HPM视角下“三线六环”的教学设计——以“完全平方公式”为例

袁春红 韩祥临

湖州师范学院教师教育学院 313000

引言

透过数学史，人们可以窥见数学思想以及数学文化的发展脉络.无论是义务教育数学课程标准，还是普通高中数学课程标准，都强调要将数学文化渗透到课程内容之中，这种渗透不是简单将其穿插在教学活动中，而是利用数学史上的历史事件和数学方法，达到激发学生学习动机、拓展数学思维、提升数学文化素养的目的.在初中数学教材（浙教版）中，完全平方公式作为前面章节知识的延伸，它有助于学生对整式乘法的再理解；作为工具性内容，它又为后续因式分解等知识的学习奠定了基础，在整体上起着承上启下的作用.可是，笔者经过仔细研读后发现，教材开篇直接由面积关系得到（a+b）2=a2+2ab+b2，再用多项式乘法进行验证，至于为什么用这个公式、公式产生的必要性似乎并未解释清楚，而且完全平方差公式的得出是基于完全平方和公式的推理，这样做淡化了完全平方差公式的图形表征.如果借助完全平方公式的历史演化过程，这两个问题都能迎刃而解.

基于上述思考，笔者从HPM视角，采用了“三线六环”的教学设计，其中“三条线索”包括：有史可循、有理可依和有地可用；“六个基本环节”包括：情境引入、公式探究、推理验证、学用结合、首尾呼应和课堂小结（见图1）.

图1 “三线六环”教学流程图

首先，借助完全平方公式的历史演化过程把握公式的形成过程，使教学有史可循.具体来说，可通过重构求平方根的历史导入课题，让学生在情境中获得学习的内在动力；通过《几何原本》的内容，验证公式真伪；通过婆什迦罗的平方算法，体会公式的实用性；通过刘徽在《九章算术注》中给出的算法，去解决引入中未完待续的问题，使前有交代，后有照应.

其次，完全平方公式的验证依靠的是几何图形和代数推导两方结论的一致性.因此，通过“数形结合”的推理过程，能够使公式更具说服力，做到有理可依.

最后，所谓英雄无用武之地乃废材也，数学公式亦然.弗赖登塔尔曾说：“数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实.［1］”因此，笔者从完全平方公式实际应用出发，设计了一系列习题，让学生在参与做题的过程中感受公式的实用价值.通过这样的方式，以“三条线索”贯穿“六个环节”，使教学内容更加丰富，教学情节更加完整，让学生感受到公式应从何处来，又会用在何处.

教学设计与实施

（一）历史溯源

在符号代数诞生前，完全平方公式的产生源于求某个数的平方、平方根以及解一元二次方程的需要，表征形式主要包括图形和文字［2］.下面，笔者就这三种来源进行简要的总结梳理.

（二）教学过程

1.研究之需，情境引入

问题组：

问题1.如果一个正方形的面积是16，那么它的边长是多少？

问题2.如果一个正方形的面积是25，那么它的边长是多少？

问题3.如果一个正方形的面积是20，那么它的边长是多少？

设计意图学生面对完全平方公式这一结论性知识时，不可避免地会对公式的“起”和“源”产生困惑，教学要破除困惑，可以从其历史发展中寻找答案.完全平方公式的产生源于平方根的估算.可是，刘徽在《九章算术注》中给出的的被开方数比较大，如果一开始就给学生呈现这道题，学生接受起来比较困难.这里，笔者作了改编，以问题组的形式出示以上3 个题，让学生求已知正方形的边长，编排上由浅入深，直到问题3，学生马上能够回答出大致范围在4和5之间.对于更精确的估算值学生却不知从何入手，这种认知冲突恰好是学生感受为什么要学习完全平方公式的最好载体.此时，笔者假设其边长比4大x或者比5小x，再引导学生根据正方形的面积公式列出方程（4+x）2=20或者（5-x）2=20.而要进一步确定x的值，就得先弄明白方程左边的代数式究竟是什么，这样一来，就使得学生要探究的问题在创设的情境中徐徐展开.

表1 完全平方公式的来源

2.公式探究，发现规律

活动1.发现结构特征

利用多项式乘法计算：

（1）（2+x）2=（2+x）（2+x）=______.

（2）（m+1）2=______.

（3）（p-5）2=______.

问题组：

问题1.观察算式左右两边，有什么规律？

问题2.等号左边有什么特点？等号右边有什么特点？

问题3.你能用字母将你发现的规律表示出来吗？

问题4.你能用自己的语言描述这两个公式吗？

活动2.归纳结构特征

符号语言：（a+b）2=a2+2ab+b2

（a-b）2=a2-2ab+b2

文字语言：两数和（差）的平方 等于 这两个数的平方和，加上（减去）两数乘积的两倍.（顺口溜：首平方，尾平方，乘积的两倍中间放，乘积的符号看前方）

设计意图此环节要完成三个任务：一是借助多项式乘法，从特殊例子中发现完全平方公式的结构特征；二是引导学生将结构特征进行提炼和归纳，再分别用符号语言和文字语言予以描述［3］；三是将文字语言再提炼成顺口溜的形式，强化记忆.在此环节中，学生经历了从特殊到一般的公式探究过程以及数学语言“表述—修改—表述”的完善过程.此环节能够培养学生的抽象概括能力以及数学语言表达能力，同时加深其对公式结构特征的理解.

3.推理验证，数形结合

活动1.几何法验证（a+b）2=a2+2ab+b2（小组合作）

问题组：

问题1.观察式子（a+b）2=a2+2ab+b2，看到（a+b）2，a2，b2，你能联想到什么？

问题2.图5是三个边长不等的正方形，从左往右，边长依次为a，a+b，b，思考该如何移动这三个正方形，证明（a+b）2=a2+2ab+b2.

图5 边长不等的3个正方形

数学史片段引入：古希腊的欧几里得在《几何原本》中也用几何图形演示了完全平方公式的论证过程，其过程正好是图6中大家想出来的拼凑方法.书中描述“若任意两分一个线段，则整线段上的正方形等于两分段上的正方形加上这两个分段构成的矩形的两倍”［4］.

图6 完全平方和公式的几何模型

活动2.代数法验证（a+b）2=a2+2ab+b2（独立完成）

问题：将（a+b）2展开，需要用到什么方法？结果是多少？

活动3.验证（a-b）2=a2-2ab+b2（小组合作）

问题：类比完全平方和公式的验证过程，你能从代数和几何上解释完全平方差公式的推理过程吗？（结果见图7）

图7 完全平方差公式的几何模型

设计意图数学之美在于简约严谨，仅凭猜测归纳出完全平方公式还远远不够，教师必须对公式的正确性给出理性回答.在这里，笔者从数形两个角度思考：一是从“形”的视角来看，符号代数诞生前，古人就是凭借图形认识的完全平方公式.因此，在几何法验证公式时，教师可以再次融入数学史，先让学生通过拼图活动获得完全平方和公式的几何图形，然后借助《几何原本》（卷二）命题4中给出的图形表征对公式进行补充；二是从“数”的视角来看，考虑到学生刚学习了多项式乘法，因此，用代数法验证公式的正确性对学生来说并不复杂，学生完全有能力独立完成；而且通过活动2的尝试验证，学生还能从过程中体验成功的喜悦感，增强学习的自信心.活动3是在前两个活动的基础上，去验证完全平方差公式，目的是让学生感受两个公式在验证手法上的“异曲同工”.此外，一些看似寻常的提问，实则也耐人寻味.比如，活动前教师有意让学生从（a+b）2，a2，b2处进行联想，激起发散思维，使学生很快与黑板上三个正方形的面积建立联系，迅速拼出符合要求的图形.这样，借助图形的直观性，能巧妙地让学生意识到（a+b）2和a2+b2的联系，可谓一箭双雕，既牵动整个思维的联想，又为突破2ab这个易错点做了一个过渡.

凡事预则立，不预则废.教师在策划教学活动时，理应预想到学生可能有的教学行为.比如，图6中，笔者期待学生可以拼出左边图形，然后顺势引出《几何原本》相关内容.但是，实际教学中，学生很有可能还会想到第二种拼法，既能想到古人想到的方法，还能想出其他拼法，这对学生而言无疑是一种激励.比如，代数法验证（a-b）2=a2-2ab+b2时，学生可能又会给出不同的想法，有的会利用多项式乘法去推导，有的会在完全平方和的基础上再思考，认为：（ab）2=a2+2a·（-b）+（-b）2，此算法蕴含了初中数学中的换元思想，教师可瞄准时机，恰逢其时地让学生感悟数学思想，积累活动经验.

4.学用结合，以学论教

练习1：

（1）若（x+2y）2看作两个数的和的平方，则a，b各指代什么？补充下面书写.

（2）若（2m-3n）2看作两个数的差的平方，则a，b各指代什么？补充下面书写.

（3）若（2m-3n）2看作两个数的和的平方，则a，b各指代什么？补充下面书写.

练习2 ：计算

①（3x+y）2；②

③（-m+5）2；④（-3a+4b）2.

练习3：计算

①1032；②8.982.

数学史片段引入：作为工具性内容，完全平方公式也可用作求解某个数的平方.12世纪，印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》这本书中，记载了两种求平方的算法，其中一种就是利用完全平方公式，先将一个数拆成两个数的和，然后再平方.

设计意图学生刚学习完两个公式，笔者趁热打铁，以练习题的形式对所教内容加以检验、强化和巩固.于是，笔者设计了以上3道题：练习1是为了让学生准确识别出公式中的a，b在具体式子中分别指代什么以及如何利用完全平方公式展开式子；练习2是为了将练习1中获得的解题经验进一步通过同化和顺应两种机制内化到学生已有的认知结构中去.同时，让学生通过亲自参与做题，体会公式中字母a，b的含义，它可以表示数、字母、单项式、多项式，加深学生对公式的理解，突破难点；练习3是为了让学生感受用完全平方公式可以简化运算，体会公式的实用价值.在练习中，笔者会在学生最近发展区内搭建思维的阶梯，尝试再度引入数学史，告知学生数学的来源与思想，让学生先理清算理，再去探究算法.

5.首尾呼应，回归问题

分析由前面讨论的结果，笔者将问题转化为了（4+x）2=20；接着，利用完全平方公式把（4+x）2展开，得到16+8x+x2=20；显然2x＜1，又因为2×0.4＜1≤2×0.5，所以可以确定十分位是4，即图8中黄乙正方形的边长；假设（4.4+y）2=20，用同样的方法求解，可以确定百分位是7，即图8中黄丙正方形的边长.

图8 刘徽的图形解法

数学史片段引入：在韦达符号代数建立以前，人们常以文字或者图形的形式来描述完全平方公式［5］.比如，刘 徽在《九章算术注》中就是用图形去解释的怎么求平方根，而刘徽的做法本质就是我们求时的解法.下面，我们给出《九章算术》中的一道问题，作为课后思考题，看看你们能否用今天学习的知识完成.

思考题：今有积（正方形的面积）五万五千二百二十五（平方）步.问：为方（正方形的边长）几何？

设计意图此环节旨在回归原始问题，用新学习的完全平方公式解决引入中暂被搁置的问题，即估算的值，照应开头，从而达到内容完整、有始有终的效果.为了使学生进一步熟悉开平方的过程，笔者又以《九章算术》中的原题作为思考题，让学生课后完成.原始问题的解决让学生豁然开朗，刘徽的算法让学生感叹古人的智慧，增强了文化自信.《九章算术》中的数学题让学生跃跃欲试，使教学给学生以一种“余音绕梁，三日不绝于耳”之感.

6.课堂小结，温故知新

问题组：

问题1.我们是如何获得完全平方公式的？它能做什么？

问题2.完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2的结构特征和本质特征是什么？

问题3.完全平方公式和平方差公式在结构和本质上又有什么区别和联系？

问题4.完全平方公式与多项式乘法二者在计算原理上有联系吗？（注意：完全平方公式具有承接和辅助的双重性任务，见图9）

图9 完全平方公式相关知识点的结构图

设计意图该环节通过师生对话、生生交流，让学生回顾整节课的学习过程，并将几个关键问题反抛给学生，激起学生的反思意识.问题1强调对公式学习过程中起点和终点的认识；问题2从外部结构和内在本质出发对学生公式理解程度进行检验；问题3关注学生是否掌握了平方差公式和完全平方公式的 “变与不变”，包括结构上的可变“前者的结果是2项，后者的结果是3项”以及本质上的不变“公式中的字母都可以表示数、字母、单项式、多项式”等知识；问题4强调学生对知识结构的整体性认识，感受公式外延上的联系.

教学反思

基于HPM视角的“三线六环”教学，让学生在学、思、行中获得了对公式的完整认知，并将数形结合、换元、特殊与一般等隐性数学思想方法以数学知识为载体传递给学生，在潜移默化中促进学生思维发展，又在润物无声中提升学生数学核心素养.比如，学生从特殊的多项式乘以多项式的算法中归纳概括出一般结论，形成数学抽象素养；从图形面积的割补中给出完全平方公式的几何解释，形成直观想象素养；从公式的运用中，形成数学运算素养等.此外，本节课也为数学教学由高速发展走向高质量发展提供了参考.以往教学实践表明，直接将公式和盘托出、片面追求速度的“快餐式教学”已经落伍，教师必须重新审视公式课“如何教”的问题，不能让公式成为学生头脑中的“过客”，而应当使教学带给学生 “学有所思、思中解惑”的学习体验.