“证伪”与初中生数学学习的优化

⦿江苏省泰州市海军中学 杨金宝

1 引言

英国现代哲学家卡尔·波普尔在其重要的哲学著作《猜测与反驳》中曾提出，科学需要不断地提出猜想、证伪，然后再提出猜想、证伪…….波普尔认为，衡量一门理论的科学性的标准就是它的“可证伪性”[1].在初中数学教学中，教师不仅要引导学生证明(证实)，更需要引导学生“证伪”，将“求是与证伪”相结合.只有引导学生主动质疑、反思、批判，以及找茬、挑错，才能有效地引导学生证伪.只有引导学生证伪，才能引导学生“去伪”“存真”.

2 构造反例，提升学生质疑力

初中生在数学学习的过程中总是喜欢证明，而不喜欢证伪.这一方面是由数学学科的相对真理性造成的；另一方面是由学生习惯接受性学习状态所造成的.当下，初中生不关心、不实践证伪的表现形态主要有三种：其一，“无伪可证”；其二，“有伪不证”；其三，“证伪不实”.在数学教学中，要改变教师控制课堂的格局，创设学生自由质疑的良好氛围.同时，要提升教师组织学生“证伪”学习的能力.要发掘证伪资源，开展证伪活动，充分发挥证伪的数学学习功能，不断研发证伪的方式.

波普尔认为，“证伪”的过程就是一个人“提出假设”“实施证伪”，并再次提出新的假设的过程.“证伪”不是简单地承认，也不是简单地否决，而必须是以相应的证据来证明.波普尔深刻地指出：“一种严格的经验总是要力图找到一种反驳、一种反例.”从某种意义上来说，“证伪”是另一种意义上的“证明”“证实”.“构造反例”是学生数学“证伪”的一种重要方法.比如教学“全等三角形的判定”(人教版八年级上册)这部分内容时，首先让学生提出猜想:怎样的两个三角形全等？这时，学生会提出各种猜想.对于这些猜想，不仅要引导学生证明，更要引导学生证伪.笔者在引导学生学习的过程中，对于每一个判定法则，都让学生以小组为单位举反例.不仅如此，对于能够举出反例的小组，我们给这一小组“加星”，用以肯定学生的反驳思维.这种举措，激发了学生数学学习的兴趣，调动了学生数学学习的积极性，发掘了学生数学学习的创造性.每一个学生都力图举出成功的反例.实践证明，在“三边对应相等”“两边及其夹角对应相等”“两角及其夹边对应相等”“两角及其一角的对边对应相等”等猜想中，学生没有举出反例，而在“两边及其一边对角”的猜想中，学生成功地举出了反例，进而有效地证明了这个猜想的“谬误性”.

构造反例不仅是一种有效的学习方法，更是证伪思想方法的重要组成部分.在初中数学教学中，教师要引导学生“举反例”，鼓励学生“举反例”，让“举反例”成为学生数学思考的常态，成为学生数学探究的常态.如此，这种“举反例”证伪的思想方法就能融入到学生的心灵之中，内化为学生的数学核心素养[2].

3 比较分析，提升学生鉴别力

俗话说，“有比较才有鉴别”.一个数学概念的形成，往往是不断地分析、比较、尝试错误的结果.证伪的过程教学，让学生相信一切数学定理、法则都是一种猜想，因而就会对相关的数学学习内容进行辨析，从而避免了学生将相关的数学学习知识“教条化”的倾向.在初中数学教学中，教师要引导学生比较，不仅让学生认识到“正确的结论”，更要让学生认识到“错误”“伪”在什么地方？为什么“伪”？什么时候不“伪”？等等.通过正反比较分析，不仅有助于学生认识到数学知识的相对正确性，更能让学生感悟到自己收获了什么.

比如教学“一次函数”(人教版八年级下册)这部分内容时，教师出示了多种变式的图象引导学生判断，其中有“连续性函数”和“非连续性函数”的比较.对于“非连续性函数”，很多学生一开始都认为这样的图象对应的不是函数.为此，笔者首先引导学生从函数的定义入手，学生深刻感受、体验到非连续性函数也是函数.在此基础上，再引导学生从正反两个方面举例进行比较.于是，有学生画出了更多的连续性的函数图象和非连续性的函数图象；有学生画出了x确定一个值，y不是唯一的值与之相对应的图象；等等.通过正反两个方面的比较、分析，让学生深刻感受、体验到函数的“映射性”，深刻认识到“在y是x的函数中，x每确定一个值，y就随之有一个唯一确定的值与之相对应”.在初中数学教学中，“比较分析”有助于学生对数学知识进行证伪.任何一个数学知识点都有它的前因后果，引导学生从数学的视角去分析、比较，是培养学生证伪能力、证伪素养的重要方式.

证伪的方法很多.通过比较分析，有助于让学生形成“数学的眼光”，可以让学生形成“数学的大脑”.在初中数学教学中，教师要不断地鼓励学生进行分析比较，勇于反思、剖析自己，帮助学生养成“比较分析”的习惯，并落实到思考、探究之中，从而不断提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养.

4 逆向思考，提升学生反思力

在“证伪”的过程中，教师要引导学生逆向思考，通过逆向思考识错辨因、激疑启思.在逆向思维的过程中，教师要注重启迪学生的创新思维.当学生在学习过程中受到了经验、习惯等的支配而不能全面地、正确地分析问题，或者难以发现数学探究中的一些缺陷、不足时，教师可以引导学生逆向思考等，进而提升学生的反思力.在数学史上，最为典型的逆向思考就是俄国著名数学家罗巴切夫斯基用一个与非欧几何的第五公设相矛盾的命题来代替它，竟然得到了系列逻辑上毫无矛盾的结论.在初中数学教学中，教师可以引导学生进行逆向思考.

比如教学“三角形的内角和”(人教版八年级上册)这部分内容时，学生遇到了这个命题的判断——“求证：在一个三角形中最多有一个钝角”.这个命题证明，学生展开正向思考是没有办法完成的.而逆向思维就能让学生从反面证明原命题的正确性.笔者在教学中，首先引导学生反设“假设一个三角形中有两个或者三个钝角”；接着引导学生归谬“三角形的内角和就一定大于180°了，而这就与三角形的内角和定理相矛盾”；再次引导学生去伪存真，即“原假设不成立，也就是说一个三角形中不可能有两个或者三个钝角，或者说一个三角形中有一个或者没有钝角”，进而推翻假设，证明命题.显然，逆向思考是借助于“证伪”的力量、方法、技巧等来证明，或者说是另一种形式的“证明”，这种证明方式也就是“反证法”.在初中数学教学中，教师可以引入、设计一些适合于学生逆向思考的例子，引导、启发学生进行逆向思考.借助于逆向思考，有效地提升学生的证伪能力.

数学的发展离不开证伪，学生的数学学习同样也离不开证伪.证伪有助于学生更加全面、深刻地理解数学知识.正如著名科学哲学史家拉卡托斯所说，“非形式、准经验的数学的发展，并不是依靠知识的积累的数目，而是依靠思辨与批评、证明与反驳之逻辑对猜想的持续不断的改进”.通过逆向思考展开证伪，有助于学生逐步走向证实、逼近证实.

5 追根究源，提升学生的探究力

错误往往是与真理相伴相生的.作为教师，不能粗暴地对待学生的错误，而应当以学生的错误作为载体、媒介，引导学生反思错误，正确地对待错误.在数学教学中，教师要把握学生头脑中的迷思概念和相异构想，并且要弄清楚这些迷思概念和相异构想所产生的土壤.引导学生证伪，要让学生自觉追问自身迷思概念和相异构想所产生的原因.只有这样，才能引导学生消除诱发错误的根源，进而引导学生有效地纠错.在数学教学中，教师不能让学生停留在浅层次的“证伪”上，而是要引导学生追根溯源，进而提升学生的数学探究力.

传统的数学教学往往是让学生去证明一个定理、法则的诞生过程，是证实知识的真理性.而“证伪”则是去证明一个定理、法则等是“错误”的.证实需要学生不断地验证，需要学生从各个方面去展开验证，而证伪则只需要学生从某一个方面、某一个层面去推翻，就能有效地证明.比如教学“一次函数”(人教版八年级下册)时，学生遇到了这样一道习题：一次函数y=kx+b(-1 949≤x≤2 015)，相应的函数值取值范围为“-2 015≤y≤1 949”，那么这个函数的解析式是什么？面对这样的问题，很多学生都直接采用待定系数法，即将“x=-1 949，y=-2 015”和“x=2 015，y=1 949”代入y=kx+b，进而求出系数k.面对学生片面性的思维、探究，笔者没有直接批评、说教，而是引导学生追本溯源，从一次函数的增减变化等视角进行思考，从而促进学生的自悟自得、自悟自纠，形成对一次函数整体性、系统性、结构性的认知.在这个基础上，学生对一次函数自变量的值与函数值进行对应讨论，从而优化了问题解决的思路，明晰了问题解决的路径.

追根溯源能让学生认识到数学知识的证伪性.“证伪”有助于激发学生对数学知识的深度思考.从某种意义上说，任何一个数学知识点的诞生都有它的前因后果，引导学生从数学知识的本源视角去认知，有助于培养学生的证伪能力.通过追本溯源式的证伪，能有效地启发、点拨学生，从而让学生“茅塞顿开”“豁然开朗”[3].

6 结束语

数学证伪不是一个新话题，却又是一个新话题.在数学教学中，教师不仅要增强自身的证伪意识，更要引导学生增强证伪意识，提升学生的证伪能力，让学生从无意识、零碎的、不规范的证伪走向有意识、结构性、系统性、规范性的证伪.“证伪”的思想、方法等有待教师进行系统地研究.通过“证伪”教学，有效地提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养.