“三定法”精准提取公因式

⦿白银市第十中学 高丽娟

1 引言

提取公因式法是因式分解中非常基础的一种方法，难度较小且比较实用，可以帮助学生解决许多因式分解问题，是各地历年中考的命题热点[1].然而，看似非常简单的内容，学生却容易被如何正确找准公因式并有效提取所困扰.笔者结合日常教学中学生出现的这一问题，凭借自身近二十年的教学经验提出了“三定法”，希望与其他教师形成有效交流，更希望对学生的学习产生有效帮助.

2 提取公因式的几种错误

从实际教学来看，学生寻找和提取公因式极易出现错误，通常有以下4种表现.

2.1 系数找错

例1把8m2n+2mn分解因式.

错解：原式=8mn(m+2).

分析：从该种错误解法不难看出，学生没有找准公因式的系数，错误地将8作为了公因式的系数.要知道，公因式的系数不是两项系数的倍数，而是两项系数的最大公约数.在此，教师有必要复习最大公约数这个内容，指导学生如何寻找最大公约数.

2.2 字母找错

例2将a2x2yz-axy2分解因式.

错解：原式=axyz(ax-y).

分析：本题的公因式错误，提取“公因式”后的结果也错误.公因式中的字母一定是每一项中都出现的，z只出现在了a2x2yz中，而-axy2中并未出现z.所谓“公”就是几项中都含有的数字、字母或整式，既然z并未在每一项中出现，那么z就不是公因式中的一部分.

2.3 指数找错

例3将4m2n3-2mn2分解因式.

错解：原式=2mn(2mn2-n).

分析：本题公因式中的系数是正确的，字母也找对了，但是公因式中字母的指数错误，因为公因式中字母的指数往往是最小的.很明显，n的最小指数不是1，而是2.

2.4 负号处理不当

例4把-2x2-12xy2+8xy3分解因式.

错解：原式=-2x(x-6y2+4y3).

分析：本题虽然找对了系数，也注意到了需将首项中的负号提取至前，公因式也正确，但提取公因式之后，括号中后两项的符号并不正确.这种错误源于没有处理好负号的提取.因为根据-a-b=-(a+b)，将负号提至小括号之前后，原来的每一项符号都需要改变，并且把它们写在小括号中，即原来的-a变成a，-b变成b.

3 “三定法”说明及用法展示

“三定法”就是分三步确定公因式的各个部分.从以上错解可以看出，要想找准公因式，只需找准公因式的系数、字母和字母的指数.因此，“三定法”中的“三定”即定系数、定字母、定指数[2].下面，对这三步及需注意的地方加以进一步说明.

首先，定系数.公因式的系数即为多项式各项系数的最大公约数.如4和12的最大公约数为4；6和15的最大公约数为3.

其次，定字母.公因式的字母是多项式各项中都出现了的字母，如果某个字母没有在各项中出现，则不能将之作为公因式的一部分，这一点学生极易出错.当然，放在小括号中的某个多项式如果在每项中同时出现，那么这个多项式可作为一个整体充当公因式的一部分.

最后，定指数.定好系数和字母之后，字母的指数需要选最小，而非最大，这一点学生也极易出错[3].

接下来，通过四个例题展示“三定法”的具体用法.

例5因式分解：8a3b2-12ab3c+ab.

分析：根据“三定法”，首先，定系数.各项系数为8，-12，1，它们的最大公约数是1.其次，定字母.各项中均有a，b出现，但c只在中间一项出现，所以c不能作为公因式的字母.最后，定指数.观察多项式中的三项，a的最小指数为1，b的最小指数也为1.综上所述，它们的公因式是ab.

解：8a3b2-12ab3c+ab

=ab·(8a2b)-ab·(12b2c)+ab·1

=ab(8a2b-12b2c+1).

例6因式分解：-24x3y2+12x2y-28x2y3.

分析：本题有两种解法.一种根据“三定法”，首先定系数.各项系数为-24，12，-28，它们的最大公约数是4.其次，定字母.各项中均有x，y出现，所以公因式中的字母为x，y.最后，定指数.观察多项式中的三项，x的最小指数为2，y的最小指数也为1.综上所述，它们的公因式是4x2y.另一种是先将负号提出，再对小括号中的多项式因式分解.

解法1：-24x3y2+12x2y-28x2y3

=4x2y·(-6xy)+4x2y·3+4x2y(-7y2)

=4x2y·(-6xy+3-7y2)

=-4x2y·(6xy-3+7y2).

解法2：-24x3y2+12x2y-28x2y3

=-(24x3y2-12x2y+28x2y3)

=-[4x2y·(6xy)-4x2y·3+4x2y(7y2)]

=-4x2y(6xy-3+7y2).

例7因式分解：6(m-n)3-12(n-m)2.

分析：应先将6(m-n)3或-12(n-m)2两项中转化为相同的因式，根据经验应将-12(n-m)2转化为-12(m-n)2，因为这样不会产生新的符号，就降低了错误几率.根据“三定法”，首先定系数，它们的最大公约数是6.其次，定字母，这里应取整体(m-n).最后，定指数，(m-n)的最小指数为2.所以，公因式为6(m-n)2.

解：6(m-n)3-12(n-m)2

=6(m-n)2·(m-n)-6(m-n)2·2

=6(m-n)2(m-n-2).

例8(2a+b)(2a-3b)-(b-4a)(2a+b)分解因式.

分析：本题的公因式比较容易找，是(2a+b).但需注意的是，提取公因式之后，小括号中的多项式如果还能因式分解，一定要继续因式分解，且分解到不能再分解为止.

解：(2a+b)(2a-3b)+(b-4a)(2a+b)

=(2a+b)(2a-3b+b-4a)

=(2a+b)(-2a-2b)

=-2(2a+b)(a+b).

4 “三定法”注意事项

三定法的三个步骤看上去非常明朗，也比较容易操作，但学生在利用“三定法”寻找公因式以及提取公因式时，仍需注意以下几个方面.

第一，“三定法”中的“定字母”可以是字母，也可以是多项式.如例7、例8中，它们的公因式中都是某个整体，而非某个单一的字母.

第二，如果公因式中存在多项式，那么需要注意这样的多项式是否可以直接提取.如例8中的(2a+b)可以直接提出；如例7中的多项式不能直接提取，则需先转化后再提取.在转化的过程中，一方面要注意多项式的指数.若指数为偶数，则直接转化，如12(n-m)2=12(m-n)2；若指数为奇数，则转化后还需在整式之前增加一个负号，如6(m-n)3=-6(n-m)3.

第三，在提取公因式之后，如果小括号中的多项式能再因式分解，一定要继续因式分解，且分解到不能再分解为止[4].如例8中提取公因式(2a+b)后，发现后面的小括号中是-2a-2b，它还可以继续因式分解.所以，应如例题中解题过程一样继续因式分解.

第四，用“三定法”找到公因式后，一定要先将各项拆成含公因式的形式，如例5～7中笔者都是先把整个多项式中的每一项改写成含公因式的形式，然后再将公因式提出.这样做是为了后期更容易检查，毕竟这样的题目字母多、指数多，容易搞混淆.如果先拆写再提取，可以帮助学生一步步检查.

第五，如果多项式的第一项中存在负号，那么最佳的解题方式是先将负号提出，然后对小括号中的多项式进行因式分解，如例6中的第二种解法便是如此.这样一来，就避免了后期因符号转换而出错.所以，对于例6的两种不同解法，笔者更倾向于第二种解法.

5 结语

综上所述，“三定法”是一种比较高效的寻找公因式的方法，教师应让学生加强训练.当然，以上总结出的五个方面的注意事项，教师可以直接提出，也可以根据学生的训练情况酌情提出.总之，对于这种字母较多、指数较多、整体比较复杂的题目，应以仔细为上，这样才能真正实现精准提取公因式和准确计算.