矩阵分解在考研数学中的应用及其教学方法探讨

莫长鑫，代红艳

（重庆师范大学数学科学学院，重庆 401331）

社会的进步需要更专业化的人才，并促使更多学生追求更高的学历。近年来，考研人数持续攀升，在2022年已达457万人，比12年前约翻了一番。然而，笔者在考研复试中发现，学生对数学课程中的许多概念、定理等或死记硬背现象严重，或在解题中未考虑全面直接套用，或遗忘严重直接支支吾吾等，由此展现出学生在学习对应知识时并未理解透彻，即使在考研阶段投入大量精力复习后仍停留在秀而不实的阶段.由此看来，学生在备考阶段对考研知识点进行总结归纳并充分吸收尤为重要。矩阵分解一直是考研数学的一个重难点，许多分解形式不仅在表示上极为方便，而且根据问题特征还可选择适当的分解形式来降低计算复杂度，极大地节约解题时间，提升解题效率.对教师来说，在对应内容授课时采取合理的授课方式及教学方法，并在关键细节处予以强调以及对重要内容予以总结，将会促进学生对矩阵分解内容的充分理解，进而达到课程的培养目的。

1 几类常用的矩阵分解介绍

1.1 矩阵等价分解

若矩阵A通过有限次初等变换后得到矩阵B，则称A和B等价[1]。初等变换并不改变矩阵的秩，故秩为r的矩阵A便可通过等价关系与秩为r的单位阵相联系Er。即有等价分解：

定理 1[1]：设矩阵A是秩为r的矩阵，则存在阶可逆矩阵与阶可逆矩阵使得，其中矩阵为分块矩阵。

1.2 矩阵相似分解

对于矩阵A与矩阵B，若存在可逆矩阵P，使得，则称矩阵与矩阵相似[1]。相似关系下的两个矩阵B具有相同的特征多项式，进而有相同的特征值，迹及行列式。如果上述矩阵具有对角或上三角形的简单形式，那么便可直观地体现出原矩阵A的特征值等关键信息，进而有利于简化分析。

定理 2[2]：若阶实方阵有个线性无关的特征向量，则存在可逆矩阵，使得，其中对角阵且为矩阵的特征值。称该分解称为特征值分解。

实对称矩阵一定可以进行特征值分解，其特征值全是实数且对应特征向量可选为实的。由施密特正交化过程知，实对称矩阵存在正交相似分解。

定理3[2]：对矩阵，若其有特征值且对应重数分别为，则存在非奇异矩阵，使得，其中。若不计若尔当块的排列顺序，则唯一。

相似关系比等价关系更复杂，但两矩阵相似可转化为两矩阵的等价情形。一个常用的结论就是两个阶矩阵A和B相似的充要条件是它们的特征矩阵等价[1]。

1.3 矩阵合同分解

定理 4[1]：设为阶实对称阵，那么存在可逆矩阵使得，其中的取值为 1，-1 或 0。

实二次型中，正定二次型占据着重要地位，由此正定矩阵受到广泛关注.在实数范围内正定矩阵一定是实对称矩阵，且其规范型对应的矩阵中的取值皆为1，即实正定阵合同于单位阵[1]。

2 矩阵分解在考研数学中的应用

考研数学中矩阵相关的代数问题综合程度较高，矩阵分解就是帮助我们简化问题的得力工具.下文将从等价、相似与合同三类情形出发，对近年来相关考研试题进行整理与分析，以期为考研学子在矩阵分解不同类型问题上提供梳理和参考，并为教师在矩阵分解内容教学案例选取上提供借鉴.

2.1 等价分解在考研数学中的应用

在解决矩阵相关问题时，若题目给出的矩阵信息极少，如什么都未知或只知道矩阵的秩，通常可考虑利用矩阵等价分解来解决问题。利用其证明满秩分解、幂等分解等都是十分常见的题型，此外，等价分解也是解矩阵方程的重要法宝。

由于线性空间中的线性变换在某一组基下具有矩阵形式，所以部分线性变换有关的题目也可通过矩阵分解来求解，如：

解析：该问题实质上就是利用等价分解证明幂等分解，这里只需要任取线性空间的一组基，然后假设在该组基下的矩阵为，根据例2类比可知，令和在下矩阵分别为幂等矩阵与满秩矩阵即可.

上文介绍了两个可以由等价分解推导的重要分解，可以发现在题目信息极少的情况下，等价分解的重要性.矩阵方程求解的题型也一直是各个高校考研试题中的高频考点,接下来我们体会等价分解在矩阵方程求解中的应用并给出一个思考题，解答方法与技巧与例题大体相同。

证明：设矩阵A的秩为r，将定理1中的等价分解形式带入矩阵方程，同时等式左右两边左乘，右乘，记，则有现对进行分块，令，代入上式化简后可以发现，而矩阵可以任意取，所以可解得即证该矩阵方程始终有解。

2.2 相似分解在考研数学中的应用

相似关系下的矩阵分解出题频率高且综合性强，所以对其解题思路与方法进行整理与归纳是非常必要的。常见的题型主要分为数值矩阵计算与抽象矩阵证明两大类。（1）计算类：求解数值矩阵的特征值、特征向量以及可逆矩阵P，进而求矩阵A的对角化形式或若尔当标准型。除此之外，还有简化矩阵的高次幂计算问题和数值矩阵的相似判定等。（2）证明类：抽象矩阵相关的矩阵等式证明。

例5：（西南大学2020，重庆大学2016）①求矩阵A的特征值与特征向量，并求；②求矩阵B的若尔当标准型。其中，

解析：①是一道求矩阵高次幂的考研基础试题，只需求出矩阵的特征值并判断其可对角化即可，利用相似分解就可以转化为对对角矩阵的求幂.对②，只需求出该矩阵各个特征值所对应的代数重数与几何重数，然后写出各特征值对应的若尔当块，将他们组合起来即可.

使用特征值或秩来判断两矩阵是否相似往往并不充分。比如和都是 4阶上三角矩阵且只有四个非零元素。该两个矩阵有相同的特征多项式、特征值、迹及行列式，且有相同的秩，但它们并不相似，这是因为，但[3].事实上，在判断两个数值矩阵是否相似时，通常也需要计算矩阵的若尔当标准型来进行判定，如下例所示：

例6：（南开大学2020）证明下列两个矩阵不相似：

解析：首先可以观察两个矩阵的特征值，若不同，则不相似，若相同则需进一步计算各特征值对应的几何重数.对此例，能够计算出矩阵A与B的特征根皆为1（3重），但，则对应的若尔当标准型也不同，即可证明不相似。

上述例题皆与计算有关，事实上部分矩阵等式的证明也离不开相似分解，若题目与特征值、特征向量有关，通常会用到矩阵相似分解。

例7：（华南理工大学2022）已知A，B为数域P上的n阶方阵，A有n个互异的特征值，证明：若A的特征向量是B的特征向量，则。

解析：由题可知A，B可对角化.设A，B，的特征向量组合得到的可逆矩阵为P，于是有且，显然。

解析：首先按例3的思路将线性变换问题转化为矩阵问题，即设在中基下的矩阵为，且的特征值为，则根据若尔当分解，存在可逆矩阵 有

实对称矩阵的正交相似对角化在求正定矩阵的次方根问题中发挥重要作用，类比例5，求解时倒着进行即可，如下例：

2.3 合同分解在考研数学中的应用

合同关系下的分解常与二次型相结合，常见的题型有求解二次型平方和形式的标准型、系数仅为1，-1和0情形的规范型以及相应的非退化线性替换，此类题中最常见的方法是配方法和合同变换法，而后者是考研数学中的常用方法，即对构造的矩阵实施初等变换：

右半边的转置即为需要求解的变换矩阵.根据该方法，易解决如下例题：

例10：（北京邮电大学大学2018）求下述二次型的规范型以及所做变换：

此外，由于正定矩阵具有合同于单位矩阵的特殊性质，故合同分解也常是正定矩阵相关题型的突破口。

3 教学建议

数学教学是一个宏观课题，关于此方面相关研究并不少[4]，本文仅对矩阵分解相关内容就课堂教学展开思考，为教与学提供借鉴。中国科学院院士李大潜在第四届大学数学课程报告论坛上谈数学教学方法时说道[4]：“离开目标谈方法，不免无的放矢”，对矩阵分解的内容教学来说亦是如此.在高等代数的教学中，等价、相似与合同分别从线性方程组求解、线性变换的简单表示矩阵及二次型的化简引入，进而转化为对矩阵的简化研究。教学中，首先要尽量增强矩阵分解与实际应用的结合，增加案例分析，启迪学生联系理论与应用，避免将相关内容变得抽象化。其次，充分运用对比思想加深学生对基本理论的认识。许多学生学完高等代数后，对等价、相似及合同概念容易混淆，教师在教授后一块内容时要与前面内容加强对比，通过实例强调它们的区别，并要求学生自行总结，巩固并掌握本质思想。最后，需充分利用现代化技术手段展示矩阵分解的魅力。数学教学不仅为知识的传授，更重要的是让学生掌握数学思想方法，引领学生自发学习并使用数学工具解决实际问题，故在课堂中可适当增加一些矩阵分解前沿应用展示，让学生从拓展中增强对此块内容的理解并启发学生用于探索，挖掘矩阵分解的无限魅力。