用平面几何性质解答圆锥曲线问题的应用思路分析

何 荣

(江苏省新沂市高级中学)

我们通常利用代数法解决圆锥曲线问题,这在一定程度上忽略了圆锥曲线的几何性质.圆锥曲线问题本质上是一类几何问题,即使运用代数法解答也要借助几何条件进行转化.适当地应用平面几何性质不仅能简化运算过程,也有助于学生深入了解圆锥曲线.本文结合例题阐述不同几何性质在解题过程中的运用,加深学生对平面几何性质的理解.

1 三角形中位线性质的应用

三角形中位线是三角形中较为特殊的一条线段,其包含了一些对应关系,合理地运用这些对应关系能够帮助解答圆锥曲线相关问题.

图1

运用三角形的中位线性质可以巧妙地解答圆锥曲线与三角形中位线相关问题,学生应熟练和把握中位线的几何意义与关系等式,使圆锥曲线问题的解答过程更直观、便捷.

2 三角形内切圆性质的应用

如图2 所 示,由 题 意 得∠AOF＝∠AOB＝45°,过M,N向x轴作垂线,垂足分别为E,H.

图2

图3

当圆锥曲线问题涉及角平分线或内切圆的相关条件时,可巧妙地运用三角形的内切圆性质进行解答,简化运算过程.

3 相似三角形性质的应用

当圆锥曲线问题中涉及相等角或等比例线段时,可以考虑运用相似三角形的性质进行解答.

(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N,则y轴上是否存在点Q,使∠OQM＝∠ONQ? 若存在,求出Q点坐标;若不存在,说明理由.

图4

运用相似三角形的性质解题能减少计算量,但需要注意一些细节.若问题中只存在一个三角形,则可以通过延长、分割的形式构造与之相似的三角形.

通过以上例题不难发现运用三角形中位线定理、内切圆性质以及相似三角形的性质解题,能在一定程度上减少计算量,使解答过程更加简捷.平面几何的一些性质、定理以及常见重要结论的应用在圆锥曲线问题的解答过程中起着重要的作用.运用平面几何性质解题时,需要根据条件灵活构造几何图形,这也是重点内容,需要学生加以重视.