建构模型 理解算理——以《乘法分配律》为例

任晔（江苏省南通市通州区通州小学 226300）

《乘法分配律》是苏教版四年级下册《运算律》中重要的一课，同时也与学生初中阶段将要接触的“合并同类项”与“提取公因式”知识息息相关。因此，“乘法分配律”不仅是一项简单的运算技巧，同时也是学生感悟并理解数学思想的重要途径。然而“乘法分配律”同时涉及两种数学运算法则，并且其中还包含复杂的变化规律，学生在学习过程中并不能有效辨认这一运算模型，对其中的结构及内涵缺乏清晰认识。为此，小学数学教师在教学过程中需要全面重整教学手段，建构乘法分配律模型，帮助学生更好地认知“乘法分配律”知识。

一、沟通既有经验，感知运算规律

在接触“乘法分配律”知识之前，学生已然拥有了与之相关的大量知识经验，只是还没有经过教师的系统引导，使学生无法将知识线索串联起来。因此，教师帮助学生理解算理的第一步，便是唤醒学生既有的认知，拉近与乘法分配律的距离，使其能充分借助自身学习经验推理分析，以此加强学生对运算规律的感知能力。

例如，学生在三年级时学习过《两、三位数乘两位数》与《两位数乘两位数》知识，教师可以从这一层面入手，帮助学生在记忆中寻找乘法分配律的印象。教师可以为学生提供一道例题101×35，首先让学生说一说这道算式表示什么？再让学生思考如果不用笔算能否计算出它的结果，学生很容易便会想到：可以先将101分成100和1，然后分别与35相乘，再将运算结果相加得到100×35+1×35=3535。在这一基础上，教师可以让学生再利用乘法竖式运算验证，引导学生发现这种运算方法可行，有效唤醒学生“乘法意义”知识经验，更加直观地把握其中的运算规律。通过这样的方式，教师可以巧妙地将“乘法分配律”知识与学生此前的学习经验联系起来，使学生能借助熟悉的知识模型，自主构建及推理，从而顺利形成对乘法分配律的初步认知，并能在接下来的环节中与教师构建乘法分配律模型做好铺设。

二、营造生活情境，逐步抽象模型

“教学做合一”是生活教育理论的方法论，也是陶行知先生对“生活即教育”做出的补充说明。他认为，无论是教师还是学生，都应当“做中教”“做中学”，如此才能够真正将现实与教育联系在一起，使学生通过学习掌握解决实际问题的能力。当学生有了“乘法分配律”的初步印象之后，教师便“趁热打铁”，通过创设情境的方式，帮助学生将对知识的认知塑造成更为凝实的“思维模型”，使学生今后在思考问题的过程中，能够自动进入数学视角中，发掘问题中存在的知识规律与联系。

例如，教师可以在课堂中为学生提出这样一个问题：“学校准备在篮球场四周围上一圈防护网，已知球场宽15米，长25米。那么，学校至少需要准备多少米防护围栏？”题目出示后，教师可以要求列综合算式解答。有学生这样作答15×2+25×2=80米，有学生这样作答（15+25）×2=80米。待学生计算完之后，教师再次提出问题，这两种解答过程的算法是什么？观察这两个算式你有发现什么？在教师的引导下，学生很快就能发现：这两个算式的计算过程不同但计算结果却是一致的。这时教师不要急于揭示乘法分配律的概念，而是再出示几组算式让学生对比、观察、验证，如12×5+12×3=12×（5+3）、25×3+25×7=25×（3+7）等。随后教师可以引导学生观察这些结果相等的算式中，有着怎样的变化规律？进而使学生通过对不同算式的对比观察，逐渐明确了乘法分配律的结构为（a+b）×c=a×c+b×c，抽象出知识的本质，顺利构建乘法分配律的字母模型。在经历了这样的认知转化过程后，学生对乘法分配律的理解不再是单纯的数量及符号，而是能够将其与现实事物联系起来，并在准确把握本质的前提下建构“乘法分配律”的认知模型，从而使学生能在生活中有效运用知识。

三、巧用数形结合，建立实体模型

除了抽象出字母模型之外，教师还需要引导学生利用不同的表征形式，将乘法分配律模型利用外显的形式表达出来。教师可以在课堂中进一步引导学生利用图形、色彩、线条等形式对乘法分配律模型进行表达，以此拉近学生与知识的距离，并透彻而深刻地理解乘法分配律的内涵。

教师可以借助图形的方式，为学生展示5×4+3×4=（5+3）×4的数学运算模型。这样的方式不仅能有效吸引学生的注意，同时也帮助学生更加直观地把握了乘法与加法之间的联系，使其真正明确“五个4加三个4等于八个4”这一变化规律。在此基础上，教师还可以引导学生尝试建立更为复杂的数学运算模型，可以通过4×12=48这一运算过程，借助图理解乘法分配律与数学竖式运算之间的联系，从而将新旧知识体系之间融合得更为紧密，形成更为系统的知识框架。

四、应用数学模型，解决实际问题

应用构建的模型解决实际问题是帮助学生形成技能的关键环节，为此在这一过程中，教师需要注重采用循序渐进的推进手段，帮助学生联系模型、运用算理，巩固学生知识基础的同时帮助学生形成深刻的知识技能。为此，教师可以通过以下几类习题帮助学生强化能力。

（1）基础题：自由填空，在“□”填上符号，在“○”中填上数字，使等式两边相等。（27+69）×4=○×4+69×○、42×2+35×2=（42+○）×2、（○+○）×2=58×2+41×2、56□6+48×○=（56□48）□6。

（2）对比题：小明在计算125×88时使用了两种解题方法，分别是125×8×11与125×80+125×8，请问这两种解题方法那一种更为简单。

（3）拓 展 题：分 别 写 出32×9、32×99+32、32×101-32这三个算式的简便运算形式。

以上三个问题的提出，从最基础的数学运算知识，逐渐上升到学生对乘法分配律的抽象理解与变式分析，一方面加深学生对乘法分配律的理解程度，另一方面则引导学生对构建的模型再升华，强化对模型的理解，使学生获得经验不再是来自教师思想的复刻，帮助学生更好地运用模型解决实际问题。

学生在学校学习的不仅是知识，更重要的是让他们学会学习，获得持续学习的能力，培养良好的思维习惯。教师在教学过程中应按照循序渐进的层次引导学生了解数学知识，并鼓励学生自主构建模型、理解算理、独立总结，以此生成深刻的知识经验，并全面提高学生的学习层次。