初中数学二次函数问题的解题策略

王 谦

(江苏省南通市幸福中学，江苏南通，226000)

1 数值代入

数值代入是求解二次函数有关问题的重要思路.对于已知抛物线或某一二次函数经过确定的坐标点的问题，此时将坐标数值代入函数的解析式中，通过处理等量关系实现求解，这就是数值代入.常考题型包括求解函数解析式等，在解答题、选择题中均有可能出现，在解题时要注意关注已知的点的坐标，一般来说，当确定三个坐标点并代入解析式后即可列方程组解得对应的值，即为所求答案.

例1已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1，1)，B(0，2)，C(1，3)，求二次函数的解析式.

思考：这类型问题就需要学生在做日常练习时清晰知道函数图象，本题直接将已知的横、纵坐标代入解析式，解二元一次方程组，根据得到的参数值得到二次函数的解析式.

解：由题意可得，A(-1，1)，B(0，2)，C(1，3)，将上述三点代入y=ax2+bx+c.

因此，二次函数的解析式为y=-1x2+2x+2.

练习1无论m是任何实数，二次函数y=x2+(2-m)x+m的图象总经过的点是( ).

A. (-1，0) B. (1，0)

C. (-1，0) D. (1，3)

思考：本题要快速解得正确的解，只需要分别将四个选项的坐标代入解析式中，通过等号两端是否相等判断正确答案，虽有参数m，但可以利用代入的数将其消除，代入等式求解.

解：将横坐标代入x，纵坐标代入y.

评析：学习函数与类似的坐标数值紧密相关，是解答二次函数相关问题必需的基本技能之一，关键是因为函数解析式是函数与相应自变量之间的一种数量关系.

2 图象说理

二次函数具有一定的抽象性，利用图象解答相关问题就有重要作用，看懂抛物线等特殊图象表达的特殊意义，例如其中反应的函数范围和自变量的变化，数量关系是怎样的，是利用图象解题的重要手段.常见的考查题型包括求解自变量的取值范围，比较两个函数值的大小等，主要以选择题的形式出现，在解答题中也有一定涉及.

例2二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示，当y<0时，自变量x的取值范围是( ).

A.-1

C.x>3 D.x<-1或x>3

思考：本题首先需要明白抛物线的哪一段代表y<0，并观察图象得到此时自变量的取值范围，即为所求的解.

解：如图所示，为函数y=x2-2x-3的图象.

由题意可得，当y<0时，为x轴下方的一段.

∴这段抛物线对应的取值范围是在-1到3之间.

故自变量x的取值范围为-1

练习2已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：

x…01234…y…41014…

点A(x1、y2)、B(x2、y2)在函数的图象上，则当1

A.y1>y2B.y1

C.y1≥y2D.y1≤y2

思考：本题根据已知的二次函数y与x的对应关系得到函数图象，然后分析抛物线的对称轴方程求出其对称轴，利用二次函数的增减性即可判断出y1、y2的大小关系.

解：根据题意已知y=ax2+bx+c(a≠0).

∵当x=0时，y=4；x=1时，y=1；x=2时，y=0代入函数解析式.

∴此抛物线的解析式为：y=x2-4x+4.

如图所示，该抛物线的开口向上.

∴抛物线的顶点为(2、0).

∵-1

∴y1

评析：根据上述两个例题可以发现，要具有良好的观察能力才能正确分析图象问题，最大限度发挥“图象说理”的作用，快速求解.

3 数形结合

将图象用坐标系表示是函数的特点之一，二次函数具有解析式与图象一一对应的关系，因此利用两者之间“数”与“形”之间的密切联系是解题的新思路.如下表所示是不同形式解析式的图象开口方向、对称轴和顶点坐标等值，需要同学们理解记忆，还可以转化为如下所示的图象转换关系，解题时要利用其内在联系，掌握关键.在选择题、填空题或解答题中均会运用到数形结合，这是同学们一定要掌握的内容.

函数解析式备注开口方向对称轴顶点坐标y=ax2(a≠0)特例y=ax2+k(a≠0)特例y=a(x-h)2(a≠0)特例y=a(x-h)2+k(a≠0)顶点形式y=ax2+bx+c(a≠0)一般形式a>0,开口向上a<0,开口向下直线x=0(y轴)(0,0)直线x=0(y轴)(0,k)直线x=h(h,0)直线x=h(h,k)直线x=-b2a-b2a,4ac-b24a

例3将抛物线y=5x2先向右平移3个单位，再向上平移2的单位后，所得的抛物线的解析式为( ).

C.y=5(x-3)2+2

D.y=5(x-3)2-2

思路：本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式求解更简单，可以根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加得到平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式得到解析式即可.

解：∵y=5x2先向右平移3个单位，再向上平移2的单位得到顶点坐标为(3，2).

∴所得的抛物线的解析式为y=5(x-3)2+2.

故正确答案为C选项.

练习3与抛物线y=-5x2-1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数是( ).

A.y=-5x2-1

B.y=5x2-1

C.y=-5x2+1

D.y=5x2+1

思考：本题考查了二次函数的性质，二次函数的解析式中，二次项系数确定函数的开口方向，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，即与原式只有二次项系数不同.

解：与抛物线y=-5x2-1顶点相同，形象也相同，而开口方向相反的抛物线.

即与抛物线y=-5x2-1只有二次项系数不同.

∴y=5x2-1，正确答案为B选项.

例4抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1，0)，B(3，0)，则此抛物线的对称轴是直线x=.

思考：本题考查了二次函数的对称性，抛物线经过两个点的纵坐标均等于零，借此确定对称轴.

解：由题意可得，抛物线经过了点A(-1，0)，B(3，0).

∵纵坐标相等.

∴它们是抛物线上的对称点.

∴它们的对称轴时两点横坐标的平均数.

∴A、B两点是抛物线上的两个对称点.

故正确答案为2.

练习4已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A(-1，1)，B(0，2)，C(1，3)，(1) 求二次函数的解析式；(2) 画出二次函数的图象.

思考：本题可以利用顶点形式的“数”来了解“形”，可以通过顶点公式和对称轴公式解得对应的值，然后画出图象实现求解.

解：(1)y=-x2+2x+2，过程略；

(2) 将y=ax2+bx+2(a≠0)形式配方成：y=a(x-h)2+k(a≠0)形式.

∵y=-x2+2x+2.

∴对称轴为x=1，顶点为(1，3)，a=-1<0.

∴图象经过点(3，-1)和(2，2)，且该图象是对称的.

故分别与点A(-1，1)，B(0，2)关于对称轴对称得到图象，如图所示：

评析：上述两个问题均是比较简单的数形结合问题，解题时要根据题意灵活处理图形变换，要熟悉图形相关的知识点，最后实现求解.

对于初中数学二次函数问题的相关解题策略还有方程释义等手段，本文只着重介绍了以上三种，从上述三种策略可知，必须要熟练掌握不同形式的二次函数的变换形式，这是解题的重要内容.