关于无限子群的确定的闭包的性质探讨*

杨年西

淮北师范大学信息学院 安徽 淮北 235000

引言

20世纪50年代，塔尔斯基开创模型论学派，它是世界数学发展的新潮流。20世纪60年代，鲁宾孙研究模型论的扩张原理的时候，提出超实数系统，创立非标准分析[1]。20世纪70-80年代，J.Keisler在模型论思想指导下提出无穷小微积分。由于模型论一阶逻辑发展最成熟，模型论也是以一阶模型论内容最丰富，例如，用模型论方法，证明了群有递归可解字充分必要条件它是有限生成的群；证明微分域的微分闭包具有唯一性，给出希尔伯特零点定理的一个新证法[2]。鲁宾孙并由此重新证明了阿廷等对希尔伯特第17问题的解答。2015年，美国模型论专家William Weiss发表现代模型论成为一个重要的数学分支，特别21世纪，它与代数、分析等数学学科的联系越来越密切，可以预料，随着模型论的不断发展，它将为其他数学分支提供更多的新工具和新方法。在对于模型论的一阶性质的研究中，范畴性是一个很有用的概念。一些模型论学者利用范畴性及另一个重要概念稳定性，对于群、环、域等代数结构进行了富有成果的研究。而现代模型论研究群与环重点是研究确定的子群和子环之间的性质[3]。A.Borovik提出了稳定的群与秩群的结构可能是相同的， Poizat证明了这个结论，就称秩群是有限莫利秩的群[4]；类似有莫利秩的环。Cherlin提出有限莫利秩的单群的猜想[5]，吸引很多学者对有限莫利秩的群的研究的兴趣，推动有限莫利秩群的研究和发展。本文主要对无限的群的子群的确定的闭包性质深入探讨。

1 预备知识

模型论研究对象主要是确定的集合，确定的集合简单说通过公式能够计算出来，而有限集都是确定的集，用模型论的思想和方法研究无限群，因为有限莫利秩的群有类似于代数群的结构，它具有降链条件的性质，如果群则表示集合X的莫利秩的数量），有限莫利秩的无限子群G，仅有有限个确定无限子群满足降链群的中心化子是指，因为是确定的群，假设群A是确定，那么也是确定的，群G是有限莫利秩群不管群A是否确定，都是确定的[9]。假设X，Y是群G的子集，x，y是群G的元素，表示群G一个换位子，表示由集合生成的群G一个换位子群，归纳定义换位子群如果存在正整数n，满足，称群G是可解群，如果满足最小正整数n，成为可解群长度n。如果存在正整数n，满足，称群G是幂零群[6]，如果满足最小正整数n，成为幂零群长度n。

定义1.1 莫利秩（Morley Rank）的定义，假设M是L语言的模型，是的公式，表示公式在模型M中的莫利秩。归纳定义莫利秩数量当且仅当不是空集；

定义1.2 假设M是形式语 言L的一个模型，是模型完全理论的一个公式，表示在模型M中满足公式的元素。确定集X定义：存在公式，其中表示是变量，表示的常量，X可以表示，就称X是确定集。

引理1.3[7]群G含有最小的有限指数的确定子群G0，称子群G0是群G的连通部分；假设群G是有限莫利秩的群，群G0是群G的正规子群和连通分支是唯一的

证明：①有限莫利秩的群G存在有限指数的确定子群G0，设群A，B群是群G的有限指数子群，设集合，先证，易知映射是M集合到集合K映射，映射则，可知推出是M到K的一个单映射，所以，即证，因是有限的，可知是有限的，是有限的，群仍然是群G有限指数子群。

设群G的全部有限指数确定的子群组成集合，H表示确定的子群，因为群G的子群具有降链条件，所以，由前面证明可知有限交仍然是群G确定的有限指数子群，是群G的最小有限指数确定的子群。

②因为子群G0是群G的有限指数子群，可知也是群G的有限指数群，G0是有限指数的确定最小子群，所以，可得，根据正规子群定义，群G0是群G的正规子群。

③假设群C也是群G的连通分支，它也是群G的确定的最小有限指数子群，因为仍然是群G的有限指数子群。因为推出，同理推出即，群G的连通分支是唯一的。

引理1.4 对群G上的任意子集X，确定的闭包表示包含集合X的所有确定子群的交集在群G，或集合X生成确定的子群。假设群G是有限莫利秩的群

③假设H是群G上的确定的子群，结果，对任意子集X，确定的闭包

引理1.5 对有限莫利秩的群G上的任意子集X，确定的闭包

①集合X的元素都可以交换，确定的闭包是交换群。

②假设群A是集合X的正规化子的子集，那么确定的也是属于正规化子的子群。

证明：①因为有限莫利秩的群G上的任意子集X，是确定的子群，所以也是确定的交换子群，由于，确定的闭包也是交换群。②因为群A是集合X的正规化子的子集，可知，而所以也是确定的子群，可以推出，是包含集合X确定的子群，即，由群的性质可知，结果，因为是确定的子群，由引理[1.5]可知，。③有限莫利秩群具有降链条件，存在有限个是有限的，那么任意也是有限的。是正规子群，也是有限的。不凡直接设，由②证明可知，推出，因为是有限的，存在有限个，因为确定的，推出是确定的，

引理1.6 假设有限莫利秩群G，集合，结果

引理1.7 假设有限莫利秩幂零群G，那么幂零群G可以分解中心积，直积，D是确定的连通的特征可除群，C是确定的有限指数群，T是可除交换扭群，N是无扭群。如果G是连通的，那么C也是连通的特征子群。（中心积是指是有限的且

2 主要结论

定理2.2 假设群G是有限莫利秩的，它的子群H是可除幂零群，那么确定的闭包也是可除幂零群。

证明：由定理[2.1]，子群H是可除幂零群，可知群也是幂零群，又由引理 [1.7]，幂零群可以分解成，D是确定的连通的特征可除群，H是可除幂零群，因为推出确定的子群D包含群H，子群D是确定的子群，，而，即，D是确定的连通的特征可除群，所以确定的闭包 也是可除群。

定理2.3 假设有限莫利秩群G是可除幂零群，是素数，群S是群G的西洛子群，证明且是无扭群。

证明：群G是可除幂零群，由引理[1.7]，零群G可以分解，D是确定的连通的特征可除群，T是可除交换扭群，C是确定的有限指数群，因为有限莫利秩群G是可除群，推出和可除交换扭群，推出西洛子群S是一个群，，群G中所有群直和组成即，I是有限的；得到，任意一个阶元素是无扭群。

定理2.4 假设群G是有限莫利秩的可除群，证明G'是无扭群。