一类高次多项式微分系统的几何性态

温 翔, 李 慧, 李 敏, 周正新

(扬州大学数学科学学院, 江苏 扬州 225002)

众所周知, 探究客观世界中物体的变化规律很多时候归结为研究微分系统

x′=X(t,x),t∈R,x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn

(1)

解的几何性态．一般情况下, 求出该微分系统解的表达式是非常困难的, 当系统(1)为自治多项式系统时, 其解的定性和稳定性态的研究已取得丰富的成果[1-2]．对于一般时变微分系统,其周期解的存在性、数目及稳定性是探究该系统解定性性态的重要突破口, 在此过程中, Poincaré映射起着重要的作用．自从Mironenko[3]提出反射函数后, 人们可以借此函数建立周期系统的Poincaré映射, 这给研究周期系统解的定性性态开辟了一条崭新的道路．本文拟应用反射函数理论,给出与以原点为中心的一类高次多项式微分系统等价的微分系统解的定性性态．

1 预备知识

假设X(t,x)满足初值问题解的存在唯一性定理的条件,F(t,x)为初值问题

Ft+FxX(t,x)+X(-t,F)=0,F(0,x)=x

x′=Y(t,x)

(2)

与微分系统(1)具有相同的反射函数, 则称它们是等价的; 若微分系统(1)和(2)是等价的, 且均为关于t的2ω周期系统, 则两个系统周期解的个数及稳定性态相同．Mironenko V I[3-4], Mironenko V V[5], Musafirov[6], Zhou[7-8]等研究了两个微分系统的等价性相关问题, 并将复杂的、非自治的、非线性系统的解的几何性态问题转化为研究与其等价的、自治的、线性的、简单系统的解的几何性态．由定义可知,求出任意一个微分系统的反射函数都较困难, 而Mironenko[5]却给出了反射函数未知情况下两个微分系统等价的判定定理．

引理1[5]若存在连续可微的非零向量函数Δi(t,x)(i=1,2,…,m)满足方程

Δt+ΔxX(t,x)-Xx(t,x)Δ=0,

(3)

则微分系统(1)等价于微分系统

(4)

其中αi(t)为任意连续可微的奇纯量函数．

此时,Δ(t,x)称为微分系统(1)的反射积分．由引理1知, 若微分系统(1)解的定性性态已知, 则与其等价的形如微分系统(4)(有无穷个)解的定性性态可知,故反射积分对于研究等价系统(4)的定性性态极为重要．

对于平面多项式微分系统

x′=P(x,y),y′=Q(x,y),

(5)

定义1[9]若可微的非常值函数u(t,x,y)满足ut(t,x,y)+ux(t,x,y)P(x,y)+uy(t,x,y)Q(x,y)=0, 则称u(t,x,y)=C(C为常数)为微分系统(5)的首次积分．

定义2[9]若可微的非零函数φ(x,y)满足φx(x,y)P(x,y)+φy(x,y)Q(x,y)=h(x,y)φ(x,y), 则称φ(x,y)为微分系统(5)的不变代数积分,h(x,y)称为φ(x,y)的余因子．

2 主要结果

考虑微分系统

(6)

其中P2(x,y),P2n(x,y)分别为2次和2n次实系数齐次多项式．

情形1P2(x,y)=0,P2n(x,y)≠0．

定理1微分系统

(7)

以(0,0)为中心的充要条件是P2n(x,y)可表示为

(8)

(9)

(10)

定理2若P2n(x,y)满足式(8), 则微分系统(7)等价于微分系统

(11)

其中Q2n(x,y)由式(9)表示,α1(t),α2(t)为任意连续可微的奇函数．此外, 若αi(t+2π)=αi(t)(i=1,2), 则微分系统(11)在原点附近的某小邻域内的轨线皆为闭轨．

证明 不难验证Δ1=(-y+xP2n(x,y),x+yP2n(x,y))T,Δ2=(x(1+Q2n(x,y)),y(1+Q2n(x,y)))T为方程(3)的解, 即为微分系统(7)的反射积分, 故由引理1得微分系统(11)等价于微分系统(7)．又由定理1知微分系统(7)在原点附近的某小邻域内的解均为2π-周期解, 则由等价性知微分系统(11)与(7)周期解的个数相等, 故定理2成立．

(12)

(13)

(14)

其中λi(i=0,1,2,…,n-1)为实常数．

(15)

(16)

定理4对微分系统

(17)

1) 当a≠b时, 其首次积分为

2) 当a=b时, 其首次积分为

其中a,b,C为常数．

定理5微分系统(17)等价于微分系统

(18)

其中αi(t)(i=1,2)为任意连续可微的奇函数．若αi(t+2π)=αi(t)(i=1,2)则微分系统(18)在原点附近小邻域内的轨线皆为闭轨．

证明 不难验证向量函数

Δ1=(-y+x2y[1+(ax2+by2)n-1],x+xy2[1+(ax2+by2)n-1])T,Δ2=(x[b-a+ax2+by2+(ax2+by2)n],y[b-a+ax2+by2+(ax2+by2)n])T

为微分系统(17)的反射积分,则由引理1可得微分系统(17)等价于微分系统(18)．又由定理3知微分系统(17)在原点附近某邻域内的解均为2π-周期解, 由等价性可知上述定理的结论成立．