基于学习进阶小学数学“符号意识”培养的教学设计——以人教版数学“圆的周长”为例

◎步 宁 刘桂宏

(伊犁师范大学 教育科学学院，新疆 伊宁 835000)

一、引言

数学符号意识是学生的核心素养之一.《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出，符号意识是指能够理解并运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性[1].“数学符号意识”包括：数学符号感知、数学符号运算、数学符号推理、数学符号表征等[2].

自2011年义务教育课程标准颁布以来，数学符号意识持续受到关注.马云鹏，宋乃庆等认为要建立数学符号意识的测评指标体系.陶红强等认为发展学生的数学符号意识要从具体的行为层面进行分析.朱立明等对小学生数学符号意识的发展水平进行了实证研究.

小学生数学符号意识的培养是由低水平向高水平提升的过程，基于学习进阶的小学数学“符号意识”培养能实现其由低阶向高阶的转变.学习进阶是指“对学生在一个较大时间跨度内学习和研究某一主题时，连贯的思维路径的假定性描述”[3].学习进阶的基本要素包括进阶起点、进阶终点、进阶维度、各水平预期表现(教学目标)及其评估[4].

将“学习进阶”与数学“符号意识”相结合进行教学设计，不仅为小学数学教师的数学符号教学提供了有进阶维度、易于操作、易于评价的教学设计，还利于小学生根据各进阶水平的教学设计理解、掌握并运用数学符号.

圆周长的学习对小学生来说是一个转折点，既是对先前平面图形周长、转化思想等的复习，又是初步学习曲线图形的开始，从而为以后学习圆柱圆锥等知识打下基础.基于此，本研究以人教版数学六年级“圆的周长”为例.

二、基于学习进阶小学数学“符号意识”教学设计的理论构建

根据NRC等机构与学者对学习进阶包含的基本要素的研究，以及马云鹏与朱立明学者对数学符号意识内涵的探讨，构建教学设计框架，如图1所示.

图1 基于学习进阶小学数学“符号意识”教学设计框架

(一)理论框架的建构

进阶起点是小学生已有的相关数学经验、数学基础知识及数学需要等.数学符号感知、运算、推理、表征是小学数学符号意识的四个进阶维度，每个进阶维度可分为三个进阶水平.小学数学符号意识的进阶终点分别是全面感知状态、符号抽象运算阶段、抽象符号推理阶段及灵活性表征状态.在进阶水平中融入评价，测量学生对核心知识的理解和掌握情况[5].评价是根据进阶水平的教学目标确定的.

(二)理论框架的运作

整个框架是基于进阶起点并通过评价不断由一个进阶水平或进阶维度推进到更高进阶水平或进阶维度的.例如，数学符号感知维度，教师通过课前对学生的访谈、问卷等调查，评价学生是否具有本课时的前概念，具有90%的相关前概念，就进阶到水平1-1.达到水平1-1的评价标准才能进入到水平1-2，否则就要停留在当前水平.当水平1-2达到评价要求时，可进入水平1-3，即数学符号感知的最高水平(进阶终点)——全面感知状态.当水平1-3达到教学目标且整个维度的学习达到评价标准时，将进入下一进阶维度，即数学符号运算维度.

三、基于学习进阶小学数学“符号意识”教学设计的实践应用

进阶起点如下：在学习圆的周长前，学生已习得周长C的一般概念，懂得圆的周长，学习过直径d、半径r及两者的关系，能进行逻辑思维运算等.“圆的周长”的教学设计是在具体进阶维度中展开的.

(一)数学符号感知

数学符号的感知是指对数学符号“π”的一种直观认知.这一维度对应的核心知识是圆周率π的产生、书写及读法.按照数学符号感知的状态将这一维度分成三个水平.

水平1-1：混淆感知状态

混淆感知状态的典型特征是学生不能理解圆周率π的内涵及意义.教学设计如下：

教学目标：能准确认识圆周率π并会读会写，了解圆周率的发展历史.

教学过程：教师利用课本插画“祖冲之与圆周率的故事”向学生讲述圆周率与祖冲之的渊源及其发展历程.通过讲故事，使学生对数学符号π有一个模糊的印象，激起学生对圆周率π的学习热情与兴趣.教师追问：“同学们，你们想知道圆周率π怎样读，怎样写吗？”教师示范π的读法并带领学生书写，进一步深化学生对数学符号π的感知.

教学评价：能说出π的名称，准确书写π，复述我国数学家祖冲之与圆周率的故事及其发展历程.

水平1-2：孤立感知状态

孤立感知状态的典型特征是学生能通过数学符号“π”的形式了解其意义，但欠缺对“π、C、d”等符号之间关系的理解.教学设计如下：

教学目标：对数学符号π的产生过程有清晰的认识，会测量圆形学具的周长.

教学过程：教师提问：“同学们，你们想知道圆周率π是如何计算的吗？”学生在教师的引领下，利用准备好的圆形物体，进行“探索圆周率π”的活动，学生用不同的测量方法测出圆的直径d与周长C，但是对圆周率π如何计算还没有眉目.这时，教师启发学生：“我们在学习长方形、正方形等图形的周长时，周长与什么有关系呢？”学生在教师的引导下尝试探索，猜想圆的周长与直径有关.

教学评价：能叙述如何通过活动得出π，能通过米尺等工具来测量圆形物体的周长.

水平1-3：全面感知状态

全面感知状态的典型特征是学生懂得“π、d、C”等数学符号之间的联系及意义.教学设计如下：

教学目标：领会圆周长C、圆直径d与圆周率π是相互联系的.

教学过程：通过教师的启发与合作探究，学生对圆周率π的产生等知识点有了更加清晰且全面的感知，理解了圆周率π、圆的周长及直径的关系.

教学评价：在已知圆周率π、圆周长C、圆直径d中的任意两个值的情况下，准确计算出第三个量的值.

(二)数学符号运算

在这一维度，数学符号运算对应的核心知识为圆周长公式的运算.按照数学符号运算的阶段将这一维度分成三个水平.

水平2-1：数字符号运算阶段

数字符号运算阶段的典型特征是学生根据测出的圆周长C及圆直径d，利用运算法则解决基本的数字运算.教学设计如下：

教学目标：能根据运算法则计算具体数字，准确得出教师给定的几组直径与周长的答案.

教学过程：学生在教师的引导下对数字进行计算，用圆形物体的周长除以圆形物体的直径，算出圆周率的数值.由此，学生得出圆周长的计算公式C=πd.教师给出几组直径d的数据，让学生利用公式计算圆的周长，加深学生对圆周长公式的记忆与理解.

教学评价：能够得到90%的正确答案，并对错误的答案进行及时的修改.

水平2-2：符号形式运算阶段

符号形式运算阶段的典型特征是学生能够理解数字符号运算的算理，但是不认为圆周长与圆直径具有对应关系.教学设计如下：

教学目标：能够灵活运用公式进行计算.

教学过程：学生在计算教师给定的几组直径d的数据时，能够利用圆周长计算公式及乘法运算规则计算.但是在教师给出的圆周长C与给出的直径d计算结果相等时，学生不能直接得出圆的直径，还要运用圆周长公式及除法规则计算圆的直径.

教学评价：在计算的过程中能准确运用公式，将未知的量与已知的量填写在准确的位置上，得出正确的答案.

水平2-3：符号抽象运算阶段

符号抽象运算阶段的典型特征是学生在水平2-2的基础上，经过多组数据的练习及总结，能够意识到C与d的关系.教学设计如下：

教学目标：对圆周长公式的计算结果进行整理，懂得数据具有一定的普遍性.

教学过程：当教师引导学生整理结果时，学生对数据进行对比，发现直径确定时，周长是不变的；周长确定时，直径是不变的.学生能对常用的数据进行记忆，在解题时能够快速准确地得出结果.

教学评价：理解圆周长与直径是一一对应的关系，能够准确记忆常用的直径与对应周长的值、周长与对应直径的值.

(三)数学符号推理

数学符号推理主要是合情推理与演绎推理.数学符号推理需要学生亲身体验推理的过程进行感悟.这一维度对应的核心知识为圆周长公式的推理过程.按照数学符号推理的阶段将这一维度分成三个水平.

水平3-1：混乱符号推理阶段

混乱符号推理阶段的典型特征是学生对数学符号“π、d、C”无法清晰地推理，逻辑思维处于混乱状态.教学设计如下：

教学目标：在利用已知数据进行尝试的过程中，能够准确找到圆形物体的周长与直径的固定关系，即π.

教学过程：在课程开始时，学生对如何得出圆周率π是完全没有思路的.当教师引导学生从已知的数据出发，学生开始尝试计算，有的学生用圆周长C与直径d相加、相减、相除、相乘，这是对圆周率π的盲目尝试.最后经过教师的引导及学生对数据的总结，用圆周长C与直径d相除，得出π的近似值3.14.

教学评价：能理解只有圆形物体周长与直径的比值才是固定的，π近似于3.14.

水平3-2：单一符号推理阶段

单一符号推理阶段的典型特征是能够运用合情推理或演绎推理对圆周长公式C=πd进行验证.教学设计如下：

教学目标：能通过探究圆周率π，得出圆周长的计算公式，并对公式进行验证.

教学过程：学生运用圆周长公式进行演绎推理，测量圆形物体的直径，并将圆周率π取近似值3.14，将数据代入公式进行计算，得出圆的周长数值与圆周长测量值近似.学生对周长与直径的数值是一一对应的结论持有怀疑，经过演绎推理的证实才坚信这一结论.

教学评价：将数据带入圆周长公式，能进行准确的检验，对公式中的各个符号有准确的理解.

水平3-3：抽象符号推理阶段

抽象符号推理阶段的典型特征是学生能够运用合情推理、演绎推理对圆周长公式的变形公式进行检验.教学设计如下：

教学目标：能对圆周长公式进行变形，对得出的公式进行验证.

(四)数学符号表征

数学符号表征是从杂乱无章的问题中找出规律，从而提升自身的思维水平及解决问题的能力.这一维度对应的核心知识是圆周长公式的应用.按照数学符号表征的状态将这一维度分成三个水平.

水平4-1：无意识表征状态

无意识表征状态的典型特征是学生无法准确选择“π、C、d”等数学符号对问题进行表征，对数学符号的运用处于模糊的水平.教学设计如下：

教学目标：在解决圆周长问题的过程中能够正确书写圆周长公式并且懂得符号的含义.

教学过程：学生在进行练习题的计算时，能熟练运用圆周长公式C=πd，但无法正确表征公式.例如，进行长方形、正方形、圆周长的混合计算时，学生不会有意识地使用表示周长的符号“C”，而是用汉字来表示所计算图形的周长，如“正方形的周长”.少数使用计算公式的学生，其圆周长公式的书写存在问题.

教学评价：有90%的学生能准确运用圆周长公式C=πd进行计算.

水平4-2：机械性表征状态

机械性表征状态的典型特征是学生无法准确选择与图形相对应的“周长C”对数学问题进行表征.教学设计如下：

教学目标：能准确运用圆周长公式进行计算，减少汉字的出现.

教学过程：少数学生在使用周长符号“C”计算时，正方形、长方形、圆形的周长都使用“C”来表示，无法用脚注对不同图形的周长进行区别，反映了学生对数学符号的表征处于单一的机械性状态.

教学评价：能写出圆周长公式及正方形、长方形计算公式的字母表达式，并进行准确的计算.

水平4-3：灵活性表征状态

灵活性表征状态的典型特征是学生能够从解决问题的具体情境，选择恰当的C正、C圆、C长、d正、d长进行问题表征，并能理解符号所代表的不同含义.教学设计如下：

教学目标：可以用不同的脚注进行区分.

教学过程：在练习中，教师启发学生：“我们可以把计算过程中的汉字减少，多一点数学语言、数学符号，利用学过的公式进行计算，对不同图形的周长用C正、C长、C圆进行表示.”学生能举一反三，d正=2r、d长=5r.学生能运用数学符号进行计算，并能阐述各个符号代表的含义.

教学评价：学生懂得运用脚注对不同图形的周长、直径等进行区分，如C正、C圆、C长、d正、d长等.

四、基于学习进阶小学数学“符号意识”教学设计的建议

(一)选择恰当的教学策略是培养数学符号意识的前提

运用发现法教学，有利于学生数学符号感知的发展，让学生体验数学符号的再发现过程.数学符号感知通常是学生认识新数学符号的起始，每一个数学符号的产生都有独特的历史.利用数学史当中的认知历史相似性，个体对数学的理解过程与数学历史的发展过程的相似性[6]，通过祖冲之与圆周率π的故事，学生利用学具探索，提出并验证假设，得出结论.在数学符号感知阶段，通过与数学史的结合，让学生经历数学符号的产生过程，使他们对数学符号进行全面的感知.

运用练习法教学，有利于学生数学符号运算的发展.运算是一种程序性知识，学生在算理算法的基础上掌握运算的技能技巧，提高运算的正确率，加强圆周长公式的运用；在多次练习中，观察数据的变化，总结出圆周长与圆直径是一一对应的关系.

运用合作学习教学，有利于学生数学符号推理的发展.推理注重的是过程，学生只有经历推理的过程才能提高推理能力.合作能扩大学生的视野，使其产生不同的思路，运用不同的推理方式，进行高效的思维训练.对圆周长公式C=πd及其各种变形公式进行验证时，小组成员集思广益，灵活运用合情推理与演绎推理进行检验.

运用深度学习教学，有利于学生数学符号表征的发展.深度学习超越具体知识和技能深入到思维层面[7]，能促使学生将数学符号灵活运用到不同的问题情境之中，从数学的角度出发解决现实问题.

(二)问题是提升进阶水平或维度的关键

数学课堂中，学生的思维是由问题引导的，因此教师对问题的设计至关重要.教师设计出指向数学本质、居于探究中心的具有生长性的核心问题[8].每一进阶维度都有相应的核心问题，在对核心问题进行追问的过程中，可以促进学生进阶水平的提高.两个进阶维度之间可通过高维度的核心问题完成进阶.

总之，发展学生的数学符号意识，就是对学生数学符号感知、运算、推理、表征的培养过程.在学习进阶的理念下对数学符号意识的教学进行有步骤的教学设计，运用恰当的教学策略与问题是培养数学符号意识的有效方式.