分析问题形成的原因；若经过分析，此处确实没有问题，则需要回归到图1中的④步骤——反思拟定的教学方案是否存在不合理的地方，并及时调整.

（1）指数函数教学

①某种细胞分裂，由一个细胞会分裂成2个细胞，2个细胞又分裂成4个，以此类推，此类细胞分裂x次后，细胞个数y和分裂次数x的函数关系式是什么？

②古人云“一尺之椎，日取之半，万世不竭”，取x次后，椎的剩余量y和x的函数关系式是什么？

学生经独立思考与合作交流，获得结论：①y=2x（x∈N）；②y=

x（x∈N）. 若将其定义域更换为R，可得函数分别为：①y=2x（x∈R）；②y=

（x∈R）.

问题2：这两个函数属于幂函数吗？若不是，它们与幂函数存在什么区别？

问题3：若用a替代以上两个函数的底数，可得y=ax（x∈R），若此为一个函数，那么底数a能取所有实数吗？（要求学生合作交流，探讨这个问题）

设计意图：古今结合的情境导入，有效驱动了学生的研究热情. 两个情境的共同点为：底数均为常数，指数为变量x. 问题2，将指数函数类比幂函数，强化学生对知识的认识；问题3，对底数a的规定是教学难点，采取合作交流的方式，能促进学生深度思考：当定义域为R，a的取值范围是什么？若a为0或负数时会出现什么情况？随着问题的解决，可得a∈（0，+∞）.

值得注意的是，问题3的讨论，并没有排除a=1的情况，这为引出指数函数的定义奠定了基础.

问题4：结合幂函数的研究过程，想一想研究一个新的函数可以应用哪些数学思想方法.（数形结合、特殊到一般等）

问题5：请用描点法作出y=ax中，a的值分别为1，2，3时的图像.

问题6：思考函数y=f（x），y=f（-x）的图像之间存在什么联系.

问题7：思考函数y=2x，y=

的图像之间存在什么联系；函数y=3x，y=

x的图像之间又存在哪些联系.

设计意图：这几个问题意在引导学生感知数形结合与特殊到一般的数学思想方法在研究函数图像时的应用. 问题7，由于在指数函数教学前，学生已经接触过“函数图像的变换”等内容，因此函数y=

x，y=

x的图像，在不描点的情况下也是可以获得的，这里涉及对称变换的内容.

（2）知识建构

带领学生观察在同一坐标系中，以下几类函数图像的形状：①y=2x；②y=3x；③y=

x；④y=

x；⑤y=1x.

显而易见，y=1x的图像与众不同，只有这一函数图像为一条直线，其余几个函数图像均是曲线. 根据这个特征以及以上问题的解决，轻松获得指数函数的概念——函数y=ax（a>0且a≠1）称为指数函数，x为自变量，R为定义域.

问题8：类比幂函数的研究过程，现在可以从什么角度来探索指数函数？（奇偶性、单调性、定义域、值域、定点等）

设计意图：在获得指数函数定义的基础上，类比幂函数的研究方法，明确后续待研究的主题. 类比过程，既是研究方法的回顾，又是新知建构的基础，同时还明晰了后续研究的方向.

接下来，师生共同将本节课的教学内容与欧拉在《无穷分析引论》中所记载的指数函数进行类比分析：

分析函数y=2x，y=3x的图像特征，不难获得指数函数y=ax（a>1）的性质；分析函数y=

x，y=

x的图像特征，可以获得指数函数y=ax（0

欧拉在《无穷分析引论》中记有：

ax的取值依赖常数a的取值. ①若a=1，不论x的取值如何，均能获得ax=1；②若a>1，ax的取值则会随着x取值的变大而变大，若x无穷大，趋向于+∞时，则ax也趋向无穷大；若x=0，则ax=1；若x<0，则01，如果记=b，那么ax=b-x，因此01的情形推导而来.

继续观察欧拉的研究，发现如下内容：

令y=ax（a>0且a≠1），若a>1，在x>0时，则y>1；在x=0时，则y=1；在x<0时，则00时，则01.

从欧拉的研究分析来看，不难获得指数函数的性质（见表1）.

设计意图：教学的最高层次就是知识的重构. 教师在此带领学生一起追溯指数函数的历史起源，不仅通过欧拉研究激發了学生的学习动机，还基于学生的认知基础重构了知识的发生和发展过程，让学生从根源上理解并掌握了指数函数的本质.

纵观本节课的教学设计，不论是教学目标的制定，还是“问题串”的设置，抑或“HMN思想”的应用，无不体现出教师超高的本原思维素养. 借鉴幂函数的研究方法，借助欧拉研究指数函数的过程，不仅凸显了教师的智慧，还让学生在寓教于乐中感受数学文化的博大精深，强化学生的数学学习兴趣.

参考文献：

［1］  约翰·杜威. 我们怎样思维·经验与教育［M］. 姜文闵，译. 北京：人民教育出版社，2005.

［2］  朱智贤，林崇德. 思维发展心理学［M］. 北京：北京师范大学出版社，2002.

基金项目：南通市教育科学“十三五”规划专项课题“基于实例提升高中数学教师本原思维素养的实践研究”（FZ2020012），主持人为成倩文.

作者简介：成倩文（1989—），本科学历，中学二级教师，从事高中数学教学工作.