巧借两点距离公式 妙解空间应用问题*

⦿江苏省苏州实验中学

钱 宁

1 线段的长度问题

线段的长度问题往往可以直接转化为空间两点间的距离问题，利用对应的距离来进一步分析与应用.

例1在空间直角坐标系中，点A(1，2，-1)，点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为( ).

分析：先根据条件中的轴对称、面对称来确定相应点的坐标，再利用空间中两点间的距离公式直接求解即可.

点评：空间中两点间的距离公式除了可直接求解对应线段的长度外，还可以间接用来确定平面几何图形的边长、形状等相关问题，此时直接利用空间两点间的距离公式转化是最基本、最有效的方法.

2 坐标的求解问题

坐标的求解问题往往直接转化为空间中两点间的距离问题，利用已知的距离通过相应的方程来求解对应的坐标.

例2在空间直角坐标系中，已知点A(4，5，6)，B(-5，0，10)，在z轴上有一点P，使|PA|=|PB|，则点P的坐标是______.

分析：根据条件设点P(0，0，z)，由|PA|=|PB|结合空间两点间的距离公式建立关系式，通过解方程来确定参数z的值，进而确定点P的坐标.

解析：设点P(0，0，z)，则由|PA|=|PB|，可得

解得z=6，即点P的坐标是(0，0，6).

故填答案：(0，0，6).

点评：在空间直角坐标系中，往往先设出相应点的坐标，再利用题设条件建立相关式子，进而确定对应的坐标.这是解决坐标的求解问题比较常见的一种思维方式.

3 参数的确定问题

利用空间两点间的距离公式可以解决对应的参数问题，涉及相应点的某个坐标参数、比值等.此类问题的求解往往结合空间两点间的距离公式确定相应的参数值.

A.-3或4B.6或2C.3或-4D.6或-2

分析：根据空间两点间的距离公式建立关于x的二次方程即可确定参数x的值.

解析：根据空间两点间的距离公式，得

整理得(x-2)2=16，解得x=6或-2.

故选：D.

点评：在空间直角坐标系中，两点间的距离公式中包含七个量，即两个点的横坐标、纵坐标、竖坐标，以及对应的距离.已知其中六个量就可以求出剩下的一个量.

4 距离的最值问题

距离的最值问题往往通过空间两点间的距离公式转化为函数问题，进而利用函数的性质求解对应的距离的最值.

例4在空间直角坐标系中，试在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使它到点N(6，5，1)的距离最小，此时点M的坐标为______.

分析：根据条件设出点M的坐标，利用空间两点间的距离公式表示|MN|，通过配方法结合二次函数的图象与性质即可确定最值.

解析：由点M在直线x+y=1(xOy平面内)上，可设M(x，1-x，0)，那么

点评：由于空间两点间的距离公式中的坐标都带有平方，因此，利用距离公式求最值问题时，往往要通过转化，利用二次函数的图象与性质加以分析与求解.

5 轨迹的方程问题

轨迹的方程问题往往通过假设相应点的坐标，利用空间两点间的距离公式建立相应的关系式，进而求解相关方程.

点评：此类问题建立在空间两点间的距离公式的基础上，通过公式的转化来确定相应的轨迹.平面直角坐标系下的很多方法可以推广到空间直角坐标系中，点的轨迹的求法就是一个典型的推广.

6 知识的综合问题

空间中点、线、角等相关的综合问题往往通过空间直角坐标系的建立，结合空间两点间的距离公式的应用来解决.

图1

例6如图1，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系O-xyz.

(1)若点P在线段BD1上，且满足3|BP|=|BD1|，试写出点P的坐标，并写出P关于y轴的对称点P′的坐标；

(2)在线段C1D上找一点M，使点M到点P的距离最小，求出点M的坐标.

分析：(1)根据点P在线段BD1上，且满足3|BP|=|BD1|确定点P的坐标，再结合对称性确定点P′的坐标；(2)根据空间两点间的距离公式确定|MP|的关系式，通过二次函数的配方，并结合相应的图象与性质确定最值.

点评：解决此类空间的综合问题，首先是建立合适的空间直角坐标系并列出相应点的坐标，利用点的位置，结合中点坐标公式、距离公式，以及点的对称等性质来解决相应的综合问题.

7 结束语

空间两点间的距离公式作为一种工具，其应用非常广泛，不仅只局限于此.随着学习的深入，我们会越来越深刻地体会到，只要是空间直角坐标系中的相关问题，大都有空间两点间的距离公式的影子存在，它是解决空间直角坐标系中问题的一个有力工具.